MXT-上海高中数学-复数讲义

复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1nZi4ni4n1i4n2i4n30nZ2、复数的代数形式：abia,bR，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。Cabi|a,bR叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：abicdiac且b=d；abi0a0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Zabi一般虚数(b0,a0)虚数(b0)0,a0)纯虚数(b虚数不能够比较大小，只有等与不等。即即是3i,62i也没有大小。uuruur|abi|a2b2；5、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，z积或商的模可利用模的性质（1）zLzzz2Lzn，（2）z1z1z01n1z2z226、复数的几何意义：复数zabia,bR一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uur复数Zabia,bR，平面向量OZ7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z与z2的和：zz2=(abi)+(cdi)=(acbdi.a,b,c,dR11++++)+(+)复数z1与z2的差：z1-z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.a,b,c,dR2复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z=a+bi，z=c+dia,b,c,dR；OZ=OZ1+OZ2=(a，b)+(c，12d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)iuururuuuuruuuur复数减法的几何意义：复数z-z的差(a－c)+(b－d)i对应由于ZZ1OZOZ，两个12212复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zuuurABzB－zA.，zABuuurABzBzA为两点间的距离。|zz1||zz2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直均分线；|zz0|r，z对应的点的轨迹是一个圆；|zz1||zz2|2aZ1Z22a，z对应的点的轨迹是一个椭圆；|zz1||zz2|2aZ1Z22a，z对应的点的轨迹是双曲线。z1z2z1z2z1z210、显然有公式：2222z1z1z2z22z1z211、复数的乘除法运算：复数的乘法：12=(+)(+)=(ac－)+(+).a,b,c,dRzzabicdibdbcadi复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。*实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中依旧建立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:123mnm+nmnmn(zz)nnnzz=z,(z)=z,=zz.1212z1(a+bi)(c+di)=abiacbdbcada,b,c,dR，分母实复数的除法：z2c=c2d2c2d2idi数化是老例方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；zabi,zabia,bR，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z|z|a2b2zza2b2R,zzzz，z1z2z1z2,z1z2z1z2,z1z122z2z213、熟记常用算式：1i，(1i)22i，(1i)22i，1ii，1iii1i1i14、复数的代数式运算技巧：（1）①(1i)22i②(1i)22i1ii1ii③1i④1i13i（2）“1”的立方根22的性质：111①312③120④⑤②15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当b24ac0时，方程有两个实根x1,x2。（2）当b24ac0时，方程有两个共轭虚根，其中x1x2。此时有x12x2x1x2c且x1,2bi。2a2a注意两种题型：(1)x1x2(2)x1x2虚系数一元二次方程有实根问题：不能够用鉴识式法，一般用两个复数相等求解。但依旧适用韦达定理。已知x2x1是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根，求x2x1的方法：（1）当b24ac0时，x2x1(x124x1x2b24acx2)a(2)当b24ac0时，x2x1(x1x2)24x1x24acb2a已知x1,x2是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根，求x2x1的方法：（1）当b24ac0时，①x1x20,即c，则x2x1x1x2b0aa②x1x20,即c0，则x2x1x1x2(x1x2)24x1x2b24acaa（2）当b24ac0时，x2x12x12x1x22ca二、典例解析：(1+i)2等于()例1．（1）复数1－iA.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:(1+i)22ii(1i)1i，选C．复数=11－ii（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知ZiZ2iZ2ii1；1i（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）a,b,cR,复数(abi)(cdi)=(acbd)(adbc)i为实数，∴adbc0，选D；（4）已知m1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni（）1i(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：m1nim1n1n01i1ni，由m、n是实数，得n，1mn1ni2i，应选择C。∴mm2（5）设x,y为实数，且xy5，则xyi12i113i解析：xyx(1i)y(12i)(xy)(x1i12i25252而55(13i)13i所以xy1且x2y13i102225225所以x＋y＝4。议论：本题察看复数的运算及性质，基础题。1996

。2y)i，53，解得x＝－1，y＝5，2例2：（1）计算：23i2123i1i答案：1i（2）设复数z满足关系z|z|2i，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得abia2b22i由复数相等可得：aa2b22，解得a3,b1，所以z3ib144设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若xC，解方程|x|13ix解：设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:a2b21a(3b)i,由复数相等的定义可得：a2b21a,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。3b0例3：(1)复数z满足|zi|2|zi|21，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。应选A。（2）设复数z满足：|z33i|3，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴a2，2∴z222i或z222i。2222【思想点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。(4)设zC,1|z|2，则复数uz(1i)，在复平面内对应的图形面积为_______。解：∵|u|=|z|?|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积S=[22(2)2]2。【思想点拨】复数问题实数化是办理复数问题的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若ω=z2+3z－4,求|ω|;(2)若z2azb1i，求a，b的值。z2z1解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴||2。（2）由条件(ab)(a2)i1i，∴(ab)(a2)i1i，∴a1。ib2【思想点拨】利用复数的充要条件解题。例5：设zC,且z是纯虚数，求|zi|的最大值。z1解：令z=x+yi（x，y∈R），则zx2y2xyy2，y2(x1)2z1(x1)2∵z是纯虚数，yPz1∴x2y2x0，即(x1)2y21(y0)，由数形结O1/2xy024－1合可知本题是求圆(x1)2y21(y0)上的点到A(0,－1)24的最大距离。∴|zi|max=|PA|=51。2练习：1．已知复数z与(z2)28i均是纯虚数，则z______Z2i2．.若(a2i)ibi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2b2=（D）A．0B．2C．5D．521＋3，则1＋ω＝（）C3.设复数ω＝－22i（A）–ω（B）ω2（C）1（D）124.复数z1的共轭复数是（B）1iC．1iD．1iA．11iB．11i22225.若复数z满足方程z220，则z3（）DA.22B.22C.22iD.22i6.设a、b、c、dR，若abi为实数，则(C)cdi(A)bcad0(B)bcad0(C)bcad0(D)bcad07.若是复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m（）BA．1B．1C．2D．28.(1i)2005（）A1iC．22005D．－22005A．iB．－i9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）CA.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆10.若z1a2i,z234i，且z1为纯虚数，则实数a的值为．a8z2311.已知m1ni，其中，是实数，i是虚数单位，则mniC1imn(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i12、复数(1i)3的虚部为（A）3（B）－3（C）2（D）－23=13i3i22i,所以它的虚部为－2，选D.解析:复数1i13、在复平面内，复数1ii对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解：1（＋）i＝i1i＝1－i应选D；－1议论：复数的看法和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要察看复数的的分类和几何性质。23i14、求满足条件:z(zz)ii2

(i为虚数单位)的复数z2i,[解]原方程化简为z(zz)i1设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2