2018-2019数学新学案同步必修四人教A版全国通用版讲义：第二章 平行向量2.4.1（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2。4平面向量的数量积2．4。1平面向量数量积的物理背景及其含义（一)学习目标1。了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2。掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s,如图．思考1如何计算这个力所做的功?答案W＝|F｜｜s｜cosθ.思考2力做功的大小与哪些量有关?答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量｜a｜|b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积）记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝｜a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影?答案如图所示，eq\o（OA，\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6（→）)＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝｜b|cosθ。|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a｜cosθ叫做向量a在b方向上的投影．思考2向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同．梳理(1)条件：向量a与b的夹角为θ.（2)投影向量b在a方向上的投影|b｜cosθ向量a在b方向上的投影｜a｜cosθ(3)a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a｜与b在a的方向上的投影｜b｜cosθ的乘积．知识点三平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时,非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．梳理设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ，（1)a⊥b⇔a·b＝0.（2）当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(|a||b｜，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向。）)（3)a·a＝|a|2或|a｜＝eq\r（a·a）.(4）cosθ＝eq\f（a·b,|a|｜b|)。（5）|a·b｜≤｜a｜|b|。1．向量数量积的运算结果是向量．（×)2．向量a在向量b上的投影一定是正数．(×）3．在等边△ABC中，向量eq\o(AB，\s\up6（→）)与向量eq\o(BC，\s\up6(→))夹角为60°.(×）提示向量eq\o（AB，\s\up6（→）)与向量eq\o（BC,\s\up6(→)）夹角为120°。类型一求两向量的数量积例1已知正三角形ABC的边长为1,求：(1)eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6（→))；(2）eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o(BC，\s\up6(→))；（3）eq\o（BC,\s\up6(→))·eq\o(AC，\s\up6（→）)。考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(1）∵eq\o（AB，\s\up6(→)）与eq\o(AC，\s\up6(→））的夹角为60°。∴eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o（AC，\s\up6(→))＝|eq\o（AB,\s\up6（→))｜｜eq\o(AC,\s\up6（→））｜cos60°＝1×1×eq\f(1，2）＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o（BC，\s\up6(→))的夹角为120°，∴eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o(BC，\s\up6（→））＝｜eq\o(AB,\s\up6(→)）|｜eq\o(BC,\s\up6(→)）|cos120°＝1×1×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）)）＝－eq\f(1，2)。（3)∵eq\o（BC，\s\up6（→）)与eq\o(AC,\s\up6(→）)的夹角为60°,∴eq\o(BC,\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6(→)）＝|eq\o(BC，\s\up6(→))||eq\o（AC,\s\up6(→)）｜cos60°＝1×1×eq\f(1，2)＝eq\f（1,2）。反思与感悟求平面向量数量积的两个方法(1)定义法:若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|｜b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．（2）几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b。跟踪训练1已知｜a|＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为120°，求（2a＋3b)·（3a－2b)．考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(2a＋3b)·(3a－2b）＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a｜2＋5a·b－6｜b|2＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72＝－268.类型二求向量的模例2已知|a｜＝|b｜＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π，3），求|a＋b｜，|a－b|.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解a·b＝｜a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1，2）＝eq\f（25，2）.|a＋b｜＝eq\r(a＋b2）＝eq\r（｜a|2＋2a·b＋|b｜2)＝eq\r（25＋2×\f（25,2）＋25)＝5eq\r(3）.｜a－b｜＝eq\r(a－b2）＝eq\r（｜a|2－2a·b＋｜b｜2）＝eq\r(25－2×\f(25，2）＋25）＝5。引申探究若本例中条件不变，求|2a＋b｜，｜a－2b|。解a·b＝|a｜|b｜cosθ＝5×5×eq\f(1，2）＝eq\f（25,2），|2a＋b｜＝eq\r（2a＋b2）＝eq\r(4|a|2＋4a·b＋|b|2)＝eq\r（4×25＋4×\f（25，2）＋25）＝5eq\r(7）.