三角函数-公开课教学设计

第21讲三角函数一、教材分析

1．三角函数是高中数学中课时量最大的一章，是高考的必考内容。试题内容一般围绕三角函数式的变换、求值或三角函数的性质及图象等。通过近几年高考题分析，三角函数图象变换与对称问题、已知三角函数图象求其解析式的问题是考生的失分点。试题难度不大，一般在“较易”到“中档”的程度。但试题越来越灵活，对思维的要求越来越高。

2．知识分析：

1)同角关系：倒数关系、商数关系、平方关系

①熟记公式，一是理解sin、cos、tan、cot、sec、csc的定义式，如。二是可以有下面图示巧记这些公式。②理解公式：必须是同角关系。注意平方关系，开方要注意符号的判断与选择。

2)诱导公式：

①正确理解“奇变偶不变，符号看象限”这句话是有前提条件的，即“假设是锐角”，同时奇、偶是指是的奇数倍，偶数倍。

②灵活运用：注意诱导公式与三角周期性质的应用。如,用的是诱导公式，但则用的是正切函数y=tanx的周期为。

3)两角和与差，二倍角，半角，万能，和差与积互化公式：这些公式的理解和记忆是非常重要的。建议把这些公式详细推导几遍。这对公式应用很重要。如万能公式的推导过程如下：

。

4)正、余弦定理：

要求会用正、余弦定理解斜三角形或判断三角形的形状，理解正、余弦定理应用的辨证关系。

二、例题与解答：

例1.已知,求下列各三角式的值：

(1)；(2)

分析与解答：用诱导公式化简条件等式得同角的正、余弦的齐次式-sin=2cos。显然cos≠0，否则已知条件等式不成立，∴tan=-2.

(1).

(2)

例2．求下列三角函数中实数x的取值范围。

(1)是第三、四象限角，；

(2)且

分析与解答：

(1)是第三、四象限角，则-1<sin<0

即，解之，得。

(2)由及同角关系有

。

例3．求下列函数的定义域：

(1)；(2)

分析与解答：

(1)或x=2k(k∈Z).

故定义域为{}.

(2)

。

故定义域为{}。

例4．求下列函数的值域：

(1)(2)y=asinx+bcosx+c(ab≠0)(3)y=sinx+cosx+sinxcosx

分析与解答：

(1)由原函数式可得，由-1≤sinx≤1

∴,∴或y≥3。当时，y无解∴值域为。

(2)将原函数式化为，

其中。当sin(x+)=1时，y有最大值

当sin(x+)=-1时，y有最小值-。∴函数的值域为[-,]。

(3)由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx得sinxcosx=,

∴原函数可化为.设.

∴,

当t=-1时，y取最小值-1，当时y取最大值。

∴函数的值域为。

例5．已知，求证：。

分析与解答：将所证不等式中的正切换为同角的正、余弦的商，使所证不等式两端的分子、分母分别为同名函数，再利用正、余弦函数在上的单调性加以证明。

将所证不等式变形为<.

由于

∴∴∴.同理∴

综上可证。

例6．已知函数。

(1)当函数y取最大值时，求自变量x的集合；

(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象怎样变换得到的？

分析与解答：

(1)将所给函数化为一个三角函数的形式

当y取最大值时只需，得。

(2)将y=sinx图象依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx的图象向左平移，得函数的图象；

(ii)把所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；

(iii)把所得图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变。得到函数的图象。

(iv)把所得图象向上平移个单位，得到函数的图象。

例7．求函数的周期，并判断其是否存在最大值或最小值。

分析与解答：确定周期，应将原函数转化为一个三角函数的形式。但是三角变形有可能改变了原函数的定义域，在讨论函数性质时，要特别注意这一点。

原函数定义域应使1+cosx-sinx≠0即，∴且

∴定义域为{且}。

由

.

其中且，但这并不影响其周期性，∴。

要使f(x)有最小值，则必需即，这样的取值不在函数定义域中，故函数不存在最小值。

要使f(x)有最大值，则必需，即。

这样的取值也不在函数定义域内，故函数不存在最大值。

三、作业

1．若角满足,则在（）。

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

2．若，则=（）。

A、B、C、D、0

3．已知是第三象限角，且，那么sin2等于（）。

A、B、C、D、

4．下列函数中，以为周期的函数是（）。

A、y=sin2x+cos4xB、y=sin2xcos4xC、y=sin2x+cos2xD、y=sin2xcos2x

5．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a=（）。

A、B、C、1D、-1

6．在下列函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）。

A、y=cos2xB、y=2|sinx|C、D、y=-cotx

7．若，，则=________。

8．若，则=_________。

9．函数的最小正周期是________。

10．关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

（1）对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；

（2）不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

（3）存在，使f(x)是奇函数；（4）对任意的，f(x)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是______，因为当=____时，该命题的结论不成立。

11．已知函数，其中。

（1）当时，求函数f(x)的最值；

（2）求的取值范围，使y=f(x)在区间上是单调函数。

参考答案：

1——6BCADDB

7.8.49.

10.(1),等。

11.

