2018-2019学年北师大版数学选修1-2同步学案：第四章 2.1 复数的加法与减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2复数的四则运算2．1复数的加法与减法学习目标1。熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算。2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。3.理解共轭复数的概念．知识点复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即（a＋bi)±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d)i.梳理（1)运算法则设z1＝a＋bi,z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi）＋(c＋di)＝(a＋c)＋（b＋d)i，（a＋bi)－(c＋di)＝（a－c)＋（b－d)i.（2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1,(z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√)2．复数的加、减法满足交换律和结合律．（√）类型一复数的加法、减法运算例1(1）若z1＝2＋i，z2＝3＋ai（a∈R）,复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.（2)已知复数z满足|z｜i＋z＝1＋3i，则z＝________。考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案（1)－1（2）1＋eq\f(4,3）i解析（1）z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0,则a＝－1.（2)设z＝x＋yi（x，y∈R）,则|z｜＝eq\r（x2＋y2），∴｜z|i＋z＝eq\r（x2＋y2）i＋x＋yi＝x＋(eq\r(x2＋y2）＋y）i＝1＋3i，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，，\r(x2＋y2）＋y＝3,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝\f（4，3），)）∴z＝1＋eq\f（4，3）i.反思与感悟(1）复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2）当一个等式中同时含有｜z|与z时,一般用待定系数法，设z＝x＋yi（x，y∈R）．跟踪训练1（1)若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z＝________。(2)（a＋bi)－（2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．(3)已知复数z满足｜z|＋z＝1＋i,则z＝________.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)6－2i(2）－a＋（4b－3)i（3)i解析（1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i。(2)（a＋bi)－（2a－3bi）－3i＝(a－2a)＋（b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3）i。(3）设z＝x＋yi(x,y∈R),｜z｜＝eq\r（x2＋y2），∴｜z｜＋z＝(eq\r(x2＋y2）＋x）＋yi＝1＋i,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\r(x2＋y2）＋x＝1，,y＝1，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，,y＝1，))∴z＝i.类型二复数加、减法的应用例2（1）如图所示，平行四边形OABC的顶点O,A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i。求：①eq\o（AO，\s\up6（→)）表示的复数;②eq\o（CA，\s\up6（→）)表示的复数；③eq\o(OB，\s\up6（→））表示的复数．解因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i,由复数的几何意义知，eq\o（OA,\s\up6(→）)与eq\o(OC,\s\up6(→))表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i。①因为eq\o(AO，\s\up6(→）)＝－eq\o(OA，\s\up6（→）），所以eq\o(AO，\s\up6(→）)表示的复数为－3－2i.②因为eq\o(CA,\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6(→））－eq\o（OC,\s\up6(→）)，所以eq\o（CA,\s\up6（→））表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i)＝5－2i。③eq\o（OB,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o(OC,\s\up6(→）)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i。（2）已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1,｜z1＋z2|＝eq\r(3)，求|z1－z2｜.解根据复数加减法的几何意义，由｜z1｜＝|z2|知，以eq\o(OA,\s\up6（→)），eq\o（OB，\s\up6（→)）为邻边的平行四边形OACB是菱形．如图,eq\o(OA，\s\up6（→))对应的复数为z1，eq\o（OB，\s\up6(→）)对应的复数为z2,∴|eq\o（OA，\s\up6(→)）|＝|eq\o（OB，\s\up6（→))｜，eq\o(OC，\s\up6(→）)对应的复数为z1＋z2,∴|eq\o(OC,\s\up6（→）)｜＝eq\r(3）。在△AOC中，｜eq\o（OA,\s\up6（→）)｜＝|eq\o（AC,\s\up6（→）)|＝1，｜eq\o（OC,\s\up6(→））|＝eq\r（3），∴∠AOC＝30°。