高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测一、选择题(本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,k2)＝1与双曲线eq\f(x2,k)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是()A．k>3B．2<k<3C．k＝2D．0<k<23．已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．6eq\r(2)D．34．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝16外切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．线段B．双曲线C．圆D．椭圆5．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0)B．(eq\f(1,16)，0)C．(－1,0)D．(0，－eq\f(1,16))6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝17．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝eq\f(\r(6),2)，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．88．设a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a＋12)＝1的离心率e的取值范围是()A．(eq\r(2)，2) B．(eq\r(2)，eq\r(5))C．(2,5) D．(2，eq\r(5))二、填空题(本大题共6个小题，把正确答案填在题中横线上)9.已知F1、F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＝|AB|＝6，则|F2B|＝________.10.动直线y＝a与抛物线y2＝eq\f(1,2)x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．11．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．12．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.13．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共点，则m的取值范围为________．14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的离心率为________．三、解答题(本大题共6个大题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(eq\f(3,2)，eq\r(6))，求抛物线方程和双曲线方程．16．设F1、F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．17．已知抛物线y2＝4x，椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)△PF1F218．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围．19．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？20．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，eq\r(2))且斜率为k的直线l与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量eq\o(OP,\s\up16(→))＋eq\o(OQ,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测一.选择题题号12345678答案CCCBCAAB二.填空题9.810.y2＝4x11.eq\r(6)12.213.m≥1且m≠5.14.2三.解答题15.[解析]依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，∵点(eq\f(3,2)，eq\r(6))在抛物线上，∴6＝2p×eq\f(3,2)，∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点(eq\f(3,2)，eq\r(6))在双曲线上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1.))解得a2＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(3,4).∴所求双曲线方程为4x2－eq\f(4,3)y2＝1.16.[解析]解法一：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2|PF1|2＝(6－|PF1|2)＋20，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)；若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.解法二：由椭圆的对称性不妨设P(x，y)(x>0，y>0)，则由已知可得F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)．根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则P(eq\r(5)，eq\f(4,3))，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)；若∠F1PF2为直角，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,\f(y,x＋\r(5))·\f(y,x－\r(5))＝－1.))解得x＝eq\f(3\r(5),5)，y＝eq\f(4\r(5),5)，即P(eq\f(3\r(5),5)，eq\f(4\r(5),5))，于是|PF1|＝4，|PF2|＝2，故eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.17.[解析](1)∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，∴eq\f(p,2)＝1，∴抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，∴9＝m＋1，∴m＝8.(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\r(6).))∴点P、Q的坐标为(eq\f(3,2)，eq\r(6))、(eq\f(3,2)，－eq\r(6))．(3)点P的纵坐标eq\r(6)就是△PF1F2的边F1F2上的高，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yp|＝eq\f(1,2)×2×eq\r(6)＝eq\r(6).18.[解析]由C与l相交于两个不同点，故知方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有两组不同的实根，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0，))解得0<a<eq\r(2)，且a≠1.双曲线的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，因为0<a<eq\r(2)且a≠1.所以e>eq\f(\r(6),2)，且e≠eq\r(2).即离心率e的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．19.[解析]如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，－8)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵点B在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝eq\f(81,16)，∴抛物线的方程为x2＝－eq\f(81,8)y，∴当x＝eq\f(9,2)时，y＝－2，∴|DE|＝6，∴当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥．20.[解析](1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，代入椭圆方程整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0.∵直线l与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2).即k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则eq\o(OP,\s\up16(→))＋eq\o(OQ,\s\up16(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，又x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2).又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1＋2k2).又A(eq\r(2)，0)，B(0,