(1)当时，。

当时，f(x)有最小值，当x=-1时，f(x)有最大值。

(2)

要使f(x)在单调，只要。即。又，。例8．已知，。求的值。

分析与解答：由已知有,∴,

由,∴.

∴

点评：注意单、复角的辨证关系。

例9．已知，求的值。

分析与解答：由已知，则。

∴，

∴

由平方得，

∴，由，

∵，，

∴，。

∴。

例10．求下列三角式的值：

(1)tanA-cotA+2tan2A+4tan4A+8cot8A

(2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°

(3)+2sin218°

分析与解答：

(1)由。

得tanA-cotA+2tan2A+4tan4A+8cot8A

=2tan2A-2cot2A+4tan4A+8cot8A

=4tan4A-4cot4A+8cot8A

=-8cot8A+8cot8A=0.

(2)

解法1：三角式中平方项可考虑降次，积化和差：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°

=(sin70°－sin30°)

=1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

=sin70°+[(－2sin70°)sin30°]=。

解法2：三角式可考虑先配方，再分别进行积差与和积互化：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=(sin20°+cos50°)2－sin20°cos50°

=(sin20°+sin40°)2-sin20°cos50°=4sin230°cos210°－(sin70°－sin30°)

=(1+cos20°)－cos20°+=.

解法3：可利用三角式的对偶式求所给三角式的值。

设f=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,g=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

∴f+g=2+sin20°cos50°+cos20°sin50°=2+sin70°.

f－g=－cos40°+cos100°+sin20°cos50°－cos20°sin50°

=－2sin70°sin30°+sin(20°－50°)

=－sin70°－.

将两式相加，得,∴。

∴sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

解法4：先将三角式中的余弦化为正弦，用正弦定理及余弦定理解决。

设ΔABC中，A＝20°，B＝40°，C＝120°,三边对应为a,b,c，

将a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入c2=a2+b2－2abcosC

得sin2120°=sin220°+sin240°－2sin20°sin40°cos120°

∴sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

(3)将三角式中的正切，正割化为正弦，余弦函数：

＋2sin218°=+2sin218°=sin48°－cos48°+2sin218°

=sin48°cos30°－cos48°sin30°+2sin218°=sin18°－sin54°+1

=-2sin18°cos36°+1=

=。

例11．已知，求tan(x+y),cos(x+y)及cos(x－y)的值。

分析与解答：将条件等式中的角x,y转化为结论中的积差角x+y,x－y,可将条件等式平方相加减，得到x+y、x－y的余弦值。

(sinx+siny)2=sin2x+2sinxsiny+sin2y=

(cosx+cosy)2=cos2x+2cosxcosy+cos2y=.

两式相加，得,∴,

两式相减，得,

∴,

∴,∴.

由(sinx+siny)(cosx+cosy)=sinxcosx+sinxcosy+cosxsiny+cosysiny

=(sin2x+sin2y)+sin(x+y)=sin(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)

=sin(x+y)[cos(x-y)+1]=.

又∵，∴,

∴。

另：若将两个条件等式先作和差化积，即将角x,y化为的形式，再通过倍半角关系求解。

由sinx+siny=,∴由cosx+cosy=,∴

将两式相除，得。由万能公式,

.sin(x+y)=tan(x+y)cos(x+y)=.

cos(x-y)的值可由条件等式平方相加得到，也可cos(x+y)代入平方相减表达式求解得cos(x-y)=.

例12．已知ΔABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B.，求的值。

解法一：由题设知B＝60°，A＋C＝120°，

∵,∴。

将上式化为cosA+cosCcosAcosC.

∴

将代入得：

,

∴.

整理得：,

∴（舍去），

解法二：由B＝60°，A＋C=120°，设，则，A＝60°+，C＝60°－。

∴

∴,∴,

∴（舍去）即。

例13．函数f(x)=asinx+bcosx+1(ab¹0,>0)，若f(x)最大值是4，最小正周期为，且。

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的最小值，要使f(x)成为偶函数，需将其图象向左平移的最小值是多少？

(3)设ΔABC中内角A，B是方程f(x)=0的两个不等根，求内角C的大小。

分析与解答：

(1)

(其中，)

由f(x)的最大值是4，∴即a2+b2=9,

由f(x)的最小正周期是，.∴,∴，

∴f(x)=asin2x+bcos2x+1.

由已知,

∴，解方程组，

得或（舍去）∴。

(2)，

当即时(k∈Z)，f(x)min=-2,

令得(k∈Z)，所以f(x)的图象的对称轴方程为(k∈Z)。

当k=0时，是在y轴右侧离y轴最近的对称轴，故f(x)图象向左平移最小值，可使f(x)成为偶函数。

(3)由A，B是方程asin2x+bcos2x+1=0的两不等根，

∴asin2A+bcos2A+1=0

asin2B+bcos2B+1=0,

两式相减，a(sin2A-sin2B)+b(cos2A-cos2B)=0,

∴acos(A+B)sin(A-B)=bsin(A+B)sin(A-B)

∵A≠B,∴A-B≠0,

∴sin(A-B)≠0，由此得acos(A+B)=bsin(A+B)

∵cos(A+B)≠0,(否则acos(A-B)≠bsin(A+B)),

∴,

∵0<A+B<,∴∴