信息安全数学 群

信息安全数学基础许春香编著第二章群第二章群2.1群的定义（重要）2.2子群（掌握）2.３同构和同态（重要）2.４变换群与置换群（掌握）2.1群的定义定义2.1.1设G是一非空集合．如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法，记为ab，而且这个运算满足下列条件，那么G称为一个群：1）G对于乘法是封闭，即对于G中任意元素a，b，有abG；2）对于G中任意元素a，b，c，有a(bc)=(ab)c；3）在G中有一个元素e，对于G中任意元素a，有ea=a；4）对于G中任一元素a都存在G中的一个元素b，使ba=e．群的定义群的定义可以简单的归结为带有运算的集合，在集合上的运算满足1）封闭性；2）结合性；3）单位元；4）逆元；群的定义例2.1.1整数对于加法构成了整数加法群，由我们初等代数的知识知，任意两个整数相加仍然是整数（封闭性），且满足加法结合性，其单位元为0，即任意整数加0均为自身，任意整数a的逆元为-a全体整数Z，全体实数R，全体复数C对于加法是群全体非零实数R*=R\{0}对于乘法是群

同样有非零有理数，非零复数对乘法也构成了群分别记作（Z，+），（Q，+）（R，+），（C，+）（Q*，

·

）（R*，

·

）（C*，

·

）其中Q*表示非零有理数集，R*表示非零实数，C*非零复数这类群称为数群群的定义关于群的几点说明：群的定义有多种描述可以参考近世代数书籍，本定义2.1.1只给出了一种定义中的“乘法”并不代表具体的乘法，而是抽象的乘法——代表一种代数运算群的定义补充群的定义例2.1.2自然数集合N＝{1，2，3，．．．}对于通常的加法封闭且满足结合律，但不存在左单位元和左逆元，因此对于加法不是群．而只是半群整数Z对乘法也只是半群，即只满足封闭性和结合性群的定义例2.1.3集合{0，1}对于模2加法“”（或称异或）是一个群．显然封闭性和结合律满足；这里的单位元e=0，因为00＝0，01＝1；每一个元素的左逆元就是它自己：00＝0，11＝0．{0，1}对于运算是加法群．群的定义例2.1.4集合的元素不一定是数，我们举一个集合元素为二阶方阵的例子：该集合对于矩阵的普通乘法是一个群，单位元是群的的定定义义例2.1.5考虑虑二二阶阶矩矩阵阵集集合合，，其其中中a，b，c，d为整整数数，，，，则该该集集合合对对于于普普通通矩矩阵阵乘乘法法构构成成群群：：1））封封闭闭性性：：两两个个矩矩阵阵A和B相乘乘仍仍然然是是整整数数二二阶阶矩矩阵阵，，而而且且|AB|＝＝|A||B|=1；；2））结结合合律律显显然然满满足足；；3））单单位位矩矩阵阵是是单单位位元元；；4））任任意意元元素素的的左左逆逆元元为为．．实际际上上任任意意阶阶整整数数方方阵阵当当其其行行列列式式等等于于±±1时时对对于于矩矩阵阵的的普普通通乘乘法法都都构构成成群群。。集合合元元素素可可以以是是任任意意事事物物，，其其中中的的运运算算也也可可以以是是任任意意定定义义的的．．群的的定定义义定义义2.1.2如果果群群中中的的运运算算满满足足交交换换律律，，则则这这个个群群称称为为交换换群群或阿贝贝尔尔（（Abel））群群比如如：：（Z，，+）），，（（Q，，+））（（R，，+）），，（（C，，+）），，（（Q*，，·）（（R*，，·）（（C*，，·）都都是是（Abel））群群群的的基基本本性性质质1））左左逆逆元元同同时时也也是是右右逆逆元元，，即即对对于于a，bG，如如果果ba=e，，则ab=e．2））左左单单位位元元同同时时也也是是右右单单位位元元，，即即如如果果对对于于所所有有aG有ea=a，则则对对于于所所有有aG也有有ae=a．3））单单位位元元是是唯唯一一的的．．4））逆逆元元是是唯唯一一的的．．群的的基基本本性性质质（（证证明明））证明明设G是一一个个群群，，e是G中的左左单位位元．．1）aG，设其其左逆逆元为为b，即ba=e；又设b的左逆逆元为为b’，即即b’b=e．于是(b’b)(ab)=e(ab)=(ea)b=ab；但我们们又有有(b’b)(ab)＝b’[(ba)b]=b’(eb)=b’b=e，所以我我们得得到ab=e，即b也是a的右逆逆元．．