|a－2b|＝eq\r（a－2b2）＝eq\r(|a|2－4a·b＋4｜b|2)＝eq\r(25－4×\f（25,2）＋4×25）＝5eq\r(3）.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a｜＝eq\r(a2）,勿忘记开方．跟踪训练2已知｜a|＝1，｜b|＝3,且|a－b|＝2，求|a＋b｜.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解方法一∵｜a－b｜2＝(a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3.∴|a＋b|2＝(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16,∴｜a＋b|＝4.方法二∵｜a－b｜2＝（a－b)2＝a2－2a·b＋b2,|a＋b|2＝（a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20.又|a－b|＝2,∴｜a＋b｜2＝16，∴｜a＋b｜＝4。类型三求向量的夹角例3(1）设n和m是两个单位向量,其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解∵｜n|＝|m｜＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n｜cos60°＝1×1×eq\f（1，2)＝eq\f(1，2).｜a｜＝｜2m＋n|＝eq\r（2m＋n2）＝eq\r（4×1＋1＋4m·n)＝eq\r（4×1＋1＋4×\f(1,2)）＝eq\r（7)，｜b|＝|2n－3m|＝eq\r（2n－3m2)＝eq\r（4×1＋9×1－12m·n）＝eq\r（4×1＋9×1－12×\f（1，2))＝eq\r(7)，a·b＝(2m＋n)·（2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f（1,2）－6×1＋2×1＝－eq\f(7,2)。设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f（a·b,|a｜｜b|)＝eq\f（－\f(7，2)，\r(7)×\r(7））＝－eq\f（1，2）.又∵θ∈［0，π］，∴θ＝eq\f(2π，3）,故a与b的夹角为eq\f（2π，3)。（2）已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|,求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解如图所示，在平面内取一点O,作eq\o(OA,\s\up6（→））＝a,eq\o（OB,\s\up6(→))＝b，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，使|eq\o（OA，\s\up6（→））|＝|eq\o(OB，\s\up6(→）)｜，∴四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB，这时eq\o（OC，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o（BA,\s\up6(→））＝a－b.由于｜a|＝|b|＝｜a＋b|，即|eq\o（OA，\s\up6（→））|＝｜eq\o（AC，\s\up6（→）)｜＝|eq\o(OC,\s\up6（→)）｜,∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°。∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°,又｜eq\o(OA,\s\up6(→））｜＝|eq\o(OB,\s\up6（→）)|，∴∠OAB＝30°，即a与a－b的夹角为30°。反思与感悟(1）求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a｜|b|）求出夹角的余弦值,从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，｜b｜的值，然后代入求解，也可以寻找|a｜，|b|，a·b三者之间的关系,然后代入求解．(2）求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．（3)求向量的夹角时,注意向量夹角的范围是[0，π］．跟踪训练3已知|a｜＝｜b｜＝2，（a＋2b)·(a－b）＝－2，求a与b的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解∵(a＋2b）·(a－b）＝｜a|2－2|b|2＋a·b＝－2.|a|＝｜b｜＝2，∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|｜b|)＝eq\f(1，2)，又∵θ∈［0，π],∴θ＝eq\f（π,3)。1．已知|a|＝1，｜b|＝2，a与b的夹角为eq\f（π,3），则a·b等于()A．1B．2C．3D．4考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析a·b＝1×2×coseq\f（π，3)＝1，故选A。2．在等腰直角三角形ABC中,若∠C＝90°，AC＝eq\r（2)，则eq\o(BA,\s\up6（→））·eq\o（BC，\s\up6（→))的值等于（）A．－2B．2C．－2eq\r（2)D．2eq\r(2)考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案B解析eq\o(BA,\s\up6（→））·eq\o（BC,\s\up6（→））＝|eq\o（BA,\s\up6(→))｜｜eq\o(BC，\s\up6（→））｜cos∠ABC＝2×eq\r（2）×cos45°＝2。3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为（）A．4B．－4C．2D．－2考点平面向量的投影题点求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影为|b｜cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2。4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq\o（BD，\s\up6(→））·eq\o(CD,\s\up6（→））等于（）A．－eq\f（3,2)a2 B．－eq\f(3，4）a2C.eq\f(3,4）a2 D.eq\f（3，2)a2考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°。∴eq\o（BD，\s\up6（→））·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→）)）·eq\o（CD,\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6(→)）·eq\o(CD,\s\up6（→))＋eq\o(CD，\s\up6(→））2＝a·a·cos60°＋a2＝eq\f（3，2)a2。5．