同理得∠BOC＝30°，∴△OAB为等边三角形,则｜eq\o（BA,\s\up6(→)）|＝1,eq\o（BA,\s\up6(→)）对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1.引申探究若将本例(2）中的条件“|z1＋z2|＝eq\r（3）”改为“｜z1－z2｜＝1”，求｜z1＋z2|.解如例2(2）解析中的图,向量eq\o（BA,\s\up6(→）)表示的复数为z1－z2，∴|eq\o(BA，\s\up6(→））|＝1，则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°.取AB与OC的交点为D,则｜eq\o(OD，\s\up6（→))|＝eq\f（\r（3），2），∴|eq\o（OC,\s\up6（→)）|＝eq\r（3)，而eq\o(OC，\s\up6(→)）表示的复数为z1＋z2,∴｜z1＋z2｜＝eq\r(3)。反思与感悟（1）技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常见结论：在复平面内,z1,z2对应的点分别为A，B,z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形：①OACB为平行四边形;②若|z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2｜，则四边形OACB为菱形；④若｜z1｜＝｜z2｜且|z1＋z2｜＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．跟踪训练2（1）已知复平面内的平面向量eq\o（OA，\s\up6(→)),eq\o(AB,\s\up6(→))表示的复数分别是－2＋i,3＋2i,则|eq\o(OB,\s\up6(→））｜＝________.（2）若z1＝2＋i,z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．答案（1）eq\r(10）(2）(－∞，1)解析(1)∵eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o（AB，\s\up6(→))，∴eq\o(OB，\s\up6(→））表示的复数为(－2＋i)＋（3＋2i)＝1＋3i，∴｜eq\o（OB，\s\up6（→)）｜＝eq\r（12＋32）＝eq\r（10).(2）z2－z1＝1＋（a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1。1．已知复数z1＝eq\f（1,2)－eq\f（\r(3)，2）i和复数z2＝cos60°＋isin60°,则z1＋z2等于（）A．1 B．－1C。eq\f(1，2)－eq\f(\r（3）,2）i D。eq\f(1,2）＋eq\f(\r(3）,2）i答案A解析∵z2＝eq\f（1,2)＋eq\f（\r（3)，2）i，∴z1＋z2＝1.2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．3．在复平面内，O是原点,eq\o（OA,\s\up6(→）)，eq\o（OC,\s\up6（→）)，eq\o(AB，\s\up6(→）)表示的复数分别为－2＋i,3＋2i，1＋5i，则eq\o(BC，\s\up6(→)）表示的复数为（）A．2＋8i B．－6－6iC．4－4i D．－4＋2i答案C解析eq\o（BC，\s\up6（→))＝eq\o（OC，\s\up6(→)）－eq\o(OB,\s\up6(→)）＝eq\o（OC，\s\up6(→))－（eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(OA,\s\up6（→））)＝4－4i.4．已知复数z1＝(a2－2)＋（a－4)i，z2＝a－（a2－2）i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案－1解析∵z1－z2＝（a2－a－2）＋（a－4＋a2－2）i（a∈R）为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2－a－2＝0，，a2＋a－6≠0,)）解得a＝－1.5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B,D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．答案5－2i解析设AC与BD的交点为E,则E点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5,2)，－1）)，设点C坐标为（x，y)，则x＝5,y＝－2,故点C对应的复数为5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi,z2＝yi－x,且z1－z2＝2，则xy的值是（）A．1 B．2C．－2 D．－1答案A解析z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，，x－y＝0，)）∴x＝y＝1，则xy＝1。2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai,z2＝a＋（a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为(）A．1 B．2C．－2 D．－2或1答案C解析z1＋z2＝(a2＋a－2）＋(a2－3a＋2）i，由题意知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＋a－2＝0，,a2－3a＋2≠0，))解得a＝－2。3．设复数z满足关系式z＋｜z｜＝2＋i，则z等于(）A．－eq\f(3，4）＋i B。eq\f(3，4)－iC．－eq\f（3，4)－i D.eq\f(3,4）＋i答案D解析设z＝a＋bi（a,b∈R），则z＋｜z｜＝(a＋eq\r(a2＋b2）)＋bi＝2＋i，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2）＝2，,b＝1，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3，4),,b＝1,))∴z＝eq\f(3，4)＋i.4．设f（z)＝｜z｜，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2）等于（)A.eq\r（10） B．5eq\r(5)C.eq\r(2） D．