高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线定值定点问题（理） 教师版

圆锥曲线定值定点问题圆锥曲线定值定点问题大题优练7优优选例题例1．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，则，，，，所以，可以化为，化简得，所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为，同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．例2．已知椭圆长轴的两个端点分别为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点．（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由．【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析．【解析】（1）由题意得，，所以，，所以椭圆C的方程为．（2）（ⅰ）证明：设，因为在椭圆上，所以．因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点的坐标为，所以直线的斜率为．所以直线的斜率之积为．（ⅱ）三点共线．设直线斜率为，易得．由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为．联立，可得．解得点的纵坐标为，所以点的坐标为．所以，直线的斜率为，直线的斜率为．因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线．

模拟模拟优练1．已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）由，得，所以椭圆的标准方程为．（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意；所以直线斜率存在，设直线的方程为，设、，由，得，所以，．因为，所以，即，整理得，化简得，所以直线的方程为，所以直线过定点．2．已知直线与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线的焦点．（1）求拋物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）由已知得，且为的中点，所以．所以，解得，故抛物线的方程为．（2）证明：联立，解得，，由为的中点，得．不妨设，，其中，则，．所以，即为定值．（3）由（2）可知直线的方程为，即，与抛物线联立，消x可得，解得或（舍去），所以，即，故点到直线的距离．设过点的抛物线的切线方程为，联立，得，由，得，所以切线方程为，令，得，所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，，则有，又，所以，即，故的面积的取值范围为．3．椭圆的离心率，在上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点．求证：点恒在一定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为点在C上，所以，又，，所以，，故所求椭圆C的方程为．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设，，(，)．，，，且有．(，)，，故，故点T恒在一定直线上．4．已知椭圆的焦距为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为，直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）直线过定点．【解析】（1）由题意知，焦点为，故，，故，，所以椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程消去并整理，得（*），设，，则，．①设直线的斜率与的斜率分别为，，根据，，则，所以，将①代入，整理化简得，即，因为不在直线上，所以，所以，要使（*）方程判别式，即，得，于是的方程为，，所以直线过定点；②当直线的斜率不存在时，可得，，则由，又，联立方程可得，又，矛盾，舍去，综上所述，直线过定点．5．已知，是椭圆长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为．判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．【解析】（1）由已知：，，因为在椭圆上，直线，的斜率之积等于，所以，解得，又，所以，所以椭圆的标准方程为．（2）设，为过点的直线与椭圆的交点，①当经过点的直线斜率不存在时，此时，为椭圆长轴端点，不妨设，，因为，，三点共线，坐标为，同理坐标为，此时线段的中点为，所以；②当该直线的斜率存在时，设该直线的方程是，联立方程得，消元并化简得，所以，，设，，因为，，三点共线，即，所以，由已知得，点不在直线上，且，所以，同理可得，所以，将，代入上式并化简得，所以的坐标为，当时，直线的斜率，因为与的取值无关，所以，即，此时，综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值．6．设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于）两点．（i）若，求证：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）设，在轴的上方，过作直线的平行线交椭圆于，若直线过椭圆的左焦点，求的值．【答案】（1）；（2）（i）证明见解析，定点；（ii）．【解析】（1）由题意得，解得，，，椭圆的方程为．（2）由