左逆元元同时时也是是右逆逆元群的基基本性性质（（证明明）证明设G是一个个群，，e是G中的左左单位位元．．2）aG，设其其左（（右））逆元元为b．则(ab)a=ea=a；；又(ab)a=a(ba)=ae；；所以ae=a，，故左单单位元元也是是右单单位元元．左单位位元同同时也也是右右单位位元群的基基本性性质（（证明明）证明设G是一个个群，，e是G中的左左单位位元．．3）如如果G中存存在另另一单单位元元e’’，我我们有有e=ee’’=e’，，则单位位元是是唯一一的单位元元是唯唯一的的群的基基本性性质（（证明明）证明设G是一个个群，，e是G中的左左单位位元．．4）aG，设设b，，c都都是a的逆逆元，，则b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c，则每个个元素素的逆逆元是是唯一一的．．逆元是是唯一一的群的阶阶、元元素的的阶定义2.1.3如果一一个群群G中元素素的个个数是是无限限多个个，则则称G是无限群群；如果果G中的元元素个个数是是有限限多个个，则则称G是有限群群，G中元素素的个个数称称为群的阶阶，记为为|G|．如前面面例2.1.1提到到的数数群是是无限限群，，例2.1.3的模2加法法群，，阶为为2，，例2.1.4的群群阶为为4群的阶阶、元元素的的幂由于群群里结结合律律是满满足的的，所所以元元素连连乘a1a2…an有意义义，它它也是是G中的一一个元元．我我们把把a的n次连乘乘记为为an，称称为a的n次幂（（或称称乘方方），，即．．我们还还将a的逆元元a1的n次幂记记为an，即群的逆逆元（（a1）1=a群的阶阶、元元素的的幂若ab=ba，，则（（ab）n=anbn另外：：anan=e，aman=am+n，(an)m=anm群的等等价性性质定理2.1.1一个群群的乘乘法满满足消去律律：如果ax=ax’，则则x=x’；（（左消消去））如果ya=y’a，则y=y’．（（右右消去去）证明假定ax=ax’，那那么a1(ax)=a1(ax’)，，(a1a)x=(a1a)x’，ex=ex’，x=x’．同理可可证由由ya=y’a，得y=y’．群的等等价性性质定理2.1.2如果G是一个个群，，a，bG，方程程ax=b，ya=b有解；；反之，，如果果上述述方程程在非非空集集合G中有解解，而而且其其中的的运算算封闭闭且满满足结结合律律（即即半群群），，则G是一个个群．．群的等等价性性质证明先证方方程有有解如果G是一个个群，，对于于任一一元素素a有有逆元元a-1，由ax=b可得a1(ax)＝a1b，x=a1b∈G于是x=a1b是方程程ax=b的解．．同理y=ba1是方程程ya=b的解．．群的等等价性性质证明（（续））：对于方方程有有解时时，半半群（（G，，·）是群群。先证有有左单单位元元：如如果a，b，方方程ax=b，ya=b在G中有解解，则则假设设a=b时时，方方程亦亦有解解，即即ya=a有解解，设设其解解为e。任任取g∈∈G，方程ax=g有有解，，设其其解为为b，，即ab=g，，于是是有eg=eab=ab=g，因因而e是左左单位位元。。再证任任a∈∈G有左逆逆元：：因为为方程程ya=e有解解，其其解就就是a的左左逆元元。综上，，由定定义2.1.1知，，G对对于运运算““·”在满满足封封闭性性结合合性前前提下下，只只要方方程ax=b，ya=b有解，，G关关于运运算““·”是群群群的等等价性性质推论2.1.2.1如果一一个非非空集集合G中的运运算封封闭且且满足足结合合律，，则它它是一一个群群的充充分必必要条条件是是a，bG，方程程ax=b，ya=b有解．．群的等等价性性质定理2.1.3如果一一个非非空有有限集集合G中的运运算封封闭且且满足足结合合律，，则它它是一一个群群的充充分必必要条条件是是满足足消去去律．．证明必要条条件由由定理理1立立即得得到．．只证明明充分分条件件．如如果消消去律律满足足，则则a，bG，方程程ax=b，ya=b有解．．先证明明方程程ax=b在G中有解解．假设G有n个元素素，G={a1，a2，a3，，an}．