高中数学高考07第二章 函数概念与基本初等函数2 4 幂函数与二次函数

§2.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的图象，了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在上单调递减；在上单调递增在R上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()(3)函数y＝是幂函数．()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．()题组二教材改编2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．23．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()A．a≥3 B．a≤3C．a<－3 D．a≤－3题组三易错自纠4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于()A．3B．4C．5D．65．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)题型一幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或24．(2018·阜新模拟)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是____________．思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2(2018·鄂尔多斯模拟)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.命题点3二次函数的最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．引申探究将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．命题点4二次函数中的恒成立问题1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练2(1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是()A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<0(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．1．幂函数y＝f(x)经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2.幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0 B．1C．2 D．33．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为()A．1或3 B．1C．3 D．24．若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3C．a<0或a>3 D．0<a<35．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝06．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a等于()A．2 B．0C．0或－1 D．2或－17．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0<x<1时，f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．9．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为增函数，那么f(2)的取值范围是______________．10．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________．11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．1.给出下面四个结论：①b2