第四章 系统的频率特性分析

第四章频率特性分析4.1什么是频率特性？解对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。4.2什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当W二0时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为2（mm/kg）,s+1求系统的动刚度，动柔度和静刚度。解根据动刚度和动柔度的定义有动柔度九(jw)=G(jw)=G(s)s=jw=—2 mm/kgjwv1动刚度K(jw)=1=jw+1kg/mmG(jw) 2静刚度K(jW)w=0=—(_^w=0=jw+1w=0=0.5kg/mm4.4若系统输入为不同频率w的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin（wt+申）.求该系统的频率特性。解：由频率特性的定义有G（jw解：由频率特性的定义有G（jw）B二ejw

ze4.5已知系统的单位阶跃响应为x(C=1-1.8e-4t+0.8e-9t，试求系。统的幅辐频特性与相频特性。解：先求系统的传递函数，由已知条件有x(t)=1-1.8e-4t+0.8e-9t。(t>0)1X(S)=iS115115亍-18E+0.8()X(。S) 36)=X°(S)=(s+4)(s+9)jw)=G(s)jw)=G(s)s二jW36(4+jw)()+jw)(w)二G(jw)二36\16+w2•、81+w2w)w)=0-arctan-arctan二一arctan-arctan-4 9 4 94.6由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。已知，m二1kg，k为弹簧的刚度，C为阻尼系统。若外力f(t)=2sin2tN，由实际得到系统稳态响应为x=sinf2t-，oss(2丿试确定k和c。

解由系统结构图可知，系统的动力学方程为mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)解由系统结构图可知，系统的动力学方程为mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)ooo则系统的传递函数为Gs)=—ms2+cs+km=1)即，其频率特性为G(jw)=k—w2+jcw其中，幅频特性为G(j®)=/ 1(其中相频特性为由题意有，当w二2一①2ZG(jw)=-arctan时，兀2—arctanVk—w2丿解得k=4,c=14.7试求下列系统的幅频、相频、实频和虚频特性a(w)、血)、u(J、U(w)o⑴G(s)=307n⑵G(')⑴G(s)=307n解依频率特性定义有G(jw)=G(s)w其中，幅频、相频、实频和虚频特性分别为G(jw)=51+j30wA(w)=|G(jw)，p(w)=ZG(jw)，u(jw)=Re\o(jw)]，u(G(jw)=51+j30wa6)==900®2+1P(d)_-arctan30®5a6)==900®2+1P(d)_-arctan30®5900①2+1u(d)_-150®900®2+12）中G(jsLA(®)_1g0.01®2+1q(®)_-90°-arctan0.1®(®)_-0.10.01®2+1u(®)_10.01®3+®/1、_1+j0.1(d)-0.1®2+j®4.8系统的闭环传递函数为⑴（s） 当作用输入信号二（t）=Rsinwt时，试求该系统的稳态输出。解：系统频率特性为：(jw(jw…二K•.=.：■：■：=<■ :::l+-w2Ti由X□曲（t）=xL•ge（jw） sin[wt+牝（jw）]有系统的稳态输出为：t)=RK二\l+-wt)=RK二\l+-w2Tisin(■.：—wm二+ ：：【.；:~)4.9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为门匕）二亍,当系统作用以下输入信号：二：(t)=sin(t+30°)二：(t)=2cos(21-45°)

二.(t)二sin(t+30°)-2cos(21-45°)解：系统的闭环传递函数为⑴&)=三亍二士十二三贝Hl(jw)==^=^^=•f•：；汀-二E 计“(1)因为 W=l；所以 亡(jw)=w•三2(t)=三sin(t+30°—5.2°)=0.90sin(t+24.8°)^'1222)因为w=2；所以-(jw)—三・厂：「「工(t)=2X-：：二二二f=1.79cos(2t—55.3°)3)有叠加原理有：二斗(t)=二:二(t)+二工(t)=0.905sin(t+24.8°)—1.79cos2t-55.3°)4-10设系统的传递函数为K，式中，时间常数T=0・5秒，放大Ts+1系数K=10。求在频率f=1Hz,幅值R=10的正弦输入信号作用下,系统稳态输出咒(t)的幅值与相位。解：根据定义与已知有101+j101+j0.5®jTto+1K二10G3)二KT二G3)二KT二0.5jT®+1K=10101+j0.5®①=3.06xej(-72.5。)二6.3•-咒(t)二10x3.06sin(6.3t-72.5。)=30.6sin(6.3t—72.5。)o故X(t)的幅值与相位分别为30.6和-72.5°o4-11知系统传递函数方框图如图(题4.11)所示，现作用于系统输入信号Z(t)=sin2t，试求系统的稳态输出。系统的传递i函数如下：(1)G(s)=丄，H(s)=1;s+1G(s)=5，H(s)=1;sG(s)=5，H(s)=2。s+1图(题4.11图(题4.11)解：因为Z(t)=sin2ti则输入的幅值为X=1，输入的频率为3=2i对于(1)GGG(j3)= 5 = 5 e-arctan? =5幺-八8.4。B 6+j® <36+32 3=2v40X(t)=xo对于(2)G(s)=B-5 e-j21.8-5 e-j21.8°=2何B 5+jT<25+t2咒(t)=X•|G(jT)|sin(Tt+ZG(jT))=0.93sin(2t-21.8°)o i对于（3）G(s)=BG(s)1+G(s)H(s)5对于（3）G(s)=BG(s)1+G(s)H(s)5s+11511+jT5121+T2e-arctan5 e-j10.3°(t)=X・G(jT)sin(Tt+ZG(jT))=5sin(2t-10.3°)4-12求出下列函数的Nyquist曲线(1)4-12求出下列函数的Nyquist曲线(1)系统频率特性1 1 0.01*jTG(jT)= =u)1+0・01t21+0.0001T21+0.0001T21其中，丨g(Jt)1=11+0.0001T2VZG(Jt)=—arctan0.01T1 0.01*Tu(T)= v(T)=———()1+0.0001T2 ()1+0.0001T2因此，u因此，u、v满足关系11(u-2)2+v2=(2)象限的半圆。其象限的半圆。其Nyquist图如图（题4.12（1））（2）系统频率特性Gj)=]_0.01jGj)=]_0.01j®0.01j1+0.000132v(3)=0.0131+0.0001323)系统频率特性G(j3)=1其中，丨G(J3)|=!1+0.000132ZG(j3)=arctan0.0131u(3)=()1+0.000132因此，u、v满足关系(u-1/2)2+v2=(1/2)2又因为u〉0、v〉0,系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第一象限的半圆。其Nyquist图如图(题4.12(2))1-1+0.01j31 0.013=1+0.000132 1+0.0001321\]1+0.000132ZG(j3)=—兀—arctan0.013u(®)=一 v(®)=一J丿1+0.000132 J丿1+0.000132因此，u、V满足关系 (u-—)2+v2=(—)222又因为u<0、v<0系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第三象限的半圆。其Nyquist图如图(题4.12(3))1⑷系统频率特性G(J3)=(—*。叫®)®0.11+0.01J3+0.000132*3其中，IG(JIG(J3)|ZG(J3)=—一—arctan0.1w3\1+0.000132 2u(30.1)=—1+0.0132v(3)=一当w=0时，IG(J3)|=o+0.0132*3“ZG(J3)=—2u(3)=一0.1