5eq\r（2）答案D解析∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2）＝|z1－z2|＝5eq\r（2）eq\r（)。5．在复平面内点A，B,C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若eq\o(AD，\s\up6（→)）＝eq\o（BC，\s\up6（→)）,则点D表示的复数是()A．1－3i B．－3－iC．3＋5i D．5＋3i答案C解析∵点A，B,C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i,∴eq\o（BC，\s\up6（→))对应的复数为2＋2i。设D(x，y），∵eq\o(AD,\s\up6（→))＝eq\o(BC，\s\up6（→）)，∴（x－1,y－3）＝(2,2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1＝2,，y－3＝2,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.)）∴点D表示的复数为3＋5i.6．已知复数z对应的向量如图所示,则复数z＋1所对应的向量正确的是（)答案A解析由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．7．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为（)A．3－2eq\r(2） B.eq\r（2)－1C．3＋2eq\r（2） D。eq\r(2)＋1答案D解析|z1－z2|＝｜（1－sinθ)＋(cosθ＋1）i｜＝eq\r(1－sinθ2＋1＋cosθ2）＝eq\r（3＋2cosθ－sinθ）＝eq\r（3＋2\r（2）cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4））))。∵eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，4）))))max＝1，∴|z1－z2｜max＝eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r（2)＋1。二、填空题8．计算（5－5i）＋（－2－i)－(3＋4i）＝________.答案－10i解析(5－5i)＋（－2－i)－(3＋4i）＝(5－2－3)＋(－5－1－4)i＝－10i。9．已知x,y∈R，i为虚数单位，（x－2）i＋3－y＝1－i，则x－y－（x＋y）i＝________.答案－1－3i解析依据复数相等的条件，得到eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2＝－1,，3－y＝1，)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝2，）)所以x－y－（x＋y）i＝－1－3i。10．若复数z满足z＝｜z|－3－4i，则z＝________。答案eq\f（7，6）－4i解析设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵z＝|z｜－3－4i,∴a＋bi＝eq\r(a2＋b2）－3－4i，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r（a2＋b2)－3,，b＝－4，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f(7，6)，,b＝－4。））∴z＝eq\f(7,6)－4i.11．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x）－（5x＋3y）i(x，y∈R）．设z＝z1－z2,且z＝13－2i,则z1＝________，z2＝________.答案5－9i－8－7i解析∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋（y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y）i＝13－2i，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5x－3y＝13，，x＋4y＝－2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝－1。)）∴z1＝5－9i,z2＝－8－7i.三、解答题12．计算：(1)(1＋2i）＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－［(3＋4i)－(－1＋3i)］．解（1)(1＋2i）＋(3－4i)－（5＋6i)＝（1＋3－5）＋(2－4－6)i＝－1－8i.（2）5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i。13．设m∈R，复数z1＝eq\f（m2＋m,m＋2)＋（m－15）i，z2＝－2＋m（m－3)i,若z1＋z2是虚数,求m的取值范围．解∵z1＝eq\f（m2＋m,m＋2)＋(m－15)i,z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（m2＋m,m＋2)－2））＋［(m－15）＋m(m－3）]i＝eq\f（m2－m－4,m＋2）＋（m2－2m－15)i.∵z1＋z2为虚数,∴m2－2m－15≠0且m≠－2，解得m≠5,m≠－3且m≠－2(m∈R)．四、探究与拓展14．已知复数（x－2）＋yi（x，y∈R）的模为eq\r(3),则eq\f(y,x)的最大值为________．答案eq\r（3）解析∵｜x－2＋yi|＝eq\r（3)，∴（x－2)2＋y2＝3，故（x，y）在以C（2，0）为圆心，eq\r(3)为半径的圆上，eq\f（y,x)表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识易知，eq\f(y,x)的最大值为eq\r（3）.15．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量eq\o(BA，\s\up6（→)）对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC，\s\up6(→))对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数;（2）平行四边形ABCD的面积．解(1)因为向量eq\o(BA，\s\up6（→））对应的复数为1＋2i，向量eq\o（BC，\s\up6(→）)对应的复数为3－i,所以