2018-2019学年北师大版数学选修1-2同步学案：第四章 滚动训练三

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练三(§1～§2)一、选择题1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－eq\r(5)，则eq\x\to（z)是（）A．－eq\r(5）＋2i B．－eq\r(5)－2iC。eq\r（5）＋2i D.eq\r（5）－2i考点题点答案B解析设复数z的虚部为b，则z＝－eq\r（5)＋bi，b〉0,∵3＝eq\r(5＋b2)，∴b＝2（舍负），∴z＝－eq\r(5)＋2i，则z的共轭复数是－eq\r（5）－2i,故选B.2．若|z－1｜＝|z＋1｜，则复数z对应的点在()A．实轴上 B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析∵｜z－1|＝｜z＋1|，∴点Z到(1，0）和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上．3．已知i是虚数单位,a，b∈R，则“a＝b＝1"是“(a＋bi)2＝2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析当“a＝b＝1”时,“(a＋bi）2＝(1＋i)2＝2i”成立，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件;当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i"时，“a＝b＝1"或“a＝b＝－1”，故“a＝b＝1”不是“（a＋bi)2＝2i”的必要条件；综上所述，“a＝b＝1”是“（a＋bi）2＝2i”的充分不必要条件．4．设复数z＝eq\f(2，－1－i)，则z·eq\x\to(z)等于()A．1B。eq\r(2)C．2D．4考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析∵z＝eq\f(2－1＋i，－1－i－1＋i）＝eq\f（－2＋2i,2）＝－1＋i，∴eq\x\to（z）＝－1－i，∴z·eq\x\to(z)＝(－1＋i）(－1－i)＝2.5．若复数z满足z(i＋1)＝eq\f(2,i－1），则复数z的虚部为()A．－1B．0C．iD．1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案B解析∵z（i＋1)＝eq\f(2，i－1),∴z＝eq\f（2，i－1i＋1)＝eq\f（2,－2)＝－1，∴z的虚部为0。6．已知复数z＝1＋ai（a∈R）(i是虚数单位)，eq\f（\x\to（z），z)＝－eq\f（3，5)＋eq\f(4,5)i,则a等于(）A．2B．－2C．±2D．－eq\f(1,2）考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案B解析由题意可得eq\f（1－ai,1＋ai）＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4，5)i，即eq\f(1－ai2，1＋a2)＝eq\f（1－a2－2ai,1＋a2）＝eq\f（1－a2,1＋a2)＋eq\f（－2a，1＋a2）i＝－eq\f（3，5)＋eq\f（4,5）i,∴eq\f(1－a2,1＋a2)＝－eq\f（3，5)，eq\f(－2a,1＋a2）＝eq\f（4，5），∴a＝－2，故选B。7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（)A．若｜z1－z2|＝0，则eq\x\to（z)1＝eq\x\to(z）2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若｜z1｜＝|z2|，则z1·eq\x\to（z)1＝z2·eq\x\to（z）2D．若|z1｜＝|z2|，则zeq\o\al（2，1）＝zeq\o\al(2,2）考点共轭复数的定义及应用题点与共轭复数有关的综合问题答案D解析对于A，若|z1－z2｜＝0,则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z）2为真；对于B，若z1＝eq\x\to(z)2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq\x\to（z)1＝z2为真；对于C,设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1,a2,b2∈R),若｜z1｜＝|z2|,则eq\r（a\o\al（2,1）＋b\o\al（2,1））＝eq\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al（2，2）),z1·eq\x\to(z)1＝aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1),z2·eq\x\to（z）2＝aeq\o\al（2，2）＋beq\o\al(2，2)，所以z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to（z）2为真；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝｜z2|为真，而zeq\o\al(2，1）＝1，zeq\o\al（2，2)＝－1，所以zeq\o\al（2,1)＝zeq\o\al（2,2)为假．故选D。二、填空题8．已知z是纯虚数，eq\f（z＋2，1－i)是实数，那么z＝________。考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案－2i解析设z＝bi（b∈R，b≠0)，则eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(bi＋2,1－i)＝eq\f(bi＋21＋i，1－i1＋i）＝eq\f（2－b＋b＋2i,2)＝eq\f（2－b，2)＋eq\f（b＋2，2）i是实数,所以b＋2＝0,b＝－2，所以z＝－2i.9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则｜z｜＝________。考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案eq\r（5）解析由（3－4i)z＝5＋10i知，｜3－4i｜·｜z｜＝|5＋10i|,即5｜z｜＝5eq\r（5）,解得|z|＝eq\r（5)。10．