三维声子晶体的带结构

绪论1987年Yablonovitch和John分别在讨论周期性电解质结构对材料中光的传播的影响时，发现了光波的色散曲线形成带状结构，这是由于这种复合材料对经典波(包括光波、电磁波以及超声波和声波等)具有良好的带通和带阻特性，当复合材料的周期尺与光波、电磁波波长在一个数量级时，由于布拉格散射，电磁波在此介质中传播时会形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带(photonicband)[1]。光子能带之间出现的带隙，称为光子带隙(photonicbandgap，简称PBG)[2]，相应的材料体系称为光子晶体(photoniccrystal)，光子晶体带隙特性的研究已经取得比较大的发展并应用于实际。人们用类似的方法研究弹性波(EL)和声波(AC)在具有周期性结构的弹性介质中传播的问题。1992年人们便提出了声子晶体的概念。所谓声子晶体，就是当这种周期复合材料的周期尺度与声波或弹性波波长在一个数量级时，声波或者弹性波在该周期性弹性介质结构中传播时也会形成能带结构，能带之间出现的带隙称为声子带隙(phononicbandgap)，相应的这种复合材料称为声子晶体(phononiccrystal).因为人工制备的超晶格、光子晶体、声子晶体和天然晶体都具有周期性、能带结构、缺陷引起的局域现象等特性。所以，声子带结构和声子带隙的研究对工程应用和材料科学发展有着重要的意义。

1三维声子晶体概述1.1声子晶体简介声子晶体的概念要源于光子晶体，起初人们通过比较描述电子的薛定谔方程和光子的麦克斯韦方程发现，光子在折射率周期性变化的介质中的运动与电子在周期性势场中的运动类似，存在光子能带，并在一定条件下，会出现光子带隙，这种介电常数(或折射率)周期性变化的复合介质被称为光子晶体。一般来说，当复合材料内部不均匀性的特征长度和光波长可相比拟时，光子会受到很强烈的散射，而光子带隙就是周期性结构所产生的这种Bragg散射的结果[3]。光子与电子的能带结构、带隙都是以一种波的形式在凝聚态物质中传播的结果，从量子波和经典波在波动性上的共性出发，人们自然会联想到这样一个问题，是否声波和弹性波在某些特定结构的复合介质中传播也会产生声子带结构“声子带隙”实验与理论表明，确实存在这一类材料，声波在其中的运动会产生带结构及带隙。二十世纪二十年代初，日本科学家江崎(Easki)等人提出了超晶格的概念，打破了天然晶体由于其结构的不能改变性而产生的对其物理性质的限制；人们还利用分子束外延等技术制备出了半导体超晶格材料，即由两种或两种以上不同性质的半导体薄膜交替生长而形成的多层周期性结构，这对于该种材料内部的电子或空穴来说，相当于在原始的晶格周期势场上附加了新的周期势。由于电子的周期势决定了电子的能带结构，因此，人们通过改变超晶格所使用材料的特性和结构就可以改变电子的能带结构，达到“人工物性剪裁”的目的。我们称这类复合材料为声子晶体，这一概念最初出现在由Kushwaha等人撰写的一篇文章中[3]。与电子、光子的在半导体超晶格，光子晶体中的带隙性质相似，在声波或弹性波完全带隙的频率范围内，声波和弹性波的传播被禁止。声子晶体是由两种或两种以上的弹性材料按周期排列所组成的复合结构，准确说应该叫做周期性弹性复合材料。这里所说的“声子”指的是声波(弹性波)，其中“晶体”一词，取义于其人工周期结构。声子晶体中连续的物理相称作基体，不连续的物理相称作散射体，在结构上有一维、二维和三维之分。