用a左乘G中的每每个元元素得得到G’={aa1，aa2，aa3，，aan}，群的等等价性性质证明（（续））由于乘乘法的的封闭闭性，，G’是G的子集集，而而且G’中的的n个元素素两两两不同同，不不然假假设aai＝aaj，其中中ij，由消去去律得得ai＝aj，其中中ij，这是不不可能能的．．于是是G’也有有n个两两两不同同的元元素，，则G’=G．设b=aak，则ak就是以以上方方程的的解．．同样可可证ya=b有解．．由定理理2.1.2，，G是一个个群．．定理理证毕毕．2.2子子群定义2.2.1一个群群G的一个个子集集H如果对对于G的乘法法构成成一个个群，，则称称为G的子群也记作作H≤≤G．．一个群群G至少有有两个个子群群：G本身；；只包包含单单位元元的子子集{e}，它它们称称为G的平凡子子群，其他他子群群成为为真子群群(H＜G)．2.2子子群例2.2.1设m是一个个正整整数．．整数数加群群Z中每个个元素素的m倍数{0，，m，2m，3m，…}对加法法也构构成群群，它它是Z的子群群，记记为mZ．2.2子子群引理一个群群G和它的的一个个子群群H有：1）G的单位位元和和H的单位位元是是同一一的；；2）如如果aH，a1是a在G中的逆逆元，，则a1H．证明对于任任意aH，有aG．1）反证法法．设G的单位位元为为e，H的单位位元为为e’，而而且ee’．由于e’HG，则G中的单单位元元不唯唯一，，与群群的定定义矛矛盾，，故e=e’．2））反证证法法．对对于于任任意意aH，假假设设a1H，则则a在H中存存在在另另一一逆逆元元a’，，由由于于a’G，则a在G中存存在在两两个个逆逆元元，，得得到到矛矛盾盾，，故故a1H．2.2子子群群定理理2.2.1一个个群群G的一一个个非非空空子子集集H构成成一一个个子子群群的的充充分分必必要要条条件件是是：：1））a，bH，有有abH；2））aH，有有a1H．证明明首首先先证证明明充充分分条条件件．．由于于1）），，H是封封闭闭的的．．结结合合律律在在G中，，在在H中自自然然成成立立．．现证证明明H中有有单单位位元元．．对对于于任任意意aH，由由于于aG，所所以以存存在在a1使a1a=e．由2））有有a1H，由由1））就就有有a1aH，于于是是a1a=eH，则G中的的单单位位元元在在H中．．H不可可能能再再有有单单位位元元，，否否则则G的单单位位元元不不唯唯一一．．由2）），，H中的的每每个个元元素素都都有有逆逆元元．．故故H是是一一个个群群．．再证证明明必必要要条条件件．1））是是封封闭闭性性，，是是必必要要的的．．2））由由引引理理也也是是必必要要的的．．证证毕毕．．2.2子子群群定理理2.2.2一个个群群G的一一个个非非空空子子集集H构成成一一个个子子群群的的充充分分必必要要条条件件是是：：对对于于任任意意a，bH，有有ab1H．证明明我们们证证明明这这个个条条件件和和定定理理2.2.1的的两两个个条条件件是是一一致致的的，，即即和和定定理理2.2.1等等价价．．先证证明明由由定定理理1的的两两个个条条件件可可推推出出这这个个条条件件．．a，bH，有有b1H，则则ab1H．反过过来来，，这这个个条条件件可可推推出出定定理理1的的两两个个条条件件．．由aH，有有aa1=eH，于于是是ea1=a1H．又由由a，bH，（（参参照照上上一一行行，，））有有b1H，于于是是a(b1)1=abH．证证毕毕．．在判判定定子子群群时时，，此此定定理理经经常常用用到到2.2子子群群定理理2.2.3一个个群群G的一一个个非非空空有有限限子子集集H构成成一一个个子子群群的的充充分分必必要要条条件件是是：：对对于于任任意意a，bH，有有abH．证明明H是有有限限集集合合，，我我们们证证明明H满足足1.1中中的的定定理理3的的3个个条条件件．．H显然然满满足足封封闭闭性性；；结结合合律律在在G中满满足足，，在在H中自自然然满满足足；；消消去去律律在在G中满满足足，，在在H中自自然然满满足足．．故H是一一个个群群．．定理理3表表明明一一个个群群的的一一个个非非空空有有限限子子集集是是一一个个群群的的充充分分必必要要条条件件是是：：只只要要它它满满足足封封闭闭性性．．