基于MATLAB的希尔伯特fir滤波器设计

本科毕业设计（论文）题目基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计_姓名专业电子科学与技术学号指导教师张庆辉郑州科技学院电气工程学院二○一四年五月目录摘要 IABSTRACT II前言 IV1设计的目的与意义 12Matlab概述 32.1MATLAB语言的发展 32.2MATLAB的主要功能 32.3matlab的程序结构 43希尔伯特变换的基本原理 53.1希尔伯特变换的定义 63.1.1卷积积分 63.1.2相位 63.1.3解析信号的虚部 73.2希尔伯特变换的性质 83.2.1线性性质 83.2.2移位性质 83.2.3希尔伯特变换的希尔伯特变换 83.2.4逆希尔伯特变换 83.2.5奇偶特性 93.2.6能量守恒 93.2.7正交性质 93.2.8调制性质 93.2.9卷积性质 104Fir滤波器的基本原理及设计方法 114.1Fir滤波器的基本原理及其特点 124.1.1FIR数字滤波器的基本原理 124.1.2FIR滤波器的基本特点 124.2FIR数字滤波器的设计 135希尔伯特fir滤波器 146希尔伯特变换的应用 186.1希尔伯特变换在探地雷达数据处理中的应用 186.1.1公式 186.1.2算法 196.2数字I-Q下变频器 206.2.1希尔伯特变换 216.2.2基于希尔伯特变换的数字I-Q下变频器 226.3希尔伯特变换在解调中的应用 226.3.1希尔伯特变换 226.3.2在解调中的应用 236.3.3解调性能分析 247希尔伯特变换器的Matlab设计 267.1直接程序法 267.2利用FDATool工具设计法 277.3希尔伯特变换器的效果验证 31结论 33前景展望 34致谢 35参考文献 36附录 37基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计PAGEPAGEII基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计摘要在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解,即分解为同相分量和正交分量，并能有效地提取复杂信号的瞬时参数——瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率。希尔伯特变换器是幅频特性为1的全通滤波器，信号通过希尔伯特变化器后，其负频率成分作正90度相移，而正频率成分作负90度相移。因此希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作用，维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。而且在通过计算对低通滤波器的系数进行转换，其计算繁琐且存在一定的误差。Matlab作为滤波器设计的基础软件，具有强大的数学运算能力、方便实用的绘图功能及语言的高度集成性，它在其他科学与工程领域的应用也是越来越广，并且有着更广阔的应用前景和无穷无尽的潜能。论文则主要是介绍了希尔伯特FIR滤波器的设计思想与步骤，通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真，在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。本论文的设计思想是通过对FIR滤波器、希尔伯特变换器与MATLAB软件进行分别阐述和分析，来达到对希尔伯特fir滤波器整体的理解与设计，同时又通过对其应用的分析来加深对其的理解。关键词：Matlab；希尔伯特变换器；FIR滤波器；FDATool工具HILBERTFIRFILTERDESIGNBASEDONMATLABAbstractInacommunicationsystem,oftenneedtoorthogonaldecompositionofasignal,namelydecompositionforin-phasecomponentandquadraturecomponent,andcaneffectivelyextracttheinstantaneousparametersofthecomplexsignal,instantaneousamplitude,instantaneousphaseandinstantaneousfrequency.Hilberttransformerisamplitudefrequencycharacteristicsof1all-passfilter,signalthroughHilbertchangesafteritsnegativefrequencycomponentsare90degreephaseshift,andismakingnegative90degreephaseshiftfrequencycomponents.SotheHilberttransformindigitalsignalprocessinghasaveryimportantroleintheoryandapplication,sustainedbyFouriertransformofdiscretesequenceafterorbetweentherealandimaginarypartoftherelationshipbetweentheamplitudeandphase.Andthroughthecalculationoflowpassfiltercoefficient,itscomputationcomplexandtherearesomeerror.Matlabasthebasisoffilterdesignsoftware,withastrongmathematicaloperationability,convenientandpracticaldrawingfunctionandthelanguagehighlyintegration,it'sontheotherisalsomoreandmorewidelyusedinthefieldofscienceandengineering,andhasabroadapplicationprospectandendlesspotential.

PaperhasmainlyintroducedthedesignideaandstepsofHilbertFIRfilter,byfiltermodelissetupusingMATLABsoftware,thesimulationisbasedoncomputeraidedcalculationanalysisfilterstructureandparametersofwordlengtheffectonitsperformance.

