2018-2019数学新学案同步必修五北师大版讲义：第三章 不等式滚动训练五

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练(五)一、选择题1．下列命题中,正确的是()A．若a〉b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若eq\f(a，c2）〈eq\f（b，c2），则a<bD．若a>b,c>d,则a－c〉b－d考点不等式的性质题点不等式的性质答案C解析取a＝2，b＝1,c＝－1，d＝－2，可知A错误;当c〈0时，若ac〉bc，则a<b，∴B错误；∵eq\f（a,c2)〈eq\f（b，c2），∴c≠0，又c2>0，∴a<b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1,可知D错误．2．下列不等式中正确的是（)A．若a∈R，则a2＋9〉6aB．若a，b∈R，则eq\f(a＋b，\r（ab））≥2C．若a，b>0，则2lgeq\f（a＋b,2）≥lga＋lgbD．若x∈R,则x2＋eq\f（1，x2＋1）>1考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案C解析∵a〉0，b〉0，∴eq\f(a＋b，2）≥eq\r(ab).∴2lgeq\f（a＋b，2）≥2lgeq\r（ab)＝lg（ab)＝lga＋lgb。3．在△ABC中，若eq\f（sinC,sinA）＝3，b2－a2＝eq\f（5,2）ac，则cosB的值为（)A。eq\f（1,3）B.eq\f(1,2）C.eq\f（1，5）D。eq\f(1,4)考点用正弦、余弦定理解三角形题点用正弦、余弦定理解三角形答案D解析由题意及正弦定理知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2）ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f（5，2)ac,2ac）＝eq\f（9a2－\f(15,2)a2，6a2)＝eq\f(1,4)。4．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于()A．18B．12C．9D．6考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案D解析设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝eq\f（11a1＋a11,2)＝eq\f(112a1＋10d,2)＝22，即a1＋5d＝2,所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3（a1＋5d）＝6，故选D。5．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a〉0）的解集为(x1，x2），且x2－x1＝15，则a等于（）A。eq\f（5，2） B。eq\f(7，2)C.eq\f（15，4） D.eq\f(15，2)考点“三个二次"的对应关系的应用题点由“三个二次"的对应关系求参数值答案A解析由条件知，x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0（a>0)的两根,则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝(x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq\f(5,2)。6．已知x，y∈（0，＋∞），且log2x＋log2y＝2,则eq\f(1，x）＋eq\f（1,y）的最小值是(）A．4 B．3C．2 D．1考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案D解析eq\f(1,x)＋eq\f（1,y)＝eq\f（x＋y，xy)≥eq\f(2\r(xy），xy)＝eq\f(2,\r（xy）)，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝log2（xy)＝2，∴xy＝4。∴eq\f（1,x)＋eq\f（1,y)≥eq\f（2，\r(xy)）＝1.7．已知a〉0，b>0，eq\f(2，a)＋eq\f(1，b）＝eq\f(1，6），若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(）A．8 B．7C．6 D．5考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案C解析2a＋b＝6eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,a)＋\f(1,b))）·（2a＋b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（5＋\f(2a，b)＋\f(2b，a）））≥6×（5＋4)＝54。∴9m≤54，即m≤6。二、填空题8．若直线eq\f（x，a）＋eq\f(y，b）＝1（a〉0，b>0)过点（1，1)，则a＋b的最小值为________．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析因为直线eq\f（x,a)＋eq\f(y，b）＝1(a〉0，b〉0)过点(1,1），所以eq\f(1，a）＋eq\f（1，b）＝1，所以a＋b＝（a＋b)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，a)＋\f(1,b))）＝2＋eq\f(a,b）＋eq\f(b，a)≥2＋2eq\r(\f(a,b）·\f（b,a)）＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”．9．已知数列{an｝的通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2·3n－1，n为偶数，，2n－5，n为奇数，））则a3a4＝________。考点数列的通项公式题点已知通项公式求项或项数答案54解析由题意知,a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4＝54.10．已知数列{an｝的前n项和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f（2，3）（n∈N＋)，则｛an｝的通项公式an＝________。考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）））n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,3）a1＋eq\f（2,3),∴a1＝1。