53机械能守恒定律及其应用（精讲）（解析版）

专题5.3机械能守恒定律及其应用【考情分析】1．掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算。2．掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒。3．掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用。【重点知识梳理】知识点一重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。(2)重力做功不引起物体机械能的变化。2．重力势能(1)公式：Ep＝mgh。(2)特性：①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。知识点二弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W＝－ΔEP.知识点三机械能守恒定律及其应用1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能.2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.(2)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功．(3)常用的三种表达式：①守恒式：E1＝E2或Ek1＋EP1＝Ek2＋EP2.(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)②转化式：ΔEk＝－ΔEP或ΔEk增＝ΔEP减.(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)③转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减.(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)【典型题分析】高频考点一机械能守恒的理解与判断【例1】（2019·浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法不正确的是()A．加速助跑过程中，运动员的动能增加B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加【答案】B【解析】加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能被转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。【方法技巧】1．利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．【变式探究】（2020·湖北黄冈模拟）如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()A．小球的机械能守恒B．小球的机械能减少C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒【答案】BD【解析】小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。高频考点二单物体的机械能守恒【例2】(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()A．eq\f(v2,16g) B．eq\f(v2,8g)C．eq\f(v2,4g) D．eq\f(v2,2g)【答案】B【解析】设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1.小物块上滑过程中，机械能守恒，有eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR ①小物块从轨道上端水平飞出，做平拋运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝eq\f(1,2)gt2 ②x＝v1t③联立①②③式整理得x2＝(eq\f(v2,2g))2－(4R－eq\f(v2,2g))2可得x有最大值eq\f(v2,2g)，对应的轨道半径R＝eq\f(v2,8g).【方法技巧】求解单个物体机械能守恒问题的基本思路1.选取研究对象——物体。2.根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。3.恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。4.选取方便的机械能守恒定律的方程形式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp进行求解。【变式探究】(2020·宁夏石嘴山三中模拟)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5kg，v0＝3m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5m，g取10m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：(1)A、B两点的高度差；(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？【解析】(1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有vA＝eq\f(v0,cosθ)＝5m/s根据机械能守恒定律，有mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得A、B两点的高度差h＝0.8m。(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mgR(1＋cosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)代入数据解得vC＝3m/s小球通过C点的最小速度为v，则mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)＝eq\r(5)m/s因为vC>v，所以小球能到达最高点C在C点，由牛顿第二定律得mg＋F＝meq\f(v\o\al(2,C),R)代入数据解得F＝4N由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4N。高频考点三多物体机械能守恒【例3】(2020·山东泰安二模)如图所示，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ＝60°。已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)(1)试求小球2的质量；(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。【解析】(1)设系统静止时细绳中的拉力大小为T。小球受到容器的支持力FB方向沿BC。由几何关系知△DBC为正三角形，所以∠DBC＝θ ①对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知T＝mg ②Tcosθ＝FBcosθ ③Tsinθ＋FBsinθ＝m2g ④解得：m2＝eq\r(3)m。 ⑤(2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v1，小球2的速度为v2。v1沿绳竖直向上，v2沿圆弧切线斜向下。由几何关系知，v2与DB延长线的夹角为90°－θ ⑥由运动关系可知，v1与v2应满足v2sinθ＝v1 ⑦由几何关系知，BD＝R ⑧根据机械能守恒定律得m2gRsinθ－mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2) ⑨此时小球1的动能Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) ⑩解得Ek＝eq\f(3mgR,23＋4\r(3))＝eq\f(4\r(3)－3,26)mgR ⑪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v\o\al(2,2)＝\f(4gR,4\r(3)＋3)，v\o\al(2,1)＝\f(3gR,4\r(3)＋3)))。(3)细绳剪断后，小球2以v2为初速度，从B点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为v3，根据机械能守恒定律，得eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)＋m2g(R－Rsinθ)＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,3) ⑫设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N，根据牛顿第二定律得N－m2g＝m2eq\f(v\o\al(2,3),R) ⑬解得N＝eq\f(35\r(3)－23,13)mg ⑭由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为eq\f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下。 ⑮【答案】(1)eq\r(3)m(2)eq\f(4\r(3)－3,26)mgR(3)eq\f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下【方法技巧】解决多物体机械能守恒问题的三点注意1.对多个物体组成的系统，一般用“转化法”或“转移法”来判断系统的机械能是否守恒。2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。【变式探究】(2020·河北保定一中模拟)如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长．用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放．求：(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；(3)物体A的最大速度的大小．【解析】(1)恢复原长时对B有mg－FT＝ma对A有FT－mgsin30°＝ma解得FT＝30N.(2)初态弹簧压缩x1＝eq\f(mgsin30°,k)＝10cm当A速度最大时mg＝kx2＋mgsin30°弹簧伸长x2＝eq\f(mg－mgsin30°,k)＝10cm所以A沿斜面上升x1＋x2＝20cm.(3)因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEP＝0，由系统机械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin30°＝eq\f(1,2)×2m·v2得v＝g·eq\r(\f(m,2k))＝1m/s.【答案】(1)30N(2)20cm(3)1m/s高频考点四机械能守恒的应用【例4】（2020·新课标Ⅰ）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2。则（）A.物块下滑过程中机械能不守恒B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J【答案】AB【解析】下滑5m的过程中，重力势能减少30J，动能增加10J，减小的重力势能并不等与增加的动能，所以机械能不守恒，A正确；斜面高3m、长5m，则斜面倾角为θ＝37°。令斜面底端为零势面，则物块在斜面顶端时的重力势能mgh＝30J，可得质量m＝1kg。下滑5m过程中，由功能原理，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，μmg·cosθ·s＝20J，求得μ＝0.5，B正确；由牛顿第二定律mgsinθ－μmgcosθ＝ma，求得a＝2m/s2，C错误；物块下滑2.0m时，重力势能减少12J，动能增加4J，所以机械能损失了8J，D选项错误。故选AB。【举一反三】（2020·广东广雅中学模拟）如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？【解析】(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。该部分高度减少量h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(L－a,2)))sinα＝eq\f(L＋a,2)sinα该部分的质量为m