DesignideaofthispaperisbasedonFIRfilterwithMATLABsoftware,theHilberttransformerexpoundsandanalysisrespectively,toachievetheoverallunderstandingandHilbertFIRfilterdesign,atthesametime,throughtheanalysisofitsapplicationtodeepenourunderstandingofit.Keywords:Matlab,Hilbert;transformer;FIRfilter;FDATooltoolPAGE4前言随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理（DSP)已经成为一门极其重要的学科和技术。在数字信号处理（DSP)中，数字滤波器又占有极其重要的地位。数字滤波器具有精确度高,使用灵活、可靠性高等特点，具有模拟设备没有的许多优点，因此在各个科学技术领域得到了更为广泛的应用与发展，例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。对于以往的滤波器大多都是采用模拟电路技术，但是由于模拟电路技术存在很多难以解决的问题，但采用数字则可以避免很多类似的难题。而且数字滤波器在其他方面也有许多突出的优点都是模拟技术所不能及的，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的信号发展方向。目前，数字信号滤波器的设计在图像处理，数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就，并且近年来得到迅速发展。对于数字滤波器，其根据单位脉冲响应特性的不同，可以分为IIR滤波器（递归滤波器）和FIR滤波器（非递归滤波器）。对于FIR滤波器，其冲激响应在有限时间内衰减为零，其输出仅取决于当前和过去的输入信号值。而对于IIR滤波器来说，其冲激响应理论上应是会无限持续，其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，也取决于过去的信号输出值。FIR滤波器作为有限长脉冲响应滤波器，其具有稳定性；同时，其与IIR相比，它具有线性相位、容易设计等优点。同时，这也就表明了，IIR滤波器具有相位不线性，不容易设计的缺点。而另一方面，IIR滤波器却也拥有着FIR滤波器所不具有的缺点，那就是对于设计同样参数的滤波器，FIR滤波器比IIR滤波器需要更多的参数。这也就说明，要增加数字信号处理（DSP）的计算量。数字信号处理（DSP）需要更多的计算时间，因此对数字信号处理（DSP）的实时性产生了影响。因此，由于FIR滤波器的诸多优点，因而FIR滤波器得到了更为广泛的应用与发展。随着数字信号处理（DSP）的高速发展，其在应用和实践也产生了诸多需要解决的问题。在通信系统中,经常需要对一个信号进行处理（就是把同相分量和正交分量分解开来）。由于希尔伯特变换可以把信号的相位进行90度的变化，但是而又不影响频谱分量的幅度，对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移向，使变换之后的信号成为自身的正交对。由于希尔伯特变换器具有其他滤波器不具有的功能因此得到了广泛应用。对于希尔伯特变换器来说，既可以通过IIR滤波器来实现，也可以通过FIR型滤波器来实现。而且两种滤波器的差别也不大，而且都能带来很好的误差控制。但是在实际的应用中，IIR滤波器要求设计两组相位差90°的希尔伯特滤波器，在实际应用中，其编程量比较大，同时也会产生相关的纹波和相位差，而FIR型滤波器的具有良好的线性相位，同时是非递归实现。只需要找到相关的单位冲击响应，实现的难度较小。因此在具体应用中，要综合考虑处理器的能力来做出选择。对于终止准则、边界处理、曲线拟合、模态混叠以及手持终端（HHT）采样频率等问题进行了简单的分析与处理，并且从手持终端（HHT）的时间特征尺度的概念出发，对边界处理方法又有了全新的阐述：对于边界局部特征尺度延拓法来说，其比较好地完善了边界效应影响EMD分解。对于将手持终端（HHT）用于电力系统的信号处理，并根据手持终端（HHT）的信号突变检测性能，提出了一种超高压输电线路的EMD故障测距的方法。由仿真实验表明，而且该方法能很好地实现故障定位及测距。在物理意义上：可以把希尔伯特看成一种滤波，其本质上就是对所有输入信号的进行90度相移；而且对于稳定的实因果信号，其傅立叶变换的实部和虚部都满足希尔伯特变换关系，同时其对数幅度谱和相位谱之间也满足此关系，前提就是该信号为最小相位信号。对于在工程意义上：其对于自由度为一维的条信号，比如PAM，其等效基带信号是实的，这就意味着对应的基带频谱是共轭对称的，即其一半的频谱是冗余的，那么就要将频谱滤除一半后再进行传输，这就形成了所谓的单边带调制(SSB)。但是在理论上，一个信号和其Hilbert变化后的值相加，就可以得到所谓解析信号，该信号也只保留其原信号的正频谱。但是对于单边带调制虽然节省传输频率，但为了进行边带滤波，必须进行复杂的频谱成形，发送和接收的复杂度相对都比较高，相干载波的相位误差所造成的影响比较大。所以，选择PAM信号进行频谱滤除的滤波器具有一定的滚降，就是保留部分PAM信号中的冗余频谱，这样就成为了VSB调制。对于希尔伯特变换器而言，可以把一个时延模块与一个FIR滤波器结合起来实现，也可用一组滤波器对来实现，而且对原型低通滤波器作正弦/余弦变换对于实现FIR型希尔伯特变换器来说就是一个最简单而又实用方法。但是，对于希尔伯特变换器来说，无论采用哪种方法都需要通过大量的计算来对低通滤波器的系数进行转换，而且其计算比较繁琐而且还存在一定的误差。Matlab作为一种基础软件，可以为滤波器的设计提供便利，不仅可以希尔伯特变换器的设计快速有效地实现出来，对其分析仿真简单便利，而且还可以使其达到最优化，而且还可以直接计算出希尔伯特变换器的系数，而且对于Matlab来说。