一维声子晶体的散射体为板状；二维声子晶体的散射体为柱体，其横截面通常有圆形、椭圆形、正方形、长方形等，散射体排列的拓扑结构可以是正方形排列、正三角形排列、正六边形排列等；三维声子晶体散射体的形状有球形，立方体等，排列的拓扑结构可以是简单立方结构，体心立方结构或面心立方结构等。性质电子晶体光子晶体声子晶体结构结晶体（自然的或生长的）由两种（或以上）介电材料够成的周期性结构由两种（或以上）弹性材料构成的周期性结构参量普适常数，原子数量级各组元的介电常数各组元的质量密度、声波的速度调控对象电子的输运行为费米子电磁波的传播波色子机械波的传播波色子晶格常数1~5A微观0.1~1cm介关或宏观介关或宏观波德布罗意波（电子）电磁波（光子）机械波（声波）偏振自旋恒波横波和纵波的耦合特征电子禁带，缺陷态，表面态光子禁带，局域模，表面态声子禁带，局域模，表面态带隙随着晶体势函数的增加而增加，没有电子态随着介电常数差的变化而变化，光子、光波存在随着量密度差及弹性常数变化而变化，无振动无声波存在观察表1-1我们可以发现，电子晶体、光子晶体及声子晶体的性质十分相似，只是它们在各自的尺度上遵循着各自的波动方程。这些相似性，使得电子晶体和光子晶体的研究成果，对声子晶体的研究都具有指导意义。一些常用的可以用来计算电子晶体和光子晶体带结构的方法和研究思路都可以类推到声子晶体带结构的计算和相关理解中来，又由于固体中弹性波的全矢量性(即同时存在横波和纵波，而光波只存在横波），所以对声子晶体的研究相比电子晶体以及光子晶体更多元化。表1-1天然晶体，光子晶体，声子晶体的性质[3]图1-1一维、二维和三维声子晶体结构图[3]由于通过设计声子晶体周期结构及其缺陷，可以在一定范围内人为地调控弹性波的传播。因此声子晶体具有广阔的应用前景。利用声子晶体的带隙特征，可以为高精密仪器系统提供一定频率范围内的无振动加工环境，从而保证加工精度水平，也可以为某些精密仪器提供无振动工作环境，从而提高参数精度，延长使用寿命。如用于旋转设备笨重底座的减振，声学成像系列背平面，飞机发动机底座电子设备底盘等。在降噪方面，众所周知，噪声污染和大气污染，废弃物污染，水污染，是世界公认的四大环境污染。抑制噪声对人类生存环境的负面影响，是一个具有意义的课题。而声子晶体可望在这方面取得重大突破。与传统声学材料相比，声子晶体具有频率可设计、针对性强、尺寸小、效果好等优点。利用声子带隙特性，可以设计和制造出一种全新的材料，这种全新材料既可以在噪声的传播途中隔离噪声，又可以在噪声源处控制噪声，声子晶体的禁带可通过改变微共振单元的大小和结构实现调控，当声子晶体中存在某种缺陷时，会在禁带范围内产生缺陷态，根据声子晶体存在缺陷时声波的局域特性，可以设计出新型的高效率、低能耗的声学滤波器，也可以设计出具有高聚集特性低能耗的声学透镜等。

1.2电子的能带理论电子的能带理论最初主要用于阐明晶体中电子运动的普遍性的特点。后来，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料的复杂能带结构的计算，它是研究固体中电子运动的重要理论基础，是量子力学在周期性固体结构中的应用。能带理论中的单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看做是独立在一个等效势场中的运动，电子不再束缚于个别的原子，而是在整个的固体内运动，称为共有化电子，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的电子被简化为在周期性势场中运动的单个电子的问题。这样的晶格满足如下薛定谔方程：方程中ψ是单电子的波函数，为平均势能场，能带计算就是解在具有周期性的势场中运动的单电子的薛定谔方程。