2.2子子群例2.2.2例2.2.1用用定义判判断了mZ是Z的子群，，现在我我们用定定理2.2.2来判断断mZ是Z的子群．．设a，bmZ，则有t1，t2Z，使a=mt1，b=mt2．b在Z中的加法法逆元是是b，于是a+(b)=mt1+(mt2)=m(t1t2)由于t3=t1t2Z，所以a+(b)=mt3mZ则mZ是子群2.2子子群例3复数域上上的8次次方程z81=0的的根集合合{，，k=0，1，2，，…，7}是一个乘乘法群．．由定理理3可验验证其中中的子集集{，，k=0，1，2，，3}是是一个子子群定义1一个集合合A到另一个个集合B的映射f是aA，都有一一个确定定的b=f(a)B与之对应应．b称为a在f下的像，而a称为b在f下的一个个逆像（原像像）．2.3同同构与与同态———映映射AfabB映射a，bA，如果ab，就有f(a)f(b)，则称f为单射．bB，总有aA，使f(a)=b，则称f为满射．既是满满射又是是单射的的映射称称为一一映射射．单射的含含义就是是A中的每个个元素在在B中有不同同的像，，满射是是B中的每个个元素都都成为A中元素的的一个像像，一一一映射是是A中的元素素与B中的元素素一一对对应．例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．映射例2.3.1设A={1，，2，3}，B={2，，4，6}．下图中的的映射f是一个单单射，又又是一个个满射，，它是一一一映射射．AB12326f4映射显然一个个一一映映射f：AB存在一个个逆映射f1：BA，它也是是一一映映射．AB12326f

-14映射如果A=B，映射f也称为变换，即一个个集合到到自身的的映射称称为变换换如果一个个集合A到自身的的映射f定义为：：对于任任意aA，f(a)=a，则称映射射f为恒等映射射，单位映射射或恒等变换换，记为I．同态和同同构定义2.3.2假设（A，·）和（B，⊙））是两个个群，若若存在映映射f：A→B满足：：任意a，b∈∈A，均均有f（a·b）=f（a）⊙⊙f（b）则称f是是A到B的一个个同态映射射或简称同态。同态映射射也简称称为同态态．如果果f是单射，，则称f是单同态，如果f是满射，，则称f是满同态，如果f是一一映映射，则则称f是同构映映射．如果G=G’，同态f称为自同态，同构映映射f称为自同构映映射．同态和同同构例2.3.2假设整数数集合Z里的运算算是加法法，Z通过映射射f：aea产生一个个实数集集合（这这里的e是自然常常数）：：｛ea｜aZ｝，我们定义义这个实实数集合合里的运运算是乘乘法，于于是有f(a＋b)=f(a)f(b)，显然Z中的运算算在｛ea｜aZ｝中得到到了保持持，f就是一个个同态映映射同态和同同构如果同态态映射还还是一一一映射，，则称为为同构映射射．例2.3.2的的映射f：aea就是一个个一一映映射，所所以f为同构映映射同态和同同构定理2.3.1假设G和G’是两个个群，在在G到G’的一个个同态（（映射））f之下，1）G的单位元元e的像f(e)是G’的单位位元e’，即f(e)=e’．2）G的任意元a的逆元a－１的像f(a1)是f(a)的逆元，，即f(a1)=f(a)1．3）G在f下的像的集集合{f(a)aG}是G’的子群，，称为f的像子群．当f是满同态时时，像子群群就是G’本身．同态和同构构证明1）：由于于f(e)f(e)=f(e2)=f(e)，两边同乘f(e)1，得f(e)=e’．2）aG有f(a1)f(a)=f(a１a)=f(e)=e’所以f(a)1=f(a1)．3）如果a’，b’{f(a)aG}，设a’=f(a)，b’=f(b)，则a’b’1=f(a)f(b)1=f(a)f(b1)=f(ab1){f(a)aG}=G’，由定理2.2.2，，得{f(a)aG}是G’的子群．．同态和同构构定义2.3.3设G和G’是两个群群，如果存存在一个G到G’的同构映映射，则称称G与G’同构，记为GG’．如果G=G’，则称G自同构．例2.3.3整数加法群群Z和偶数加法法群E同构．例2.3.4实数加法群群R和正实数乘乘法群R+同构．同构构映射为f(a)=ea．例2.3.5任意一个二二阶群都与与乘法群{1，1}同构．．证明：设一个任任意二阶群群为A={e，a}，e为单位元．．