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3）an－eq\f(1，3）an－1，∴eq\f（an，an－1）＝－eq\f（1，2）。∴数列{an｝是首项a1＝1，公比q＝－eq\f（1，2）的等比数列，故an＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)））n－1（n∈N＋)．三、解答题11．已知函数f（x）＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1）若a＝2，试求函数y＝eq\f（fx，x)（x〉0)的最小值;(2）对于任意的x∈［0,2］,不等式f（x）≤a恒成立，试求a的取值范围．考点一元二次不等式恒成立问题题点一元二次不等式在区间上恒成立解（1）依题意得y＝eq\f(fx，x）＝eq\f（x2－4x＋1,x）＝x＋eq\f（1,x)－4。因为x〉0，所以x＋eq\f(1，x)≥2，当且仅当x＝eq\f(1，x),即x＝1时，等号成立，所以y≥－2。所以当x＝1时，y＝eq\f（fx，x）的最小值为－2.（2）因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“任意的x∈[0，2］，不等式f（x)≤a恒成立"，只要“x2－2ax－1≤0在［0,2]上恒成立”,不妨设g（x)＝x2－2ax－1,则只要g（x）≤0在［0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（g0≤0,,g2≤0,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，，4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f（3,4）.故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4），＋∞)）。12．已知｛an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N＋),{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12,b3＝a4－2a1，S11＝11b4.（1）求｛an｝和{bn｝的通项公式;(2）求数列｛a2nbn｝的前n项和(n∈N＋)．考点数列前n项和的求法题点错位相减法求和解(1）设等差数列｛an｝的公差为d，等比数列{bn｝的公比为q。由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2）＝12.而b1＝2,所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2。又因为q＞0，所以q＝2。所以bn＝2n(n∈N＋）．由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8。①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2（n∈N＋)．所以数列{an｝的通项公式为an＝3n－2（n∈N＋），数列{bn}的通项公式为bn＝2n（n∈N＋)．（2）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn。由a2n＝6n－2，得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2）×2n＋1.上述两式相减，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2）×2n＋1＝eq\f(12×1－2n,1－2)－4－（6n－2）×2n＋1＝－（3n－4）2n＋2－16，所以Tn＝(3n－4）2n＋2＋16。所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16，n∈N＋.13．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量)如表所示：产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨）资源限额(每天)煤(t）94360电力(kw·h)45200劳动力(个)310300利润(万元）612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？考点不等式(组）表示平面区域在生活中的应用题点不等式（组)表示平面区域在生活中的应用解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨，y吨,获得利润z万元．依题意可得约束条件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤360，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，，x≥0,,y≥0，）)作出可行域如图(阴影部分，含边界)．利润目标函数z＝6x＋12y，由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋10y＝300，,4x＋5y＝200,））得x＝20，y＝24，即M（20，24）．所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．四、探究与拓展14．若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当eq\f(xy，z)取最大值时,eq\f（1,x)＋eq\f(1，2y)－eq\f（1，z)的最大值为()A．2B.eq\f(3,2）C．1D.eq\f(1,2)考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案D解析∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y,z∈（0,＋∞)，∴eq\f(xy，z）＝eq\f（xy，x2＋4y2－3xy）＝eq\f（1,\f（x,y)＋\f(4y，x)－3)≤1(当且仅当x＝2y时等号成立），此时eq\f(1，x）＋eq\f(1，2y)－eq\f（1,z)＝eq\f（1，y)－eq\f(1,2y2),令eq\f（1，y)＝t>0，则eq\f（1,x)＋eq\f(1，2y）－eq\f（1,z）＝t－eq\f(1,2)t2＝－eq\f（1,2）(t－1)2＋eq\f（1，2）≤eq\f(1,2）（当且仅当t＝1时等号成立)．故选D。15．若不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,y≤kx＋3,，0