椭圆及其性质

精品题库试题理数1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案]1.A[解析]1.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.2.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6[答案]2.D[解析]2.设Q(cosθ,sinθ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.3.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2[答案]3.A[解析]3.解法一:设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最小值为.故=.故选A.4.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案]4.A[解析]4.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.5.(2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），9)已知两定点和,动点在直线:上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为(

)A.B.C.D.[答案]5.

B

[解析]5.

要使离心率最大，即使最小，即长轴最短.由数形结合知：当直线与椭圆C相切时长轴最短，就最小.联立椭圆方程及直线方程得：，由可解得：（舍）或，此时，选B.

6.(2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9)如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（

）A.B.C.D.[答案]6.D[解析]6.

设，，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，所以双曲线的离心率为.7.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点是椭圆的一个短轴端点，如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（

）A．B．C．

D．[答案]7.

B[解析]7.

设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,6)已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为(

)

(A)

(B)

(C)

（D）[答案]8.

A[解析]8.

在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6)在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则(

)

(A)2

（B）3

（C）

（D）[答案]9.

A[解析]9.

依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，由椭圆的定义知，①由双曲线的定义知，②又，，由①②得，，即，故.10.(2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测,9)已知曲线上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲线的一条切线交、轴交于、两点，则的面积的最小值为（

）A.

4

B.

C.

8

D.

2[答案]10.

D[解析]10.

依题意，曲线的方程为椭圆，其方程为，设切线方程为，联立方程组，消去得，由，整理得，即切线方程为，令，则，令，则，，当且仅当取等号.故的面积的最小值为2.11.(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,11)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.[答案]11.

A[解析]11.椭圆：与双曲线有相同的焦点，，，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.12.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.[答案]12.12[解析]12.由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2[+],故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.13.(2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.[答案]13.查看解析[解析]13.(Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|==c.从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(Ⅱ)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(Ⅰ)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.14.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.[答案]14.查看解析[解析]14.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).15.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.[答案]15.查看解析[解析]15.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.16.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(Ⅰ)求C1,C2的方程;(Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.[答案]16.查看解析[解析]16.(Ⅰ)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(Ⅱ)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.17.(2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.[答案]17.查看解析[解析]17.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.18.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.[答案]18.查看解析[解析]18.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.19.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.[答案]19.查看解析[解析]19.(Ⅰ)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.20.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.[答案]20.查看解析[解析]20.(Ⅰ)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(Ⅱ)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.21.(2014课表全国Ⅰ，20，12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.[答案]21.查看解析[解析]21.(Ⅰ)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(Ⅱ)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.22.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，21）（原创）如图所示，椭圆：的左右焦点分别为，椭圆上的点到的距离之差的最大值为2，且其离心率是方程的根。(1)

求椭圆的方程；(2)

过左焦点的直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，求的最小值，以及取得最小值时直线的方程。[答案]22.查看解析[解析]22.

(1)设是椭圆上任意一点，则，故。解方程得或。因，故，因此，从而。所以椭圆的方程为；(2)法一：焦准距，设，则，，故。易知，故。令，则。令，则，故在单调递增，从而，得，当且仅当即时取等号。所以的最小值为，取得最小值直线的方程为。法二：当轴时易知，，有。当与轴不垂直时，设：，代入并整理得，故。圆心到的距离，故，令，则。令，且，则。因，故，因此，从而，可知。综上知的最小值为，取得最小值直线的方程为。23.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，22)椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．[答案]23.查看解析[解析]23.（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为．

4分（2）设．联立得，则

8分又．因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，，即．．．．解得：，且均满足．当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．

14分24.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，21)已知椭圆的离心率为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围并证明直线与轴相交顶点。[答案]24.查看解析[解析]24.解：(I)由题意知故……1分

又设椭圆中心关于直线的对称点为，于是方程为……2分由得线段的中点为（2，-1），从而的横坐标为4故椭圆的方程为=1……6分（II）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为并整理得

①……

8分由，得又不合题意……10分设点，则由①知……11分直线方程为……12分令得，将代入整理得，再将，代入计算得直线轴相交于顶点（1，0），……14分25.(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20)抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C1,C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C,D两点，连接OC,OD分别交C2于E,F两点，记，的面积分别为,.问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.[答案]25.查看解析[解析]25.