其接口功能相对比较强大，使后续的设计更为方便。在Matlab平台上，可以通过采用直接程序法和FDATool工具法分别完成希尔伯特FIR滤波器的设计，还可以随时对比设计要求和希尔伯特变换器的特性，以使设计达到最优化。而且在实际使用中，只需按要求修改参数，就可实现不同的希尔伯特变换器，实用性比较强。1设计的目的与意义在通信系统中,经常需要对一个信号进行处理（就是把同相分量和正交分量分解开来）。由于希尔伯特变换可以把信号的相位进行90度的变化，但是而又不影响频谱分量的幅度，对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移向，使变换之后的信号成为自身的正交对。由于希尔伯特变换器具有其他滤波器不具有的功能因此得到了广泛应用。对于在数字与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换在此标示为H——就是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s(t)。因此，希尔伯特变换结果s(t)可以被理解为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络，出现在通讯理论中。在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。由于希尔伯特变换可以提供90度的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。因此，希尔伯特在通信领域获得了广泛应用。例如：利用希尔伯特变换进行谐波恢复，希尔伯特变换在故障诊断中的应用，希尔伯特变换在信号解调中的应用，希尔伯特变换在语音信号处理中的应用等。在传统的设计中，希尔伯特变换器（即希尔波特滤波器）可以由一个FIR滤波器和一个时延模块实现（因此希尔伯特FIR滤波器即为希尔伯特滤波器的一种），也可由一组滤波器对实现，而实现FIR型希尔伯特变换器的一个简单方法就是对原型低通滤波器作正弦/余弦变换。对于希尔伯特变换器，既可以通过IIR滤波器来实现，也可以通过FIR型滤波器来实现。而且两种滤波器的差别不大，都能带来很好的误差控制。但在实际的应用中，IIR滤波器要求设计两组相位差90°的希尔伯特滤波器，在实际应用中，编程量比较大，同时会产生相关的纹波和相位差，而FIR型滤波器的具有良好的线性相位，同时是非递归实现。只需要找到相关的单位冲击响应，实现的难度较小。因此在具体应用中，要综合考虑处理器的能力来做出选择。本文则是从FIR型滤波器出发来设计希尔波特滤波器。但随着现代数字信号的高速发展，人们也从不同的研究领域和应用角度出发，提出了扩展经典希尔伯特变换，提出了分数阶希尔伯特变换，拓展了它的应用范围。比如子波构造，特别是时序列信号的解析子波分析；基于离散时间的分数阶希尔伯特变换的调制与解调系统；利用广义化后的希尔伯特构造的广义解析信号进行图像边缘的检测等等。应用希尔伯特变换器产生单边信号，这一概念提出已久，可是没有得到广泛应用。这是由于模拟的希尔伯特变换的特性不理想，实现复杂。随着数字技术的发展，离散的希尔伯特变换器和数字滤波器相似，可以得到精确、稳定的特性。因此，近年来对希尔伯特变换器又感到了很大兴趣，发表了不少实现原理和设计方法。但是，无论用哪种方法都需要通过计算对低通滤波器的系数进行转换，其计算繁琐且存在一定的误差。Matlab作为滤波器设计的基础软件，具有强大的数学运算能力、方便实用的绘图功能及语言的高度集成性，它在其他科学与工程领域的应用也是越来越广，并且有着更广阔的应用前景和无穷无尽的潜能。不仅可以快速有效地实现希尔伯特变换器的设计、分析仿真和最优化，而且可以直接计算出希尔伯特变换器的系数，加之Matlab具有强大的接口功能，为后续的设计提供了方便。因而为了实现数字解调,通常需要借助希尔伯特变换器对信号进行分解,利用Matlab设计希尔伯特变换器是一种最为快捷、有效的方法。通过具体的设计、仿真及对原始信号和经过希尔伯特变换器输出延迟信号的比较说明，Matlab是一个在滤波器设计方面很有力的工具。它可以将使我们从繁琐、无谓的底层编程中解放出来，把有限的宝贵时间更多地花在解决问题中，这样无疑会提高我们的毕业论文编写效率。2Matlab概述2.1MATLAB语言的发展Matlab语言是由美国的CleverMoler博士于1980年开发的,它是将一个优秀软件的易用性与可靠性、通用性与专业性、一般目的的应用与高深的科学技术应用有机的相结合。由于MATLAB的数学运算功能比较强大，绘图功能比较方便使用及语言的集成度比较高，使其在其他科学与工程领域得到了越来越多的应用与关注，其的应用前景比较广阔、潜力巨大。子曰：“工欲善其事，必先利其器”。在教学与研究中会遇到很多问题，一种简单有效的工具的作用是不可估量的，对于语言来说，就是一款简单而又使用的工具。它可以将使用者不用编程那些繁琐、无谓的底层程序，从而使使用者有更多的时间与精力来去解决其他问题，这样不仅可以节约体力与精力，使效率得到很大的提高，从而大大的提高了我们的工作效率。随着科学的快速发展，MATLAB的应用已经越来越广泛，成为国际上最流行的工程与科学计算的软件工具，对于现在的不仅仅只局限于矩阵方面，它已经成为了一种具有应用广泛、前景比较广阔的计算机高级编程语言，有人把它以第四计算机语言来应用与推广，它已经成为研究部门和国内外高校不可离开的软件工具。随着MATLAB语言拥有着越来越强大的功能，不断完善其功能、对新的要求不断实现一机提出更多的全新的解决方法。因此我们可以想象，对于在科学运算、自动控制与科学绘图领域具有强大功能的Matlab语言来说，其独一无二的地位将会得到保障。2.2MATLAB的主要功能MATLAB是由美国mathworks公司发布的，主要为科学计算、可视化以及交互程学设计，提供了一个高科技的计算环境。它用一个易于使用的视窗环境把科学数据可视化、数值分析、非线性动态系统建模和仿真以及矩阵计算等诸多强大功能集中起来，为全面解决工程设计、必须经行有效数值计算以及科学研究等众多科学领域问题提出了一个方案，其不用进行传统非交互程序设计语言（如C、Fortran)的编辑模式的复杂，其在国际科学计算软件领域处于领先水平。