晶格的基本特征是具有周期性，整个晶格可以看成是由某个基本单元在空间中周期性地重复排列而成的。晶格的周期性体现在势能场上，即势能场是晶格的周期性函数：方程中Rn是任意晶格矢量，上式表明晶格平移任意的格矢量Rn时，势场是不变的。Rn可表示为：方程中、、是任意的整数，、、而是三个不共面的基矢。通常只能用各种近似方法来求解在周期场中运动的单电子问题，选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，把晶体电子态的波函数用此函数集合展开，然后代入薛定谔方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，则可求得能量本征值再依照逐个本征值确定波函数的展开系数。常用的能带计算方法有：平面波方法、紧束缚方法、正交化平面波方法、赝势方法、微扰法等等。

1.3本课题的来源和论文的主要研究内容在光子晶体研究的基础上提出新的课题声子晶体的研究，这一课题的研究还刚刚开始，是一个崭新的研究方向，在国外仅有为数不多的几个课题组的研究，而在国内，除了我们课题组，只有国防科技大学、南京大学等少数几个单位在进行相关的研究，光子晶体大量的理论、实例与方法对声子晶体的研究具有很好的借鉴意义，声子晶体是一种特殊的复合材料，声子晶体的结构决定其性质，其最大的特点是它的可设计性，因此我们完全可以设计出实际需要的声子晶体材料，由于声子晶体结构的多样性，因此，对声子晶体能带结构的研究，有许多工作值得我们去做，因此提出了对三维声子晶体能带结构进行研究。

2声子晶体能带结构的平面波计算方法2.1几种弹性波能带的计算方法声子晶体带隙结构的理论计算可以指导实验的方向，而实验的过程则可以检验理论的成败，所以说声子晶体带隙结构的理论研究与实验研究是相辅相成的。通过理论计算可以得到带结构、透射系数、态密度等信息、弹性波在液体、气体中传播时只有纵波，但在固体中传播时既有纵波，也有横波。在均匀介质中，纵波和横波是独立的；而在非均匀介质中，横纵波往往相互祸合，造成计算声子晶体带隙的过程较为复杂。目前，已经发展起来的弹性波能带计算方法主要有:传输矩阵法，平面波方法[5,6]，时域有限差分法[6,7]，多重散射法[8]，微扰法[9]，有限元[1o]法等。(1)输矩阵法(TMM)主要用于计算一维层状声子晶体的能带，传输矩阵法从联系状态参数(应力，速度等)的基本方程出发，得到固体平板介质的传输矩阵，它表示了相邻空间之间的场的关系，然后由介质界面的边界条件，得到系统的解。(2)有限时域差分法(FDTD)有限时域差分法是将场方程在划分的网格中进行离散化，即将波动方程离散化为差分方程，求解场在时域上的演化。其优点是算法通用性强，计算过程直观，物理图像明确，信息量大，可以模拟各种复杂的周期结构，也能处理各向异性组元的能带问题，并可以计算透射系数，不足是当网格剖分得较密时，计算时间长，处理频域问题时不够直观。(3)多重散射法(MTS)多重散射法起源于电子能带结构计算中的KKR(Korringa-Kohn-Roskoker)方法。后来，多重散射法理论又发展到对电磁波、光子晶体的研究，近来，此理论又应用到了弹性波的研究中，准确地计算出了能带结构。此方法认为，晶体的能带结构取决于各个散射球之间的弹性米氏(Mei)散射，通过计算来自其他球的声波入射到单球表面的散射，求解特征方程。这种方法可以求有限层结构中弹性波的反射系数与透射系数。(4)有限元法(FEM)有限元法是将物体离散化有限个数的单元体，找到单元的刚度矩阵K，质量矩阵M，以及阻尼矩阵C，载荷列阵f，在不考虑体积力时整个结构的动力学方程可表示为:其中q是节点位移，求解此动力学方程可以得到系统产生的位移、速度、加速度的值，也可以得到系统的特征振动模态，其优点是剖分网格形状灵活，可以利用模拟区域的对称性降低计算量，直接计算场的空间分布，可计算声子晶体、光子晶体波导中的色散曲线，传输损耗等。