（1）∵∴焦点∴即……………1分又∵

∴

……………2分代入抛物线方程得.又B点在椭圆上得，∴椭圆C2的标准方程为.……………4分（2）设直线的方程为，由得设，所以……………6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，……………10分所以，所以，故不存在直线使得

……………12分26.(2014山西太原高三模拟考试（一），20)已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为（I）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB,求此圆的方程；[答案]26.查看解析[解析]26.27.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,21)设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点,到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若,求的取值范围；（Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.[答案]27.查看解析[解析]27.（Ⅰ）设,的坐标分别为,其中，由题意得的方程为:，因到直线的距离为,所以有,解得，所以有……①由题意知:,即……②联立①②解得:，所求椭圆的方程为.

（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆的方程为，设,，由于,所以有，又是椭圆上的一点,则，所以，解得：或.

（9分）（Ⅲ）由,设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为，把它代入椭圆的方程,消去,整理得:，由韦达定理得,则,，所以线段的中点坐标为，(1)当时,则有,线段垂直平分线为轴，于是，由,解得:，（11分）(2)当时,则线段垂直平分线的方程为，因为点是线段垂直平分线的一点，令,得，于是，由,解得，代入,解得，综上,满足条件的实数的值为或.

（14分）28.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，19)已知椭圆E：的右焦点为F（1，0)，设左顶点为，上顶点为，且，如图所示．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点与椭圆上的另一点C（非右顶点）关于直线l对称，直线l上一点N（0，y0）满足，求点的坐标．[答案]28.查看解析[解析]28.

（Ⅰ）由已知，，因为，所以，又，所以，解得，所以，，所以椭圆的标准方程为.

（4分）（Ⅱ）记，且，则线段的中点，易知，则，则，令得，因为，所以，即，所以，联立方程组消去得，解得或（舍去），所以，即或.

（13分）29.(2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，21)已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．[答案]29.查看解析[解析]29.（Ⅰ）依题意，，，因为，所以，，所以所求椭圆的标准方程为.（5分）（Ⅱ）设直线的方程为，，，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，，因为，，所以.（12分）30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，21)设是圆上的任意一点，过作垂直于轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹是曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过曲线的左焦点作斜率为的直线交曲线于、，点满足，是否存在实数，使得点在曲线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.[答案]30.查看解析[解析]30.（Ⅰ）如图，设，，则由可得，，即又，，即为曲线C的方程.

（6分）（Ⅱ）设由，（8分）设，，，即P点坐标为将点代入，得（负舍去）存在当时，点在曲线C上

.（13分）31.(2014河北唐山高三第一次模拟考试，20)为圆:上的动点，点.线段的垂直平分线与半径相交于点，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）当点在第一象限，且时，求点的坐标.[答案]31.查看解析[解析]31.（Ⅰ）圆的圆心为，半径等于.由已知，于是，故曲线是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，，，，曲线的方程为.（5分）（Ⅱ）由，，得.（8分）于是直线方程为.由，解得，，由于点在线段上，所以点坐标为.（12分）32.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,20)已知椭圆:的长轴、短轴、焦距分别为、、，且是与等差中项.（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若曲线C2的方程为，过椭圆左顶点的直线与曲线相切，求直线被椭圆截得的线段长的最小值.[答案]32.查看解析[解析]32.解：(I)由题意得，，（），所以，解得，故椭圆的方程为.

（6分）(II)由(I)得椭圆的左顶点坐标为，设直线的方程为，由直线与曲线相切得，整理得又因为即解得，联立消去整理得，直线被椭圆截得的线段一端点为，设另一端点为，解方程可得点的坐标为，所以，令，则，考查函数的性质知在区间上是增函数，所以时，取最大值，从而.（12分）33.(2014山东实验中学高三第一次模拟考试，20)已知椭圆为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点，以线段,为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围.[答案]33.查看解析[解析]33.解：(Ⅰ)由题意，，解得，所以所求的椭圆方程为.(4分）(Ⅱ)当时，在椭圆上，所以，解得，所以，当时，则由消去化简整理得，由①设，，，则，，（8分)由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足①式.因为，则，所以，又，因为，故.综上所述，的取值范围是.

（13分）34.（2014广东汕头普通高考模拟考试试题，19）已知椭圆的方程为，如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为.(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若椭圆与无公共点，求的取值范围；(Ⅲ)若椭圆与相交于不同的两点，分别为、,求面积的最大值.[答案]34.查看解析[解析]34.(Ⅰ)由已知可得,,,即椭圆的离心率为,(4分)(Ⅱ)由图可知当椭圆在直线的左下方或在椭圆内时,两者便无公共点(5分)①当椭圆在直线的左下方时将:即代入方程整理得,由即<0解得∴由椭圆的几何性质可知当时,椭圆在直线的左下方,(7分)②当在椭圆内时,当且仅当点在椭圆内∴可得,又因为,∴综上所述,当或时,椭圆与无公共点,(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,椭圆与相交于不同的两个点﹑,又因为当时,椭圆的方程为,此时椭圆恰好过点,∴①当时,﹑在线段上,显然的,此时,当且仅当﹑分别与﹑重合时等号成立,,②当时,点﹑分别在线段,上,易得,,∴，令,则，所以=