构造如下下A到乘法群{1，1}的映射射：f：e1，b1显然f是同构映射射，于是A与乘法群{1，1}同构．．同态和同构构可以看出，，群的同构构具有反身身性，对称称性和传递递性，即它它是等价关关系：1）GG；2）由GG’可推出G’G；3）由GG’和G’G’’可推出出GG’’．同态映射的的核假设f是G到G’的同态映映射．a’G’，集合{af(a)=a’,aG}可能是空集集，也可能能包含一个个以上的元元素（当f不是单射时时可能有多多个元素））．我们称称这个集合合是a’的完全反像．特别地，，单位元的的完全反像像称为同态映射f的核，记为ker(f)，即ker(f)={aaG,f(a)=e’}=f-1(e’)．同态映射的的核定理2.3.2ker(f)是G的子群，称称为f的核子群．证明由于一定有有eker(f)，所以ker(f)不会是空空集．如果果a，bker(f)，则f(a)=e’，f(b)=e’，f(b)1=(e’)1=e’，于是f(ab1)=f(a)f(b1)=f(a)f(b)1=e’e’=e’，所以ab1ker(f)，故ker(f)是G的子群．同态映射的的核定理3G到G’的同态映映射f是单同态的的充分必要要条件是ker(f)={e}，即核子子群只含有有单位元．．证明先证充分条条件．用反证法．．如果ker(f)={e}，但存在在a，bG，ab，有f(a)=f(b)，于是f(a)f(b)1=e’，由于f是同态，则则f(ab1)=e’．而由ab，有ab1e，这与ker(f)={e}矛盾，故故f是单射，因因而是单同同态．必要条件证证明：由于于eker(f)，如果ker(f)还包含其其他元素，，则f不是单射，，故ker(f)={e}．同态映射的的核同态映射和和核子群、、像子群的的关系可以以形象地表表示如图2.3.1．e’ker(f)像子群G’Gf2.4变变换群与置置换群变换是一个个集合到自自身的映射射．例2.4.1实数集合R到R的一个变换换f：对于aR，f(a)＝a2．例2.4.2集合A={1，，2}，它它的全部变变换为：f1：11，21，f2：12，22，f3：11，22，f4：12，21．其中f3和f4是一一变换换．变换群我们规定集集合A上的两个变换f和g的乘法(变变换的复合合)如下：aR，fg(a)=f(g(a))．例2.4.3集合A={1，，2，3，，4}．设设变换f为：12，24，31，43．变换g为：13，21，32，44．则fg为：11，22，34，43．定义2.4.1一个集合的的若干变换换如果对于于变换的乘乘法构成群群，则称为为变换群．变换群定理2.4.1（Cayley定理理）任何一个群群都同构于于一个变换换群．证明证明的思路路是对于任任意一个群群，我们构构造出与之之同构的一一个变换群群．设G是一个群，，我们构造造一个变换换集合T如下：T={xG，f(x)=ux|uG}我们可以证证明T是一个一一一变换群现在我们构构造G到T的同构映射射．我们建建立一个G到T的映射如下下：：aG，a(xG，f(x)=ax)对于a，bG，(ab)=(xG，f(x)=abx)=(a)(b)，是一个同构构映射，所所以G与T同构．变换群例2.4.4构造与非零零实数乘法法群R*＝R\{0}同同构的变换换群．R*的变换集集合T={xR*，f(x)=ux|uR*}是一个个变换群．．R*到T的同构映射射：：aR*，a(xR*，f(x)=ax)．T与R*同构．置换群定义2.4.2一个有限集集合的一一一变换称为为置换．设一个有限限集合A有n个元素，A={a1，a2，a3，，an}，则一个置换换可以表示为为：ai，i=1，2，3，……，n也可表示为为：如果抽掉元元素的具体体内容，置置换还可表示为为：实际上，第第一行元素素的任意一一个排列都都是一种表表示，但一一般情况下下我们还是是用(1，，2，3，，…，n)次序表达达．置换群例2.4.5n=3，置置换：a1a2，a2a3，a3a1于是一个有限集集合的若干干置换构成成的群称为为置换群．．置换群定理2.4.2一个有限集集合的所有有置换对于于变换的乘乘法构成一一个群．证明设一个有限限集合A的所有置换换的集合为为S．