2008高考三轮复习必做的立体几何综合题2008102439383260

三轮必做的立体几何综合题1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB3，BC1，PA2，E为PD的中点。（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。解：（Ⅰ）建立以下列图的空间直角坐标系，则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,1,1)，2从而AC(3,1,0),PB(3,0,2).设AC与PB的夹角为，则cosACPB337,|AC||PB|2714∴AC与PB所成角的余弦值为37。14（Ⅱ）因为N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则NE(1z)，由NE面PAC可得，x,,12(x,1z)(0,0,2)0,z10,NEAP0,,1即2化简得1NEAC0.13x(x,z)(3,1,0)0.0.,122∴x36z1即N点的坐标为(3,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,3。662、以下列图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而获得的，此中AB4,BC2,CC13,BE1。（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离。解：（I）建立以下列图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z)∵AEC1F为平行四边形，由AEC1F为平行四边形,由AFEC1得,(2,0,z)(2,0,2),z2.F(0,0,2).EF(2,4,2).于是|BF|26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，明显n1不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1)n1AE0,0x4y10由得2x0y20n1AF0,即4y10,x1,12x20,y.4又CC1(0,0,3),设CC1与n1的夹角为，则cosCC1n13433.|CC1||n1|31113316∴C到平面AEC1F的距离为d|CC1|cos3433433.33113、如图，已知正三棱柱ABC—ABC的底面边长是2，D是侧棱CC的中点，直线AD与侧面BBCC111111所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．A1AABC是正三角形，AEBC．HB1又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC．BGIAE侧面BBCC．EFC1CD11连ED，则直线AD与侧面BBC11C所成的角为ADE45．在RtAED中，tan45AE3，解得x22．EDx214此正三棱柱的侧棱长为22．注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，AE侧面BB1C1C,AFBD．AFE为二面角ABDC的平面角．在RtBEF中，EFBEsinEBF，又BE1,sinEBFCD2222)23，EF3．BD(33又AE3,在RtAEF中，tanAFEAE3．EF故二面角ABDC的大小为arctan3．解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，BD平面AEF,平面AEF平面ABD，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG平面ABD．AEEF3330在RtAEF中，EG3．AF(3)2103)2(3E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EG230．10解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由CACB,DADB，易得平面ABD平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．解法3：（思路）等体积变换:由VABDVABCD可求．C解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系oxyz．zA1A则A(0,0,3),B(0,1,0),C(0,1,0),D(2,1,0)．设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．BB1n1AB0,y3zxoC1由得．CDn2AD02xy3z0y取n1(6,3,1).6分又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).7分cosn1n2(6,3,1)(0,0,1)10n1,n2n210．n11(6)2(3)221联合图形可知，二面角ABDC的大小为arccos10．10（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1(6,3,1),CA(0,1,3).点C到平面ABD的距离dCAn1(0,1,3)(6,3,1)230．＝n16)23)212((104．一个几何体的三视图如右图所示，此中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；正视图侧视图（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下,设正方体ABCD—A1B1C1D1俯视图的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.C1解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.此中底面ABCD是边长为6的C正方形，高为CC1=6，故所求体积是D162672图1V3（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，C1故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，D1其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的C正方形，于是D图2VC1ABCDVC1ABB1A1VC1AA1D1D故所拼图形建立.（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.在Rt△ABG中，AG180，则BH61212，B1HBH2BB1218，18055cosHB2B1HB，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为HB13

BAB1A1BA2.-3方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.z设向量n=（x，y，z），满足n⊥E