2.2平面波展开方法由于平面波展开方法有较强的适应性，所以在声子晶体以及光子晶体能带结构的数值计算中得到了最为广泛的应用。本文中也将采用平面波的方法对具有带表型的三维声子晶体的能带结构进行研究。（1）弹性波波动方程理想弹性介质的动力学问题可以整理为十五个基本方程[10]:三个应力一位移平衡方程，六个应变一位移几何方程，六个应力一应变本构关系。采用位移解法，消去应变、应力，得到以位移表示的运动微分方程，即弹性波动方程:（2.1）式中，是位移的矢量；是拉梅系数；是介质的质量密度，三者与波速的关系是：（2.2）在直角坐标系下，式（2.1）可以写成：其中（2）平面波展开法所谓的平面波展开方法就是将波动方程中的位移，弹性参数等物理量在倒格子空间作傅立叶近似展开，把波动方程变成一个标准的或广义的本征方程(久期方程)，通过求解本征值便可得到色散关系，即能带结构。平面波展开法在处理固体-固体，液体(气体)-液体(气体)等系统时取得了很大的成功。固体—固体系统考虑由无穷多个平行于z轴的柱体组成的二维周期结构均与z无关，再假设弹性波在XY平面内传播，总的波动方程可分为两个方程，一个是位移沿z轴方向的横模方程(2.4)式。（2.4）另一个是位移在XY平面内的横模加纵模的混合方程(2.5)式。（2.5）其中在弹性系数周期性排列的复合结构中都是的周期函数：（2.6a）(2.6b)(2.6c)其中矢量，倒格矢口表示为(2.7)式。（2.7）将上面三个系数按傅立叶级数展开成根据布洛赫定理，位移矢量可写成：(2.8)将相应的系数与位移飞展开式代入方程（2.1）可得如果我们用N个倒格子来求和，则分别得到N×N和2N×2N个矩阵元的本征值方程。数值计算时，N只要取到足够大使得结果收敛为止。我们以A-B二组元系统为例，来计算各个傅立叶系数。假定B为基体，A为填充体，则体积填充率(2.9）式（2.9）中称为结构函数S是单基体面积。机构函数对声子晶体的能带计算有重要的的影响。液体-液体系统在由液体(气体)和液体(气体)组成的声子晶体中，横向模量件O，仅仅存在单一的纵波模，而不论这种周期性是一维的、二维的还是三维的，对于一个各向同性的液体或气体介质而言，根据压强，（2.1）式可以化简成：(2.14)上式中分别是液体的模量和质量体 密度。对于按周期性排列的二组元液体声子晶体而言，方程（2.14）中的压强P同样可以写成。波矢被限制如第一布里渊区，式中与具有相同的周期，可以用傅里叶级数展开：（2.15）上式中代表和，求和是对所有的倒格求和。把和（2.15）代入波动方程（2.14）得：（2.16）选取N个倒格矢，上述方程变为含有N个未知系数的N×N阶本征值方程。解此方程就可以得到相应的液体-液体的能带结构。

3三维声子晶体的理论模型一般的三维声子晶体是由任意形状的散射体A放入基体B中组成，但是为计算简单，我们通常将散射体的形状取球形、正方体等，而散射体在基体中的排列有简立方、面心立方和体心立方结构等。本章分别对这几种结构的排列做简要的介绍。3.1简立方排列其晶格基矢：倒格子基矢：如图3-1所示为简立方格子的第一布里渊区，图中的一系列点具有高度的对称性，这些点的符号和波矢分别为：图3-1三维简立方排列的第一布里渊区[6]符号：RMX波矢：3.2面心立方排列其晶格基矢：倒格子基矢：图3-2三维面心立方排列的第一布里渊区[7]如图3-2所示为简立方格子的第一布里渊区，图中的一系列点具有高度的对称性，这些点的符号和波矢分别为：符号：XKL波矢：，3.3体心立方排列其晶格基矢：倒格子基矢：图3-3三维体心立方排列的第一布里渊区如图3-3所示为体心立方格子的第一布里渊区，图中的一系列点具有高度的对称性，这些点的符号和波矢分别为：符号：HPN波矢：