假设f，gS，对于任意意a，bA，如果ab，则有g(a)g(b)，f(g(a))f(g(b))，fg(a)fg(b)所以fg是单射，又又由于g和f是满射，因因此fg也是满射，，故fg是一一变换换，S对于乘法是是封闭的．．假设f，g，hS，对于任意意aA，有f(gh)(a)=f(g(h(a)))，又有(fg)h(a)=f(g(h(a)))，故结合律成成立．S中存在乘法法单位元，，即恒等变变换I．任意fS是一一映射射，所以它它存在逆映映射f1，f1也是一一变变换，是S中f的逆元所以S对于变换的的乘法是一一个群．证证毕．置换群一个包含n个元素的集集合的全体体置换构成成的群称为为n次对称群，记为Sn．置换群是是对称群的的子群．由初等数学学中排列组组合知识可可以得知，，一个置换换实际上就就是A元素的一次次排列，n个元元素素的的总总排排列列次次数数是是n!，，所所以以n次对对称称群群Sn的阶阶|Sn|=n!．置换换群群例2.4.63次次对对称称群群S3，它它有有3!=6个个元元素素：：读者者可可以以验验证证，，S3是一一个个非非交交换换群群．．置换换群群定理理2.4.3每一一个个有有限限群群都都与与对对称称群群的的一一个个子子群群，，即即一一个个置置换换群群同同构构．．现在在我我们们讨讨论论置置换换中中非非常常重重要要的的循环环置置换换，或或简简称称循环环．定义义3Sn的一一个个如如下下置置换换：其余余元元素素保保持持不不变变，，即即称为为k－循循环环．K－循循环环可以以用用下下面面的的符符号号表表示示：：置换换群群＝(i1i2…ik)．．同样样可可以以表表示示为为：：＝(i2i3…iki1)＝＝……＝＝(iki1i2…ik1)．．定义义中中的的k－循循环环多多种种表表示示与与一一种种置置换换的的多多种种表表示示是是同同样样的的道道理理．．容易易证证明明k=I．（（I—恒恒等等变变换换））在K－循循环环中中，，2－－循循环环称称为为对换换．置换换群群例2.4.7我们们列列举举S5中中三三个个循循环环的的例例子子：：1==(123)=(231)=(312)，，2==(12345)=(23451)=……=(51234)，，3==(12)．．1是是3－－循循环环；；2是是5－－循循环环；；3是是2－－循循环环，，即即对对换换．．置换换群群两个个循循环环=(i1i2……ik)和和=(j1j2……jm)如果果对对于于任任意意r和s，都都有有irjs，则则称称和是不相相交交循循环环．置换换的的乘乘积积一一般般是是不不可可交交换换的的，，但但对对于于不不相相交交循循环环我我们们有有下下列列定定理理．．定理理2.4.4不相相交交循循环环的的乘乘积积是是可可交交换换的的．．置换换群群定理理2.4.5任一一置置换换都都可可表表示示为为若若干干个个两两两两不不相相交交的的循循环环的的乘乘积积，，而而且且表表示示是是唯唯一一的的．．证明明：：假设设是一一个个n元置置换换：：首先先将将置置换换中中的的1阶阶循循环环元元素素划划掉掉．．从从剩剩下下的的元元素素中中任任选选a1，连连续续做做置置换换：：a1a2a3a4a5a6…由于于元元素素个个数数是是有有限限的的，，则则这这个个序序列列进进行行下下去去一一定定有有ai=aj．我们们可可以以证证明明i=1．．因因为为是一一一一变变换换，，则则如如果果ai=aj，就就有有ai1=aj1，接接着着又又有有ai2=aj2，ai3=aj3，…….，，a1=aji+1．如此此反反复复最最后后直直到到将将n个元元素素全全部部划划掉掉，，分解成了若若干两两不不相交的循循环的乘积积置换群于是上面的的置换序列列是以a1开始的若干干元素的循循环．将这这些元素划划掉，再从从剩下的元元素中任选选一个元素素重复上述述过程，又又会得到一一个循环，，且与上一一个循环不不相交．唯一性证明明：如果分解不不唯一，假假设有两个不同同的分解式式，则会存存在两个元元素i，j，在第一个个分解式里里j紧接着i出现，但在在第二种分分解式紧接接着i的却不是j，这意味着着在第一个个分解式里里(i)=j，而在第二二种分解式式里(i)j，得到矛盾盾．定理证证毕．