v(3)=—00当w=10时，IG(J3)|=0.0707ZG(J3)=一二当W=8时,u(3)=一0.05IG(J3)|=0v(3)=—0.05ZG(j3)=—1800其Nyquist图如图(题4.12(4))(5)这是一个典型的二阶振荡环节n=10,8=0.5)其特性曲线为j®1G(j®)=1+0.1j®-0.01®2ImIm\—0.01® 0.1JD\一0.0132』+0.01®2IG(IG(j®)|=1貞一0・01®2)+0・01®2ZG(j®)=—arctan10®100-®2、/1—0.2丿u(®)=1—0.01®2 0.01®20.1®v(®)=—( 4 其中，

当®=0时，丨G(j®)|=1ZG(j®)=0u(®)=1当®=®n=10时,|G(j®)|=1ZG(j®)=－900u(®)=0 v(®)=－1当®二®r=®*n时,ZG(j®)=－54.70ZG(j®)=1800u(®u(®)=0 v(®)=－1当®二®r=®*n时,ZG(j®)=－54.70ZG(j®)=1800u(®)=0v(®)=0其Nyquist图如图（题4.12（5））IntReWw=0一54.7。（6）传递函数1G(s)=(1+0.5s)(1+2s)1s2+2.5s+1系统G(je)1-®2(1—®2)2+6.25®22.5®(1-®2)2+6.25®2其中，G(j3)=1、:(1—W2)2+6.25e2ZG(jw)=-arctan2.5W其中，G(j3)=1、:(1—W2)2+6.25e2ZG(jw)=-arctan2.5W1-W21—W2(1-w2)2+6.25w22.5W(1—w2)2+6.25w2当3=0时， G(j3)=1U(3)=1当3=W=1时，G(j3)=0.4nu(3)=0当3=8时， G(j3)=0u(3)=0ZG(j3)=0v(3)=0ZG(jw)=-90°v(3)=-0.4ZG(jw)=-180v(3)=0因为阻尼比g=1、25〉0.707,故不存在谐振频率.其Nyquist图如图(4.12(6)).(7)传递函数G(s)s(0.1s+1)(0.5s+1)10.05s3+0.6s2+s系统频率特性G(j3)=jW(0.1jW+1)(0.5s+1)1j(w-0.05w3)一0.6w30.6W2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(w-0.05w3)(0.6w2)2+(w-0.05w3)2其中，G(j3)= ZG(j3)=-nJ(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(w-0.05w3)+arctan1-w20.6w2(0.6w2)2+(w-0.05w3)0.6w2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2当3=0时， G(j3)=8ZG(j3)=-90u(3)=—0.6V(3)=—81另v(3)=0,得 3= =4,472^0.05此时,u(3)=—0.08当3=8时， G(j3)=0 ZG(j3)=-270°u(3)=0 v(3)=0其Nyquist图如图(题4.12(7)).⑻传递函数吐）=兰爲爲）=系统频率特性G(j3)=7.5(0.23+1)(jo+1)=(7.5-1.5o2)+j9oG(j3)=jo(100-32+16j3)jGo。®-33)-16w2780+153225632+(100—32)780+153225632+(100—32)2J(1632)2+(1003-33)2其中， ZG(jw)=arctan0.23+arctan3—90°—arctan100-32TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/、 780+15e2 —U(3)= >0(100-w2)2+256®27.5(0.2e4-1.8®2+100)小\o"CurrentDocument"v(3)=— <0(100®-®3)2+(16®2)2当3=0时，G(j3)=8ZG(j3)=-90°u(3)=0.078(3)=—8当3=8时，G(j3)=0ZG(jw)=-270°u(3)=0v(3)=0其Nyquist如图(题4.12(8)).

(9)传递函数G(s