4三维周期性复合介质中的能带结构人们在研究弹性波带结构时发现，对于二组元复合介质，只有在不一定条件下才能打开带隙。而影响带结构的因素主要包括晶体的两种材料参数比（密度比、波速比），散射体的填充率，散射体的几何结构，以及晶体的排列结构[4,5,6]。对于三维系统，在晶体的排列结构方面，已有的研究表明，钻石形结构、面心立方和体心立方结构都有利于较大带隙的产生[4,5,7]。在散射体的几何结构方面，大部分的散射体是球形，也有立方体的和圆柱体的，但散射体是正方体旋转（即立方体绕平行于Z轴的中心轴旋转）和长方体的情况还没有相关的比较详细的研究，本章讨论这种正方体旋转散射体和长方体散射体的三维声子晶体的带隙。4.1三维声子晶体的平面波理论一般来说三维声子晶体是由任意形状的散射体嵌入基本中形成的，在图考虑波函数的含时部分时，对于局域各向同性介质的三维弹性波波动方程可写成如下形式：上式中假设我们取M个倒格矢，方程则变成了含有3M个未知系数的个矩阵元的本征值方程，我们可采用数值计算的方法求解，M的取值增大到满足预定的精度为止。在第一布里渊区，对每一个给定的波矢，解特征值方程可获得无限多个本征解，每一个解用n（除了用)来标识，相应的本征频率为令波矢扫描整个不可约布里渊区，求特解征方程的得到能带结构。一般的取值主要集中在布里渊区中的中间和边沿的高对称区，图2-4为三维简立方排列时的第一布里渊区，沿着RM−MΓ−ΓX−ΧM线变化。图2-5为三维面心立方排列时的第一布里渊区，沿着UL−LΓ−ΓX−ΧW−WK线变化。图2-6为三维体心立方排列时的第一布里渊区，沿着PΓ−ΓH−HN−NP线变化[11]。

4.2带结构的计算（1）长方体散射物简立方结构我们首先计算了以金(Au)长方体作为散射体，以简立方结构排列于环氧树脂（Epoxy）基体中，所组成的三维声子晶体的带隙。分别为倒格矢在x、y、z方向整数的取值)，即所取的平面波个数为343个，则方程(4-1)就变为1029×1029个矩阵元的本征值方程，此时所有解有很好的收敛性。令a=1.0cm，F=0.3，时，得到如图4-1[6]所示的能带结构，在最低的二十五能带中出现了一个很宽的带隙，带隙位于第6~7带之间，即约在Ω=0.812处，起带隙相对宽度，带宽。图4-1金长方体按简立方结构排列于环氧树脂基体中的带结构其中金的填充率为30％，晶格常数a=1cm[7]图4-2金长方体按简立方结构排列于环氧树脂基体中的弹性波宽度与与带隙中间频率之比随金长方体的长高之比的变化关系[7]。另外我们再以金长方体作为散射体按简立方结构排列于环氧树脂这一系统为例，保持金的填充率F=0.3不变，晶格常数a=1.0cm也保持不变，而改变金长方体的高与长之比（即），发现最低带隙的相对宽度随的变化关系图如图4-2所示。发现带隙在（即金为正方体）时最宽，而且当时带隙消失。面心立方结构我们再次计算了金(Au)长方体作为散射体，以面心立方结构排列于环氧树脂(Epoxy)基体中所组成的三维声子晶体的带结构。取a=4.0cm，F=0.3，时，在最低的二十五个能带中出现了一个很宽的带隙，带隙位于第6~7带之间，即约在Ω=1.41处，带隙相对宽度，带宽。我们试着改变散射体的材料，用铅来代替金（即铅/环氧树脂系统），其它参数不变，带隙同样位于第6～7带之间，即约在Ω=1.13处，，带宽∆Ω=0.168。