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关于最全的转动惯量的计算第一页,共二十五页,2022年,8月28日例题1求质量为m,长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量:(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直;(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。有将代入上式,得:解:(1)在棒上离轴x处,取一长度元dx(如图所示),如果棒的质量线密度为,则长度元的质量为dm=dx,根据转动惯量计算公式:第二页,共二十五页,2022年,8月28日(2)当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时OAldxx第三页,共二十五页,2022年,8月28日例题2)半径为R的质量均匀分布的细圆环,质量均为m,试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。R第四页,共二十五页,2022年,8月28日例题3求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。dm为薄圆环的质量。以表示圆盘的质量体密度解:如图所示,将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r,宽度为dr的薄圆环,此薄圆环的转动惯量为第五页,共二十五页,2022年,8月28日代入得J与h无关一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。第六页,共二十五页,2022年,8月28日例4)求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解:一球绕Z轴旋转,离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积:其质量:其转动惯量:YXZORrdZZ第七页,共二十五页,2022年,8月28日第八页,共二十五页,2022年,8月28日(2)薄板的正交轴定理yxzo(1)平行轴定理dJCJDC第九页,共二十五页,2022年,8月28日常见刚体的转动惯量第十页,共二十五页,2022年,8月28日解:受力分析取任一状态,由转动定律例题1一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度.Po第十一页,共二十五页,2022年,8月28日初始条件为:=0,=0第十二页,共二十五页,2022年,8月28日例题2一个质量为M,半径为R的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦,求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。对物体m,由牛顿第二定律,滑轮和物体的运动学关系为解:对定滑轮M,由转动定律,对于轴O,有第十三页,共二十五页,2022年,8月28日物体下落高度h时的速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立,可得物体下落的加速度为第十四页,共二十五页,2022年,8月28日圆柱对质心的转动定律:纯滚动条件为:圆柱对质心的转动惯量为:例题3一质量为m、半径为R的均质圆柱,在水平外力作用下,在粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l,如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacbf解:设静摩擦力f的方向如图所示,则由质心运动方程第十五页,共二十五页,2022年,8月28日联立以上四式,解得:由此可见,静摩擦力向前。时,当02<>fRl,静摩擦力向后;时,当02><fRl第十六页,共二十五页,2022年,8月28日例一静止刚体受到一等于M0(N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1,M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=
a(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1已知:M0M1=–aJ|t=0=0求:(t)=?解:1)以刚体为研究对象;2)分析受力矩3)建立轴的正方向;4)列方程:J第十七页,共二十五页,2022年,8月28日M+M0M1=–a解:4)列方程:分离变量:第十八页,共二十五页,2022年,8月28日例)设一细杆的质量为m,长为L,一端支以枢轴而能自由旋转,设此杆自水平静止释放。求:1)当杆与铅直方向成角时的角加速度:2)当杆过铅直位置时的角速度:
3)当杆过铅直位置时,轴作用于杆上的力。已知:m,L求:,,N解:1)以杆为研究对象受力:mg,N(不产生对轴的力矩)建立OXYZ坐标系ZNmgYXOL第十九页,共二十五页,2022年,8月28日建立OXYZ坐标系(并以Z轴为转动量的正方向)ZmgYXON故取正值。沿Z轴正向,L第二十页,共二十五页,2022年,8月28日2)=?两边积分:ZmgYXON第二十一页,共二十五页,2022年,8月28日2)=?3)求N=?轴对杆的力,不影响到杆的转动,但影响质心的运动,故考虑用质心运动定理来解。ZmgYXON第二十二页,共二十五页,2022年,8月28日ZNmgmgNNYNX3)求N=?写成分量式:CYXONC求N,就得求,即C点的加速度,现在C点作圆周运动,可分为切向加速度和法向加速度但对一点来说,只有一个加速度。故这时:….实际上正是质心的转动的
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