北师大版九年级(上)数学第四章图形的相似讲义-黄金分割

第四章图形的相似1.黄金切割：(1).定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,若是ACBC,ABAC那么线段AB被点C黄金切割，点C叫做线段AB的黄金切割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点讲解：AC51AB≈0.618AB(0.618是黄金切割的近似值，51是22黄金切割的正确值)..作一条线段的黄金切割点：如图，已知线段AB，依照以下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=1AB.2（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金切割点.要点讲解：一条线段的黄金切割点有两个.注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形【例1】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越凑近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为了尽可能达到好的收效，她应穿的高跟鞋的高度大体为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【例2】如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为

512的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=．【例3】如图，已知点P是线段AB的黄金切割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则( )A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小【例4】以下列图，矩形ABCD是黄金矩形（即AB＝51≈0.618），若是在BC2其内作正方形CDEF，获取一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE可否也是黄金矩形？【例5】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，以下列图，（1）求AM，DM的长，2（2）试说明AM=AD·DM（3）依照（2）的结论，你能找出图中的黄金切割点吗？5－1【例6】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归2纳以下(以下列图)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你依照以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'【例7】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图①，在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°.在图①中，用尺规作AB的垂直均分线交AC于点D，并连接BD(保留作图印迹，不写作法)．△BCD可否是黄金三角形？若是是，请给出证明；若是不是，请说明原由．BC设＝k，试求k的值．AC【例8】如图①，点C将线段AB分成两部分，若是ACBC＝，那么称点C为线段ABACAB的黄金切割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金切割点联想到“黄金切割线”，近似地给出“黄金切割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为

S1，S2，若是

，那么称直线

l为该图形的黄金切割线．研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金切割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金切割线．你认为对吗？为什么？三角形的中线是该三角形的黄金切割线吗？研究小组在进一步研究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金切割线，请你说明原由；如图④，点E是?ABCD的边AB的