设复数z1＝i,z2＝eq\f（2－3i,|3－4i｜），z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的几何意义答案一解析z2＝eq\f(2－3i,|3－4i|)＝eq\f(2－3i，\r(32＋－42））＝eq\f（2－3i，5)＝eq\f（2,5)－eq\f(3，5）i，z1＝i，则z＝z1＋z2＝i＋eq\f（2，5）－eq\f(3，5)i＝eq\f(2，5）＋eq\f（2,5)i。∴z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2,5），\f(2,5））），位于第一象限．11．已知复数z＝（2a＋i）(1－bi）的实部为2，i是虚数单位，其中a,b为正实数，则4a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））1－b的最小值为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2eq\r(2)解析复数z＝（2a＋i)（1－bi）＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2,其中a，b为正实数，∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.则4a＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））1－b＝4a＋21－2a＝4a＋eq\f(2,4a）≥2eq\r(4a·\f(2，4a)）＝2eq\r（2），当且仅当a＝eq\f(1,4），b＝eq\f（3,2)时取等号．三、解答题12．计算：(1）eq\f(－1＋i2＋i，i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i）；(3）eq\f（1－i，1＋i2）＋eq\f（1＋i，1－i2）；（4）eq\f（1－\r（3)i，\r（3)＋i2).考点复数四则运算的综合运算题点复数的混合运算解(1）eq\f(－1＋i2＋i，i3）＝eq\f（－3＋i,－i）＝eq\f(－3＋ii,－i·i)＝－1－3i。(2）eq\f（1＋2i2＋31－i，2＋i）＝eq\f（－3＋4i＋3－3i，2＋i)＝eq\f（i，2＋i）＝eq\f（i2－i,5）＝eq\f(1,5）＋eq\f（2，5)i.（3）eq\f(1－i，1＋i2）＋eq\f(1＋i，1－i2）＝eq\f（1－i,2i)＋eq\f（1＋i,－2i）＝eq\f（1＋i,－2)＋eq\f（－1＋i，2）＝－1.（4)eq\f（1－\r(3)i,\r(3)＋i2）＝eq\f（\r（3）＋i－i,\r(3）＋i2)＝eq\f(－i，\r(3）＋i)＝eq\f(－i\r(3）－i,4）＝－eq\f(1，4）－eq\f（\r（3)，4）i。13．已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位,m∈R),且eq\x\to（z）·（3＋i）为纯虚数(eq\x\to(z）是z的共轭复数)．(1）设复数z1＝eq\f（m＋2i,1－i）,求|z1｜；（2)设复数z2＝eq\f（a－i2017,z)，且复数z2所对应的点在第四象限,求实数a的取值范围．考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系解∵z＝1＋mi,∴eq\x\to（z）＝1－mi。eq\x\to(z)·(3＋i）＝（1－mi)（3＋i)＝（3＋m)＋（1－3m)i,又∵eq\x\to(z)·(3＋i)为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋m＝0，，1－3m≠0,))解得m＝－3.∴z＝1－3i.（1)z1＝eq\f(－3＋2i，1－i)＝eq\f（－3＋2i1＋i，1－i1＋i)＝－eq\f(5，2）－eq\f(1，2）i，∴|z1|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5,2))）2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2）))2)＝eq\f(\r(26）,2）.（2)∵z＝1－3i，z2＝eq\f(a－i，1－3i）＝eq\f(a－i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f（a＋3＋3a－1i，10),又∵复数z2所对应的点在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（a＋3，10）>0,,\f（3a－1,10）〈0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a〉－3，,a<\f（1，3)，）)∴－3〈a<eq\f(1,3）.四、探究与拓展14．设复数z＝（x－1）＋yi(x，y∈R），若｜z｜≤1，则y≥x的概率为()A。eq\f(3，4）＋eq\f(1,2π） B。eq\f(1，2)＋eq\f（1,π）C.eq\f（1，4）－eq\f(1，2π） D。eq\f(1,2)－eq\f(1,π）考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积答案C解析复数z＝(x－1)＋yi（x,y∈R)，若|z｜≤1，它的几何意义是以(1，0）为圆心,1为半径的圆以及圆内部分．y≥x是图中阴影部分,如图，复数z＝(x－1）＋yi（x，y∈R),若｜z|≤1,则y≥x的概率为eq\f（\f（1，4）π－\f（1，2）×1×1,π)＝eq\f（1，4)－eq\f（1,2π）.15．设z是虚数，ω＝z＋eq\f（1,z)是实数,且－1〈ω〈2。(1)求|z｜的值及z的实部的取值范围；(2）设μ＝eq\f(1－z，1＋z）,求证：μ为纯虚数．考点复数四则运算的综合应用题点与四则运算有关的问题(1）解因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi（x，y∈R,且y≠0）,则ω＝z＋eq\f（1，z）＝（x＋yi）＋eq\f（1,x＋yi)＝x＋yi＋eq\f（x－yi，x2＋y2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（x,x2＋y2))）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(y－\f（y，x2＋y2））)i。因为ω是实数，且y≠0，所以y－eq\f（y,x2＋y2)＝0,即x2＋y2＝1。所以|z｜＝1，此时ω＝2x。又－1<ω〈2，所以－1<2x〈2。所以－eq\f(1,2）〈x<1，即z的实部的取值范围是eq\b\lc\