显然金/环氧树系统的带隙要比铅/环氧树脂系统的宽得多。当我们用硅代替环氧树脂（即金/硅系统），同样的其它参数不变，却得不到带隙。这是因为对固态声子晶体，高密度填充物和低密度基体有利于带隙的产生，另外两种介质的波速这比也起着重要的作用，若基体的波速相对较小，那更容易产生带隙。我们还讨论了填充率对带隙的影响，而图4-4给出了带隙的相对宽度与填充率的关系，其中曲线B是金(长方体)放在环氧树脂中情况，曲线C是铅(长方体)放在环氧树脂中的情况。由图可看出散射体是金时带隙总比铅的要大得多，而且出现带隙的填充率范围也要大，金约在0.08≤F≤0.53的范围内出现带隙，而铅约在0.09≤F≤0.45的范围内出现带隙。两者都约在F=0.28时有最宽的带隙。填充率图4-4B、C分别表示Au/epoxy和Pd/epoxy系统的相对带隙宽度随填充率变化的关系图4-5Au/epoxy系统中带隙相对宽度随散射体的高与长之比的变化关系曲线[8]另外，我们还以Au/epoxy系统为例，研究了带隙受散射体（长方体）高与长之比的影响。保持散射体的填充率F=0.3和晶格常数a=4.0cm不变，改变高与长之比，得到带隙的变化情况如图4-5所示，即带隙的相对宽度随散射体的高与长之比（）的变化系曲线。由图可知，当时带隙消失，当=1（即金是正方体）时带隙最宽。时带隙宽度随其比例的增加而迅速增加，而当时带隙宽度随其比例的增加而缓慢减小。体心立方结构我们再将以金立方体旋转作为散射体，按体心立方结构排列于环氧树脂基体中，计算了这种结构的三维声子晶体的能带结构，其中图4-6给出了晶格常数a=1.0cm、f=0.2、时的带结构图。由图可知，在第6~7带之间出现了一条较宽的带隙，带隙频率宽度带隙的相对宽度为图4-6金立方体旋转25度放在环氧树脂中按体心立方排列的带结构图[7]图4-7最低带隙的相对频率随金立方体的旋转角θ的变化关系[9]图4-7给出了最低带隙的相对宽度随金立方体的旋转角θ的变化关系。由图可知，随着旋转角θ从增加到时，相对频宽便从增加到。

4.3立方体旋转散射体简立方结构我们计算立方体旋转散射体按简立方结构排列于基体中所形成的三维声子晶体的能带结构，所谓立方体旋转即将立方体绕沿Z轴方向的中学对称轴旋转θ角，如图4-8所示，（b）图为元胞的横截面（即垂直于Z轴的面）图，其中θ为旋转角。图4-8（a）立方体旋转θ角按简立方结构排列于基体中的元胞示意图。（b）表示元胞的一个垂直Z轴方向的横截面图，θ为绕Z轴旋转的角度[11]图4-9给出了这种结构的金/环氧树脂系统(金为散射体)的弹性波带结构图，其中散射体的填充率为F=0.3，晶格常数a=1.0cm。在第6~7能带之间出现了一条较宽的带隙，带隙的归一频率宽度，带隙的相对宽度。图4-9金立方体旋转25度放在环氧树脂中按体心立方排列的带结构图[7]下图4-10，给出了最低带隙的相对宽度随金立方体的旋转角θ的变化关系。由于这两种情况相同，这里仅给出了一种结果。时带隙缓慢减小，带隙的相对宽度从变化到，时带隙迅速减小，由减小到。图4-10最低带隙的相对频率随金立方体的旋转角θ的变化关系[9]面心立方结构图4-11金立方体旋转25度放在环氧树脂中按面心立方排列的带结构图[7]我们将金立方体旋转作为散射体，按面心立方结构排列于环氧树脂基体中计算了这种结构的三维声子晶体的能带结构。其中图4-11给出了晶格常数a=1.0cm，f=0.16，时的带结构图。由图可知，在第6~7带之间出现了一条较宽的带隙，带隙频率宽度，带隙的相对宽度为。