MATLAB具有进行一下各种工作：（1）数值分析；（2）数值和符号计算；（3）工程与科学绘图；（4）控制系统的设计与仿真；（5）数字图像处理技术；（6)数字信号处理技术；（7）通信系统设计与仿真；（8）财务与金融工程。2.3matlab的程序结构 matlab语言的程序结构与其它高级语言是一致的，分为顺序结构，循环结构，分支结构。(1)顺序结构——依次顺序执行程序的各条语句；(2)循环结构——被重复执行的一组语句，循环是计算机解决问题的主要手段。循环语句主要有：for—end；(3)分支结构——根据一定条件来执行的各条语句。3希尔伯特变换的基本原理希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David)来命名。在信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换(Hilberttransform)，是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s(t)。因此，希尔伯特变换结果s(t)可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络。解析信号通过希尔伯特变换后，能够有效提取信号的瞬时特征参数，其中对于信号的瞬时相位、瞬时频率和瞬时幅度也得到了有效提取。在上世纪80年代，A.k.Nandi和E.E.Az-zouz共同提出了信号瞬时特征参数的调制识别算法，能够对信号进行较准确的调制方式识别，就是把五个信号的特征参数(,,,,)神经网络结合起来。在数据采集之后，希尔伯特变换是第一个相对比较复杂的信号变换，其主要分为时域变换与频域变换。通过数字滤波器，也可以以数据流的方式对数据进行处理，来实现时域变换的希尔伯特变换；对一个数据块进行离散傅立叶变换，在频域处理后再进行傅立叶反变换后恢复成时域解析信号，来实现频域的希尔伯特变换。对于具有稳定性好以及良好的线性相位响应曲线的FIR滤波器，可以使数据的希尔伯特变换得到很好地实现。但是，对于通带纹波越低，对于FIR滤波器来说，其抽头数也就越多，这样会直接导致运算量的增加。在对希尔伯特变换系数进行设计的时候，通过滤波系数的分析，可以通过引用折叠式的FIR滤波器结构或者改进算法，从而降低大抽头数的FIR希尔伯特变换器所需要的乘法次数和加法次数。我们也可以在滤波性能不被影响的前提下，在最大限度内来提高了信号处理的速度，同时也要尽量满足信号在实时处理时的要求。对信号x(t)进行希尔伯特变换，可以看做信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作正90的相移，而正频率成分作负90的相移。这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz和处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。3.1希尔伯特变换的定义3.1.1卷积积分设实值函数,其中，它的希尔伯特变换可以表示为，(3-1)常记为(3-2)由于是函数与的卷积积分，因而可写成=*(3-3)3.1.2相位设，根据(3-3)式和傅里叶变换性质可知，是的傅里叶变换和的傅里叶变换的乘积。由(3-4)得因此可表达为或者所以是可以作为一个相移系统，所以希尔伯特变换就可以表示为对信号的的相移，对正频率产生的相移，对负频率产生相移，说，也可以说，在时域信号内，每一频率成分作波长移位。因此，希尔伯特变换器又总是被称为90度移相器。3.1.3解析信号的虚部为了对希尔伯特变换的意义进行进一步理解，在此引入解析函数:(3-5)也可以写成(3-6)其中，为希尔伯特变换的包络；为瞬时响应信号。把希尔伯特变换的包络定义为(3-7)相位定义为(3-8)瞬时频率定义为(3-9)根据傅里叶变换式(3-10)为计算，由知(3-11)其中因此，可以简单地从得到，而的虚部即。通过观察希尔伯特变换的定义式可以发现其变换结果的意义输入是s（t）的线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。希尔伯特实际上是一个使相位滞后π/2的全通移相网络。3.2希尔伯特变换的性质3.2.1线性性质若a,b为任意常数，且，，则有(3-12)3.2.2移位性质(3-13)3.2.3希尔伯特变换的希尔伯特变换(3-14)此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到(3-15)3.2.4逆希尔伯特变换(3-16)为与的卷积，可表示为(3-17)其中，。3.2.5奇偶特性如果原函数是的偶（奇），则其希尔伯特变换就是的奇（偶）函数，即(3-18)3.2.6能量守恒根据帕塞瓦尔定理可知和因而有(3-19)3.2.7正交性质(3-20)3.2.8调制性质对任意函数，其傅里叶变换是带限的，即则有(3-21)3.2.9卷积性质(3-22)另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。常用希尔伯特变换：通过对希尔伯特变换的分析，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时信号的提取，因此希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位。但是对于希尔伯特变换来说也存在以下问题：(1)希尔伯特变换只能在窄带信号中得到近似应用，其中B(B为信号带宽)。但是在实际应用中，希尔伯特变换对那些存在许多的非窄带信号也只能无能为力。即便是对于窄带信号，如果希尔伯特变换条件不能被窄带信号完全满足，也会直接导致结果发生错误。而且在实际信号中，由于存在大量的噪声，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号而无法完全满足希尔伯特变换条件；

