高中数学高考3 第3讲　变量间的相关关系、统计案例　新题培优练

[基础题组练]1．根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知eq\o(a,\s\up6(^))>0，故选B.2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A．66% B．67%C．79% D．84%解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为eq\f(4.2,5)＝84%.3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.4．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份(届)2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为()A．111 B．117C．118 D．123解析：选B.因为eq\o(x,\s\up6(－))＝53，eq\o(y,\s\up6(－))＝103.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得eq\o(y,\s\up6(^))＝117，故选B.5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(100×（45×22－20×13）2,65×35×58×42)≈9.616.参照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：选C.因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x变为x＋1，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2457．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：18．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq\f(1,3)附近波动．经计算eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xi＝11，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝13，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝21，则实数b的值为________．解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－eq\f(1,3)，此时eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(7,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi,6)＝eq\f(13,6)，代入y＝bt－eq\f(1,3)，得eq\f(13,6)＝b×eq\f(7,2)－eq\f(1,3)，解得b＝eq\f(5,7).答案：eq\f(5,7)9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为eq\f(3,11).优秀非优秀总计甲班10乙班30总计110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)列联表如下：优秀非优秀总计甲班105060乙班203050总计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(110×（10×30－20×50）2,60×50×30×80)≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．10．(2019·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,6,)xiyieq\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元．[综合题组练]1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据及公式：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解：(1)列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2＝eq\f(100×（35×5－45×15）2,50×50×80×20)＝eq\f(25,4)＝6.25＞3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．①抽到1人是45岁以下的概率为eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,7).故所求概率为eq\f(\f(3,7),\f(3,4))＝eq\f(4,7).②X＝0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(1,28).可得随机变量X的分布列为X012Peq\f(15,28)eq\f(3,7)eq\f(1,28)故E(X)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(1,28)＝eq\f(1,2).2．(2019·洛阳第一次联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份(即x＝7时)的市场占有率．(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)由数据计算可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20