图4-12最低带隙的相对频率随金立方体的旋转角θ的变化关系[9]我们同样研究了旋转角对带隙的影响，图4-12给出了最低带隙的相对宽度随金立方体的旋转角θ的变化关系。带隙的相对宽度随旋转角的增加几乎呈线性减小。体立方结构现将金立方旋转体作为散射体，按体心立方结构排列于环氧树脂基体中，计算了这种结构的三维声子晶体能带结构，图4-13给出了晶格常数a=1.0cm、f=0.2、时的带结构图。由图可知，在第6~7带之间出现了一条较宽的带隙，带隙频率宽度，带隙的相对宽度为。图4-13金立方体旋转25度放在环氧树脂中按体立方排列时的带结构图，散射的填充率f=0.2，晶格常数a=1.0cm[12]图4-14最低带隙的相对频率随金立方体旋转角θ的变化关系，其中金立方体的填充率为百分之二十，晶格常数为1.0cm，金按BOC结构排列。[12]图4-14给出了最低带隙的相对宽度随金立方体的旋转角θ的变化关系。由图可知，随着旋转角θ的增大。相对频率宽度也逐渐增加，当相对频宽便从增加到。（3）球形散射物通过计算钨/铝系统的带结构:将钨求分别以简立方、面心立方、体心立方结构排列于铝基体中，而其他的参数均相同，即取晶格常数a=1.0cm，钨球的填充率为25％。三种情况下的带结构如图4-16所示，其中第一幅是简立方结构排列情况，归一频率在0.7329~0.8132时有带隙出现，如图中阴影部分所示，带隙宽度为。第二幅图是面心立方结构排列的情况，在归一频率为1.1429~1.3597处出现一条较宽的带隙，其宽度为。第三幅图是体心立方结构的带隙，其宽度为。SC

FCCBCC图4-15钨/铝系统的三维声子晶体的带结构，其中钨球填充率为25％[12]通过比较这三幅图可知，钨球以相同的填充率25％放入铝基体中，按面心立方排列时，产生的带隙最宽，其次按体心立方排列时带隙略小，而按简立方排列时带隙宽度要小得多，其宽度还不到体心立方的一半。另外我们再对其他材料进行计算，都得到了相似的结果，这说明带隙的宽度与复合介质的组元的周期性排列结构有关，一般来说，周期性结构的对称性越低，带隙越容易产生，但也有例外，在某些特殊情况下，对称性的高低并不完全对应于带隙的宽度。结论本文主要采用了多重散射法，通过研究金属球/环氧树脂体系(金属球体为散射体)局域共振型三维声子晶体的带隙特性，验证了带隙特性的理论规律，得到了如下规律：对于二组元系统的声子晶体来说，两介质的密度和波速的高衬比是产生带隙的必要条件，而密度比越大越有利于带隙的出现。对于固态/固态声子晶体，高密度填充物放入低密度基体中，有利于带隙的产生，反之则会阻碍带隙的产生。同样对于二组元三维声子晶体，当散射体为长方体时，并按三种周期性结构排列（即SC、FCC、BCC）都出现了完全带隙。当散射体的长与高之比变化时，其带隙宽度都随着长与高之比的增加而先增加，然后减小，当长与高之比为1时（即散射体为正方体时）获得的带隙最宽。当散射体为正方体并绕其中心轴旋转角θ时，其带隙受旋转角θ的影响，散射体的排列结构为SC和FCC时，带隙宽度随着旋转角θ的增加而减小，而对BCC结构来说，情况刚好相反。（3）散射体和基体三种不同排列结构（SC、FCC、BCC）对三维声子晶体的带隙产生的情况也有一定的影响，排列结构的对称性越高的产生的带隙越小，FCC结构要优于BCC结构，BCC结构又优于SC结构。随着科技的迅速发展，使得人们的物质生活有了很大改善的同时也使得环境受到了严重的污染，其中噪声与振动污染是世界上环境污染的四大公害之一。因此要改善环境，消除噪声和振动是一项很重要而艰巨的任务。而声子晶体具有禁带的特性，并且声子晶体的禁带和导带具有可设计性，我们可根据需要设计出一定频率范围内的声子禁带，故可望声子晶体在这方面有所贡献