(2)对于任意给定t时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能存在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；

(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上会失去了原有的物理意义。4Fir滤波器的基本原理及设计方法根据冲激响应的时域特性，数字滤波器通常分为IIR（无限冲激响应）和有限冲激响应)两种。FIR(FiniteImpulseResponse)滤波器为有限长单位冲激响应滤波器，在数字信号处理系统中，是最基本的元件之一，它完全可以把任意幅频特性的又同时具有严格的线性相频特性得到保证，而且由于其拥有有限长单位抽样响应，因此FIR滤波器的系统相对稳定。因此，在通信、图像处理、模式识别等领域，FIR滤波器得到了广泛应用。但与IIR相比,在满足同样阻带衰减的情况下需要的阶数较高。FIR数字滤波器的基本结构为一个分节的延时线,把每一节的输出加权累加,可得到滤波器的输出。FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h（n）长度为N，其系统函数H(z）和差分方差分别是（4-1）（4-2）对于FIR系统，其基本网络结构有二种，即直接型和级联型。如图4.1与图4.2。图4.1FIR网络直接型结构图4.2FIR级联型网络结构4.1Fir滤波器的基本原理及其特点4.1.1FIR数字滤波器的基本原理对于有限冲激响应(FIR)数字滤波器，由于其本质上的稳定性，且可设计成具有严格的线性相位特性，因而得到了广泛的应用。FIR数字滤波器可用很多不同的结构形式来实现。由于硬件实现时,字长总是有限的,量化误差和运算舍人误差又不可避免,因此,人们一直在努力寻找具有最好数值计算性能的实现结构。Fir滤波器的基本理论是一个线性非时变的有限精度的离散系统。在实现实际上，其滤波功能主要是通过一系列的乘法和加法运算来实现的。对于Fir滤波器来说，也可以通过以下差分方程来描述：（4-3）其中，和分别为Fir滤波器的输入序列与输出序列，是滤波器的单位脉冲响应，它的长度为N。对（4-3）式两边分别进行Z变换并整理即可得到滤波器的系统函数的表达式：（4-4）Fir滤波器的差分方程式（4-3）可以看出：由于系统的单位脉冲必然也有限，即Fir滤波器是绝对稳定系统；同时，由于Fir滤波器过程是两有限长序列和的线性卷积运算，因而可以采用DFT的快速算法FFT来实现，从而提高了算法效率。此外，当为对称实序列时，Fir滤波器可实现严格的线性相位。4.1.2FIR滤波器的基本特点对于有限长单位冲激响应（FIR）滤波器来说，其具有以下特点：(1)在有限个n值处对于系统中单位冲激响应h(n)不为零；(2)对于系统函数H(z)，其在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处（因果系统）其差分方程形式为：；(3)在结构上，有限长单位冲激响应（FIR）滤波器为非递归结构，就是没有从输出到输入的反馈，但在有些结构中（例如频率抽样结构）也存在包含递归部分的反馈。如果设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，，则滤波器的系统函数可以表示为：（4-5）就是说，它有（N-1）阶极点在z=0处，在有限z平面的任何位置有（N-1）个零点。4.2FIR数字滤波器的设计对于FIR数字滤波器的设计实质，就是要确定能满足要求的转移序列或脉冲响应的常数问题。Fir滤波器目前常用的设计方法有频率采样法和窗函数法，窗函数法是从时域进行设计，而频率采样法是从频域进行设计。窗函数法由于简单、物理意义清晰，因而得到了较为广泛的应用。窗函数设计法的基本思路为：选择适当的理想滤波器作为逼近的目标，并用合适的窗函数进行加窗，从而得到实际要设计的滤波器。窗函数法的基本设计步骤包括（1）选择合适的理想滤波器，并确定其传输函数；（2）利用序列的傅立叶反变换式求出其单位脉冲响应；（3）根据设计要求中的过度带宽和阻带最小衰减指标分别确定窗函数的类型和长度N；(4)对理想滤波器的单位脉冲响应加窗，得到实际滤波器的单位脉冲响应；(5)求出实际滤波器的传输函数=DFT[]，看是否符合设计要求，如不满足，则重新设计。但对于窗函数设计法，在设计时尽量要满足以下两个条件:(1)窗谱主辨尽可能窄,以获得较陡的过渡带;(2)尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度,使能量尽量集中于主辨,进而增加阻带的衰减。5希尔伯特fir滤波器对于线性相位的FIR数字滤波器，可以被分为四种类型，都具有特定的表示和形状，对于每种情形下的频率响应函数来说。但对这四种滤波器的频率响应函数来说，可以被统一表示为：(5-1)式中，，，k=0时为I、Ⅱ型。k=1时为Ⅲ、Ⅳ型。为振幅响应。根据希尔伯特数字滤波器的特性可以知道，希尔伯特数字滤波器的单位冲激响应为奇对称，即k=1，所以其频率响应函数为：(5-2)在传统的设计中，希尔伯特变换器（即希尔波特滤波器）可以由一个时延模块和一个FIR滤波器来实现（因此希尔伯特FIR滤波器即为希尔伯特滤波器的一种），也可以实现由一组滤波器对，但是在实现FIR型希尔伯特变换器的方法中，对原型低通滤波器作正弦/余弦变换是一种比较简单的方法。对于希尔伯特变换器来说，既可以通过IIR滤波器来实现，也可以通过FIR型滤波器来实现。而且两种滤波器的差别都不是太大，都能带来很好的误差控制。但在实际的应用中，IIR滤波器要求设计两组相位差90°的希尔伯特滤波器，在实际应用中，编程量比较大，同时会产生相关的纹波和相位差，而FIR型滤波器的具有良好的线性相位，同时是非递归实现。只需要找到相关的单位冲击响应，实现的难度较小。因此在具体应用中，要综合考虑处理器的能力来做出选择。在传统的设计中，希尔伯特变换器（即希尔波特滤波器）可以由一个时延模块和一个FIR滤波器来实现（因此希尔伯特FIR滤波器即为希尔伯特滤波器的一种），也可以实现由一组滤波器对，但是在实现FIR型希尔伯特变换器的方法中，对原型低通滤波器作正弦/余弦变换是一种比较简单的方法。本文则是用fir滤波器来实现希尔伯特变换器设计。在频域内，对于函数其可以从一直延伸到+∞，但是在离散域中，对于数据必须是有限的点数(例如为2M+1点)。在输入信号进行数字化过程中取出有限值的点数，我们可以看做是给输入信号加了一个窗，近似理想的希尔伯特变换可以用一个有限冲激响应滤波器FIR来实现。因此，对于希尔伯特变换与FIR滤波器就有着密不可分的关系。对于的z变换为 （5-3）或（5-4）这两个表示式的计算均是从负值开始求和，因此它们之间的关系是非因果关系，但也可以使其成为因果关系——通过利用时域内的一个简单变换。观察式(5-3)我们可以知道，n值是从-M到M开始进行加窗的，所以采用的时域变换就相当于将其第一个结果乘以,并代入k=n+M,得到了(5-5)式中,k值从0开始,故是因果关系。函数的z变换可以表示为=+h(0)+=h(0)+(5-6)式中,设z=exp()得H(e)=H(e)+jH(e)=e=h(0)++ +-(5-7)对于传输函数，其在采样频率为时被限制为宽带。根据采样具有的周期特性，则通过傅里叶级数形式，希尔伯特传输函数可以被表示为：(5-8)其中==(5-9)在上式中，通过利用了关系式来实现。从(5-9)式中可以看到，如果满足条件h(0)=0(5-10)则代表在希尔伯特变换的传输函数中只含有虚部，因此，，而，由此可以把式(5-9)中的写为(5-11)将上式与式(12)进行比较，得到(5-12)再利用这一关系以及式(5-11),则可求得(5-13)6希尔伯特变换的应用6.1希尔伯特变换在探地雷达数据处理中的应用探地雷达（GroundPenetratingRadar）是近几年才迅速发展起来的高分辨高效率的无损探测技术，向地下发送脉冲形式的高频宽带电磁波，利用地下介质电性参数差异，根据回波信号的振幅、波形和频率等运动学特征来分推断其介质结构和物性特征，具有快速便捷、操作简单、抗干扰和场地适应能力强、探测分辨率高等方面的特点，目前已经成为工程检测和勘察最为活跃的技术方法之一。雷达探测必须经历数据的采集、处理和解释等三个步骤，数据处理的目的就是要压制干扰，以最大限度的分辨在雷达图像剖面上显示反射波，提取有效信息，因此信号处理的好坏直接关系到最终资料解释的正确与否，是至为关键的一步。