置换群我们指出，，任何循环环(i1i2…ik)都可表示示为对换的的乘积，即即(i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik)利用变换的的乘法我们们很容易验验证上式，，计算(i1i2)(i1i3)…(i1ik)：i1ik，iki1ik1，ik1i1ik2，ik2i1ik3，…i3i1i2，i2i1，即i1ikik1ik2…i2i1，正好等于于循环(i1i2…ik)．置换群定义2.4.4如果一个置置换可以表表示为偶数数个对换的的乘积，则则称为偶置换；如果一个个置换可以以表示为奇奇数个对换换的乘积，，则称为奇置换．显然两个偶偶置换的乘乘积为偶置置换，两个个基置换的的乘积也是是偶置换，，但一个偶偶置换和一一个基置换换的乘积为为基置换．．n元偶置换全全体组成的的集合为An．置换群定理2.4.6An对乘法构成成一个群，，称为交错群，其阶|An|=n!/2．证明：An={|Sn，是偶置换}，An是对称群Sn的一个有限限子集．如如果1，2An，由两个偶偶置换的乘乘积是偶置置换，有12An，由定理2.2.3得An是Sn的一个子群群．设Bn={|Sn，是奇置换}，则Sn=An∪Bn．取一个奇置置换Bn，由于Sn是有限群，，于是有Sn=An∪Bn．由于奇置换换和偶置换换的乘积为为奇置换，，现在An是奇置换集集合而Bn成为偶置换换集合，于于是Sn=An∪An，|Sn|=|An|+|An|=2|An|，|An|=|Sn|/2=n!/2．谢谢!群的定义等等价补充定义2.1.1设G是一个个非空集合合，若在G内定义一一个称为乘乘法的运算算“·”，满足以以下条件：：（封闭性））任意a，，b∈G，，有a·b∈G；（结合性））任意a，，b，c∈∈G，有a·（b·c）=（（a·b）·c；在G中有一一个元素e，对G中中任意元素素g，有e·g=g·e=g，元元素e称为为单位元；；对G中任一一元素g存存在一个元元素g’，，使得g·g’=g’’·g=e，g称为可逆逆元，g’称为g的逆元，，记作g-1则称G关于于运算“·”形成一个个群（group）），记作（（G，·），通常在在不混淆的的情况下省省略“·”，用G来来表示一个个群，a·b也简记为为ab。群的定义等等价补充定义2.1.2半群定义：：若集合G的的运算只满满足条件1、2则称称为半群，，即只满足足封闭性和和结合性；；含幺半群：：单位元也称称为幺元，，若G的运运算满足1、2、3则称为含含幺半群。。群的定义等等价补充定义2.1.3设G为某种种元素组成成的非空集集合，若在在G中定义义一个称为为乘法的运运算“·”，满足以以下条件：：1、（封闭闭性）任意意a，b∈∈G，有a·b∈G；2、（结结合性）任任意a，b，c∈G，有a·（b·c）=（（a·b）·c；3、在G中中有一个元元素e，对对G中任意意元素g，，有e·g=g（（g·e=g），，元素e称称为左单位位元（右单单位元）4、对G中中任一元素素g存在一一个元素g’，使得得g’·g=e（（g·g’=e）），g称称为可逆元元，g’’称为g的的左逆元（（右逆元））。群的定义等等价补充定义2.1.4设G为某种种元素组成成的非空集集合，若在在G中定义义一个称为为乘法的运运算“·”，满足以以下条件：：1、（封闭闭性）任意意a，b∈∈G，有a·b∈G；2、（结结合性）任任意a，b，c∈G，有a·（b·c）=（（a·b）·c；3、任意a，b∈G，方程ax=b与与方程ya=b在G中均有解解。返回9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。03:48:0303:48:0303:4812/29/20223:48:03AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2203:48:0303:48Dec-2229-Dec-2212、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。03:48:0303:48:0303:48Thursday,December29,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。