综上可得面积的最大值为1.(14分)35.(2014广东广州高三调研测试，21)如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为.过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.(Ⅰ)若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；(Ⅱ)求的最大值.[答案]35.查看解析[解析]35.解：(Ⅰ)因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，[]所以，.所以椭圆的方程为.（4分）(Ⅱ)因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.（7分）因为点，设点，则有.解得，.因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得（10分）所以，.所以当，即时，取得最大值.故的最大值为.（14分）36.(2014北京东城高三第二学期教学检测，19)椭圆：()的离心率为，其左焦点到点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.[答案]36.查看解析[解析]36.（Ⅰ）由题：；左焦点到点的距离为：.所以.所以所求椭圆C的方程为：.（5分）（Ⅱ）设，由得，，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为（14分）37.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，20）已知双曲线C：的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．

(I)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．[答案]37.查看解析[解析]37.38.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，20）已知椭圆的离心率为,椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于A，B两点,记为坐标原点)的面积为,将表示为m的函数，并求的最大值.[答案]38.查看解析[解析]38.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得设A、B两点的坐标分别为，则………6分

,(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1.

………13分39.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，20）如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．[答案]39.查看解析[解析]39.

（Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为．----------------------4分（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P（，0）、Q（，0），．------6分当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则﹣1+4mk=0，∴k=．-----------------------------------8分此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．

-------------------------10分于是=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，由得1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为[﹣1，）．-------------------------------13分40.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，20）已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

[答案]40.查看解析[解析]40.（1）由点在椭圆上得，

①

②由①②得，故椭圆的方程为……..4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设

③代入椭圆方程并整理得设，则有

④……………6分在方程③中，令得，，从而.又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以故存在常数符合题意……………12分41.(2014广西桂林中学高三2月月考，21)已知、、是椭圆上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．[答案]41.查看解析[解析]41.(Ⅰ)(Ⅱ)由条件，，①当时，显然.②时，设，联立方程组消去得，由，可得，

（7分）设，，中点，则，，所以，由，所以，即，所以化简得，所以，把代入解得，故的取值范围是.

（12分）42.(2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，21)已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上.[答案]42.查看解析[解析]42.解：（Ⅰ）由题意知：，……………1分椭圆上的点满足，且，.，.…………2分又………3分椭圆的方程为.………4分（Ⅱ）由题意知、，（1）当直线与轴垂直时，、，则的方程是：，的方程是：，直线与直线的交点为，∴点在直线上.……………………6分（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，、，由得∴，…………………7分，，共线，∴………………8分又，，需证明共线，需证明，只需证明

若，显然成立，若，即证明

∵成立，……………11分∴共线，即点总在直线上.………12分[来源:Z*43.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，20)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．[答案]43.查看解析[解析]43.

（1）『解法1』：(Ⅰ)由题意，得，………2分解得………4分∴椭圆方程为.………5分『解法2』：右焦点为，左焦点为，点在椭圆上所以，所以椭圆方程为…………5分（2）『解法1』：由题意，设的方程为∵与圆相切∴，即…………6分由，得……………7分设，则，…………8分∴

…………10分又∴…………11分∴（定值）…………12分『解法2』：设，………………8分连接，由相切条件知：………………10分同理可求所以为定值.………………12分44.(2014湖北武汉高三2月调研测试，21)如图，矩形ABCD中，|AB|＝，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：；（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．[答案]44.查看解析[解析]44.45.(2014湖北八市高三下学期3月联考，21)己知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（I）求点N的轨迹C的方程；（II）若A(2，1)，B(3，0)，过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．[答案]45.查看解析[解析]45.

(Ⅰ)设,,则,,由,得,………3分由于点在圆上,则有,即.点的轨迹的方程为.…………6分(Ⅱ)设,,过点的直线的方程为,由消去得:,其中;…………8分

……………10分是定值.………………13分46.(2014天津七校高三联考,18)设椭圆:过点，离心率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．[答案]46.查看解析[解析]46.

（Ⅰ）将点代入的方程，得，，又，得，即，曲线的方程为.

（5分）过点且斜率为的直线方程为，

（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，，由消去得，解得，，所以的中点坐标，，即所截得的中点坐标为.

（13分）47.(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,20)已知的两顶点坐标，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，，，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

[答案]47.查看解析[解析]47.

解析

（Ⅰ）由题知所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