探地雷达在资料处理上，属于数字信号处理范畴（从理论上分析）。在信号分析处理中，对于希尔伯特（Hilbert）变换，在其本质上为一种全通滤波器，为一种重要方法，希尔伯特变换中解析表达式中的实部与虚部的正弦和余弦关系得到了巧妙地应用，对于任意时刻的瞬时相位、瞬时幅度及瞬时频率被定义，使得提取复杂信号与短信号的瞬时参数的成为可能，从而获取信号中所含的信息更为有效与真实，对地下介质的分布情况的分析非常有利。下面将希尔伯特变换用于探地雷达资料的数据处理中，从中提取出瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率，即“三瞬”信息，为后续的雷达资料解释提供了很好的依据。6.1.1公式雷达记录的希尔伯特变换公式

（6-1）变换因子的时间响应为

（6-2）其频率响应

由上式可知，经过希尔伯特变换之后，一个是实信号相位谱要发生90º相移，因此希尔伯特变换被称为90º相移滤波。6.1.2算法可以设把解析信号定义为依赖于时间的复变量

（6-3)式中，是本身信号，是信号的正交变换。对于正交，就是对记录信号作90º相移的翻版。对作希尔伯特变换就可得到

(6-4)代入方程式(6-4)，我们有：

(6-5)或

这样，要得到探地雷达单道的解析信号：当在傅立叶变换域中进行解析的，这个算子与负频率基础上就是零。因此在复数道中，不包含负频率成分。在算出时，就可以用指数形式来表达：

(6-6)式中（6-7）及

(6-8)这里代表瞬时振幅，代表瞬时相位。对瞬时相位还可用下面一种方法计算。对方程（6-6）两边取对数得，

(6-9)

