2018-2019数学新学案浙江专用版讲义：第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 2.1.1（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1。1指数与指数幂的运算(二）学习目标1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2。掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．知识点一分数指数幂思考根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①eq\r(5，a10）＝eq\r（5，a25）＝a2＝（a>0)；②eq\r（a8)＝eq\r(a42）＝a4＝（a>0）；③eq\r（4，a12）＝eq\r(4,a34）＝a3＝(a〉0）．答案当a〉0时，根式可以表示为分数指数幂的形式,其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．梳理分数指数幂的定义：(1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq\r(n，am）(a〉0,m，n∈N*，且n>1);（2)规定正数的负分数指数幂的意义是:（a>0，m，n∈N＊，且n〉1）;(3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．知识点二有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即:（1)aras＝ar＋s(a〉0，r，s∈Q)；(2)(ar）s＝ars（a>0,r，s∈Q）；(3)（ab)r＝arbr(a〉0,b〉0,r∈Q）．知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα（a〉0，α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．(×）2．（×）3．当a〉0时，(ar)s＝（as)r。（√)4．（√)类型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1分数指数幂化根式例1用根式的形式表示下列各式（x〉0)．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解（1)＝eq\r(5,x2).（2）＝eq\f(1，\r(3,x5）).反思与感悟实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中,根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．跟踪训练1用根式表示（x〉0，y〉0)．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解命题角度2根式化分数指数幂例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b〉0。（1）eq\r(5,a6);(2)eq\f（1，\r(3,a2）)；（3）eq\r（4,\f（b3,a2）)；（4）eq\r（－a6).考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂解(1）（2)（3)eq\r（4,\f（b3，a2)）（4）反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时,有时有意义，有时无意义．如但就不是实数了．为了保证在eq\f(m,n)取任何实数时,都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分．跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂:(1）eq\r(6,8\r（2））；（2)eq\r(a\r（a）)(a>0);（3)b3·eq\r（3,b2）；（4)eq\f（1，\r(3,x\r（5,x2)2）).考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂解(1)(2）（3)（4）类型二运用指数幂运算公式化简求值例3计算下列各式（式中字母都是正数)：(1)考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的加减运算解＝（eq\r（3，0.027）)2＋eq\r（3,\f(125，27）)－eq\r（\f(25,9)）＝0。09＋eq\f（5，3)－eq\f(5，3)＝0。09。(2）考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解原式＝(3)考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3（1)化简：考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算解原式＝(2)化简:考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解(3)已知求eq\f(x2＋1,x)的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有eq\f(x2＋1,x）＝23。类型三运用指数幂运算公式解方程例4已知a>0,b〉0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解方法一∵a>0,b>0，又ab＝ba，方法二∵ab＝ba,b＝9a，∴a9a＝（9a）a，即（a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9,a＝eq\r(4,3)。反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数,给运算带来了方便,我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到代入、消元等目的．跟踪训练4已知67x＝27,603y＝81，求eq\f(3,x)－eq\f（4，y)的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解由67x＝33，由603y＝81，＝eq\f（603，67)＝9＝32，∴eq\f(4,y)－eq\f(3，x）＝2，故eq\f（3,x）－eq\f（4,y）＝－2.1．化简的值为()A．2B．4C．6D．8考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案B2．等于（）A．25B。eq\f（1,25)C．5D.eq\f(1,5)考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．－eq\r（x）＝ B。eq\r（6，y2）＝C． D．考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案C4．（eq\r（3,\r(6，a9））)4＝________.考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案a25．计算的结果是________．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算答案161．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的;无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．一、选择题1．化简式子的结果是(）A.eq\r（3)B．－eq\r（3)C。eq\f（\r(3)，3)D．－eq\f（\r(3）,3）考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案C解析2．化简eq\r（3,－a)·eq\r(6，a）的结果为（)A．－eq\r(a) B．－eq\r(－a)C。eq\r（－a） D。eq\r(a）考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案A解析显然a≥0。3。eq\r(3,a2）·eq\r(\r（a))等于（）考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案B解析4．中x的取值范围是()A．（－∞，＋∞） B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞,\f(3，2)））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，2）,＋∞))C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（3，2））) D。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，2)，＋∞))考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案C解析要使该式有意义，需3－2x>0，即x〈eq\f(3,2).5．这三个数的大小关系为（)A． B．C． D．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案B解析∵eq\r(6,6）〈eq\r(6,8)<eq\r(6,9）,6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于（)A.eq\f（x＋1，x－1）B.eq\f(x＋1,x)C.eq\f（x－1，x＋1）D.eq\f(x，x－1）考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案D解析由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋eq\f(1，2b)＝1＋eq\f（1，x－1)＝eq\f（x,x－1）。7．设则eq\f（a2＋1,a)等于(）A．m2－2 B．2－m2C．m2＋2 D．m2考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案C解析将两边平方，得即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq\f(1，a）＝m2＋2，所以eq\f(a2＋1,a）＝m2＋2.8．若a>1,b〉0，ab＋a－b＝2eq\r（2)，则ab－a－b等于（）A。eq\r(6) B．2或－2C．－2 D．2考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案D解析设ab－a－b＝t.∵a〉1，b>0，∴ab〉1,a－b〈1,∴t＝ab－a－b〉0，则t2＝（ab－a－b)2＝(ab＋a－b）2－4＝（2eq\r（2))2－4＝4，∴t＝2.二、填空题9．计算：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，2)))×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（7，6)）)0＋8×eq\r(4，2）－＝________。答案2解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，3））)×1＋2×2－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)）)＝2.10．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则________。考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案9eq\r(5)解析11．（eq\r(3)＋eq\r(2）)2015×(eq\r（3)－eq\r(2)）2016＝________。考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算答案eq\r(3)－eq\r（2）解析(eq\r（3）＋eq\r（2))2015×（eq\r（3）－eq\r(2))2016＝［（eq\r（3）＋eq\r（2))（eq\r（3)－eq\r(2))]2015×（eq\r(3）－eq\r（2）)＝12015×(eq\r（3）－eq\r(2））＝eq\r(3）－eq\r(2）。12．化简：×eq\f(\r(a·\r(3，a2)),\r(5，\r（a）·\r（3,a）))＝________（a>0）．答案a2解析原式＝三、解答题13．计算:（1）7eq\r（3，3）－3eq\r(3，24）－6eq\r(3，\f(1，9)）＋eq\r(4，3\r（3，3）)；(2)考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算解（1）原式＝(2）原式=四、探究与拓展14．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1）＝(b－1）·（c－1）．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值证明∵2a·3b＝6＝2×3,∴2a－1·3b－1＝1。∴（2a－1·3b－1）d－1＝1,即2（a－1)(d－1）·3(b－1）（d－1)＝1。 ①又2c·3d＝6＝2×3，∴2c－1·3d－1＝1。∴(2c－1·3d－1）b－1＝1，即2（c－1）（b－1）·3(d－1)(b－1)＝1。 ②由①②知2(a－1）（d－1）＝2(c－1）(b－1）,∴(a－1)（d－1）＝（b－1)（c－1)．15．已知函数f(x)＝，g(x）＝.(1)求证：f（x）在(0，＋∞）上是增函数；（已知y＝在R上是增函数)（2）分别计算f（4）－5f(2）g(2)和f(9)－5f（3）g（3)的值,由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一