因此

(6-10)式中，是虚部。瞬时频率是瞬时相位函数的时间变化速率：

(6-11)对方程式(6-11)求导：

(6-12)为实际实现，方程式(6-12)写成差分方程：

(6-13)最后对方程式(6-13)简化得（6-14）6.2数字I-Q下变频器在通信系统中，人们提出利用数字方式产生具有高平衡度I-Q信道的方法。在该方法中，I信道的数据从单信道的下变频器得到，Q信道的数据通过对I信道的数据进行处理产生，从而把I-Q信道输出之间的不平衡度保持在最低限度。以数字I-Q下变频器为例，通过对数字化后的输入信号进行快速傅里叶变换以确定，其时域希尔伯特变换是利用的定义，并通过FFT反变换来6.2.1希尔伯特变换函数的希尔伯特变换定义为与函数的卷积。其可以被表示为(6-15)其中，表示卷积，在时域中，和可以被表示的希尔伯特变换，。在频域中，希尔伯特变换可以被表示为（6-16)由于的傅里叶变换为(6-17)所以，在频域内，只要将的负频率乘以，而正频率乘以，即可得到希尔伯特变换。当输入信号为时，其傅里叶变换可以被表示为(6-18)把其负频率乘以，而正频率乘以，就可以得到(6-19)在等式两边同时进行傅里叶反变换，得(6-20)上式表明，对于正弦函数进行希尔伯特变换就可以得到负的余弦函数，结果就是对输入信号作了移相。同理，当输入信号为余弦函数时，经过希尔伯特变换后就为正弦函数。结果也作了移相了。因此，对于希尔伯特变换，就是提供90度得相位变化，但又不对频谱分量的幅度大小产生影响。6.2.2基于希尔伯特变换的数字I-Q下变频器对于希尔伯特变换的数字I-Q下的变频器其结构如下图6.2所示：BPFBPFA/D延时单元希尔伯特滤波器频移或抽取图6.2变频器的结构图对于中频信号，其首先被直接采样，然后再分上、下两路，上路信号经过延迟单元，下路信号经过希尔伯特变换器，从而得到正交数字信号。在数字接收机中，对于被数字化的输入信号，进行快速傅里叶变换（FFT）来确定，利用对的定义就是时域希尔伯特变换，并且通过快速傅里叶反变换来获得。此外，在离散域中，数据必须有有限个点数（例如为2M+1）。对输入数字化的信号进行取其有限个点数，这相当于给输入信号加了一个矩形窗。用一个有限冲激响应滤波器FIR就可以近似理想的希尔伯特变换。实际应用中，通常采用半带滤波器和级联积分梳状滤波器。6.3希尔伯特变换在解调中的应用6.3.1希尔伯特变换一般情况下，通信系统接收到的解调信号可以表示：（6-21）不同的调制方式下，例如在调频、调相、调幅等，分别与、、的变化相对应。如果通过间接调频来实现调频信号，那么对于调制信号就可以被表示为（6-22）利用同相和正交两个分量可以在正交解调法中求得如下：其中，（6-23）就是正交解调法中的同相和正交两个分量，根据、，就可以解调各种调制方式。利用和求、如下：（6-24）（6-25）希尔伯特变换的定义：给定实值函数，它的希尔伯特变换记作。希尔伯特变换有一条重要的性质：设低频限带信号的傅里叶变换为，带宽为，则当时，有对于已调信号来说，，，希尔伯特变换可以被表示为（6-26）由式（6-25）及式（6-26）可得（6-27）（6-28）将式（6-28）和式（6-29）与式（6-25）和式（6-26）对比，虽然我们可以看出两者是非常相似的，但是对于两者来说，在实现上实际有很大的区别与不同。6.3.2在解调中的应用由希尔伯特变换的定义和性质，我们可以把解调器结构设计称如下图6.3所示：A/DA/D延时器希尔伯特滤波器幅度提取与相位提取基带信号解调图6.3通用解调器结构经过采样后，信号离散化为，则（6-29）根据希尔伯特变换的性质我们可知道，对于的希尔伯特变换来说，就是与冲激响应为的系统卷积。在设计希尔伯特滤波器时，对于在数字信号处理中我们基本上都是采用窗化法。它的冲激响应可以表示为（6-30）为窗函数，为滤波器的阶数。这样当通过滤波器时必须加上延时器，因为其会产生的延时，因此可以保证信号与它的希尔伯特变换同步，得到准确的和。6.3.3解调性能分析与正交解调器相比，系统在中频段的处理得到了很大程度的简化，而且把不通用的锁相环路去掉了，从而增强了系统通用性。对于希尔伯特滤波器和幅度相位提取模块的实现也可以采用专用的数字信号处理芯片，而由DSP等通用数字信号处理芯片来对基带信号进行处理。根据解调不同的需要，系统可以极为方便的更新算法在基带信号处理上。对于此种方法，对于线性运算基带的匹配滤波和判决，所以加性噪声不会向乘性噪声转变，也不会有门限效应的产生，而且信噪比也不会影响解调的性能。值得注意的是，在希尔伯特变换解调中，对于基带信号的相位和幅度必须得到。平方和开方运算就是幅度的计算，是其非线性运算，因此门限效应不会受到噪声影响，也不会因为信噪比的不同和系统性能不同而有所变化，从而对系统的实用性造成一定的影响。7希尔伯特变换器的Matlab设计7.1直接程序法

在Matlab信号处理软件中，包含了firls函数和remez函数，它们具有相同的调用格式、语法规则，但是具有不同的优化算法，对于函数firls，对于期望的频率响应和实际的频率响应间的误差最小是利用最小二乘法来实现的；Park-McClellan算法是用函数remez来实现的，通过利用remez交换算法和Che-byshev近似理论设计滤波器，来使这种算法的实际频率响应拟合期望频率响应达到最优。

函数的调用格式可以表示为b=remez(n，f，m，‘h’)或b=firIs(n，f，m，‘h’)，其中，n为滤波器的阶数；f为滤波器期望频率特性的频率向量标准化频率，取值0～1，是递增向量，允许定义重复频点；m为滤波器期望频率特性的幅值向量，向量m与f必须同长度且同为偶数；b为函数滤波器系数，长度为n+1，在这里将采用remez函数法。

在下面希尔伯特变换器的设计，设采样频率为2000Hz，通频带为50～950Hz，滤波器阶数为60阶。程序实现如下：clf;n=60；f=[0.050.95];m=[11]；=2000；b=remez(n,f,m,’h’)；[h,w]=freqz(b,1,512,)；figure（1）；plot(w,)；grid；axis（[01000–4010]）；xlabel；ylabel；title；figure(2)；plot(w,angle(h)/pi180)；grid；xlabel；ylabel；title；设计的希尔伯特变换器的特性如图7-1所示。图7-1等波纹最佳逼近法设计的幅频响应曲线从分析中可以看出在0Hz和1000Hz处增益降为零，其表示为带通滤波器；而且具有比较严格的线性相位特性，所以其符合设计要求。在设计中，如果特性不被要求满足，那么就要在原有的参数作出相应的调整，在程序中，只需重新设定参数即可，就可以得到我们想要的希尔伯特变换器。7.2利用FDATool工具设计法FDATool是Matlab中对滤波器设计分析进行信号处理的专用工具箱，其操作相对简单、灵活，对于不同的滤波器可以采用多种方法设计，同时可以实现最小阶数的滤波器设计。

根据对上面的实例分析，我们首先要在FilterType栏中选择HilbertTransformer，在DesignMethod栏中选择Equiripple法，在filterorder中选择60，在FrequencyandMagnitudeSpecifications中设置F=[50950]；M=[11]；Fs=2000，最后点击DesignFilter，通过菜单选项中的Analysis，可以看到滤波器的各种特性（在特性显示区）。

如果要同时满足幅频特性和相频特性，对于已知的奇对称单位脉冲响应，即h(n)=-h(N-n-1)，也与希尔伯特变换器的特性完全符合。如果设计不能满足设计的要求，我们可以直接在FDATool界面中改变参数，最后达到设计要求后，我们还可以把希尔伯特变换器的系数导出为Matlab变量，文本文件或C语言头文件等，其方便了后续的设计。图7-2Hilbert变换器的单位脉冲响应图7-3Hilbert变换器的幅度响应图7-4Hilbert变换器的相位响应图7-5Hilbert变换器的零极点图图7-6Hilbert变换器的相位延时图7.3希尔伯特变换器的效果验证程序直接验证法：我们把我们设计的希尔伯特变换器的频率设为10Hz的振动作为输入信号，采样频率为100Hz，最后根据得到的数据点，验证一下是否满足相位相差90°的特点，其实现程序如下：Clf;n=60;F=[00.050.951]；a=[0110]；B=remez(n,f,a’h’);[h,w]=frqz(b,1,512);t=0:;3;x=sin(2);figure(1)subplot(2,1,1),plot(t(1:100),x(1:100))title(‘输入信号’)y=filter(b,1,x);该希尔伯特变换器控制了阻带和通带波纹，输入信号的相位与输出信号的相位相比后移了90°，因此完全符合希尔伯特变换的性质。如若把输入信号的频率变为负90Hz，那么输入信号与输出信号相比会前移90°。通过验证可知，该希尔伯特FIR滤波器实现了移相。结论综上所述可以得到如下结论：(1)Hilbert变换揭示了由傅里叶变换联系的时域和频域之间的一种等价互换关系，Hilbert变换作为一种信号处理算法，能把探地雷达复杂信号的“三瞬”信息有效地提取出，经过对探地雷达的分析与研究可以看出，与原始的雷达时距剖面图相比，经过希尔伯特变换后的雷达剖面图较更为清晰，而且还相互参照综合分析瞬时多参数波形剖面，从而避免了在单一使用时，由距剖面分析所造成的解释偏差，从而探地雷达的解释精度得到了提高。（2）基于希尔伯特变换的数字I-Q下变频器的主要优点是数字化程度高，数字I-Q下变频器将会得到越来越广泛的应用。（3）由于基带处理全部采用数字方式，其复杂性主要受器件性能影响，因而不会改变整个体系结构。目前对于希尔伯特变换的研究已经深入到多个层面，在社会生活生产中发挥着越来越重要的作用。它被广泛用于通信、雷达、语言处理、数字化医学超声成像等这类需要用到信号正交分解技术的系统中。通过对希尔伯特变换器的分析和阐述，而且在我利用MATLAB的时候使我认识到自己身上存在太多的不足。虽然我完成了本次毕业设计，但我仍然感觉到我需要学习的东西太多太多，在学校学的比较少，对于我学到的则更多少。而且在资料的查询过程中，我感觉到我对知识的渴望是那么的强烈。如果我在平时上课学习的过程多听听老师讲课，那么我在这次的毕业论文设计中就不会显得那么的孤独与无力，充满了懊悔与痛苦。这直接导致了我在论文设计中辛苦，但又不是自己想要的。无论怎么说，到此我的本次毕业设计也就该告一段落了。在这次设计中，我收获颇丰。在本次毕业设计中，我遇到了很多我在大学课堂没有接触到的知识，对于现在的我来说是那么的欣喜若狂。虽然有些知识我在学校的时候学过，但昂我真正用的时候，我又是那么的无力。通过本次毕业设计我收获最大的是：是我认识到我还那么多需要学习的，需要去认识的。前景展望随着现代信号的向前发展，人们从不同的研究领域和应用角度出发，提出了扩展经典希尔伯特变换，提出了分数阶希尔伯特变换，拓展了它的应用范围。比如子波构造，特别是时序列信号的解析子