已知向量a，b的夹角为60°，且｜a|＝2,|b|＝1,若c＝2a－b，d＝a＋2b,求:（1）c·d；(2）｜c＋2d｜.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解（1）c·d＝（2a－b）·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×4－2×1＋3×2×1×eq\f（1，2)＝9.(2)｜c＋2d｜2＝（4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b＝16×4＋9×1＋24×2×1×eq\f（1,2）＝97,∴|c＋2d｜＝eq\r(97）。1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a≠0，b≠0，0°≤θ〈90°时）,也可以为负(当a≠0，b≠0,90°〈θ≤180°时),还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时）．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．求投影有两种方法(1）b在a方向上的投影为｜b｜cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a｜cosθ.（2）b在a方向上的投影为eq\f(a·b，｜a|），a在b方向上的投影为eq\f（a·b,|b｜).4．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式｜a|＝eq\r（a2）。一、选择题1．（2017·辽宁大连二十中高一月考）设非零向量a,b,c满足｜a|＝｜b|＝｜c｜,a＋b＝c，则a与b的夹角θ为()A．150°B．120°C．60°D．30°考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案B解析由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c,得|a＋b｜＝|b|，平方得｜a|2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2⇒2a·b＝－｜a|2⇒2|a｜·｜b｜·cosθ＝－|a|2⇒cosθ＝－eq\f（1，2）⇒θ＝120°。2．已知｜a|＝3，｜b｜＝4，且a与b的夹角θ＝150°,则a·b等于（)A．－6B．6C．－6eq\r(3）D．6eq\r（3）考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案C3．已知a，b方向相同，且｜a｜＝2,|b|＝4，则|2a＋3b|等于(）A．16B．256C．8D．64考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案A解析∵|2a＋3b｜2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b｜＝16.4．已知|a｜＝6,｜b｜＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2考点平面向量的投影题点求向量的投影答案A解析根据投影的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影是｜a｜cosθ＝eq\f(a·b,|b|）＝－4，故选A.5．已知平面上三点A,B，C，满足|eq\o(AB，\s\up6(→）)｜＝3，｜eq\o(BC,\s\up6（→））｜＝4,|eq\o（CA,\s\up6（→））｜＝5，则eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6(→）)·eq\o(CA,\s\up6（→）)＋eq\o（CA，\s\up6(→））·eq\o（AB,\s\up6（→)）的值等于()A．－7B．7C．25D．－25考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C)＋5×3cos（180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f（4,5)－15×eq\f（3,5)＝－16－9＝－25.6．设向量a,b满足｜a＋b｜＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r（6)，则a·b等于(）A．1B．2C．3D．5考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析∵|a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10,①|a－b|2＝(a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝6,②由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1。7．在△ABC中，AB＝6,O为△ABC的外心，则eq\o（AO,\s\up6（→））·eq\o(AB，\s\up6(→）)等于(）A。eq\r（6）B．6C．12D．18考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析如图,过点O作OD⊥AB于D,可知AD＝eq\f（1,2)AB＝3，则eq\o（AO,\s\up6（→))·eq\o(AB,\s\up6（→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o(DO，\s\up6(→)））·eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→）)·eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（DO,\s\up6(→)）·eq\o(AB，\s\up6（→))＝3×6＋0＝18，故选D。二、填空题8．（2017·全国Ⅰ）已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2,｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案2eq\r（3)解析方法一|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2）＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12）＝eq\r(12)＝2eq\r(3).方法二（数形结合法)由｜a｜＝|2b｜＝2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则｜a＋2b|＝｜eq\o(OC,\s\up6（→))|。又∠AOB＝60°，所以|a＋2b｜＝2eq\r（3）。9．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°,则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________。考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案－eq\f（9，2)10．(2017·四川绵阳南山中学高一月考）已知在△ABC中,AB＝AC＝4,eq\o（AB，\s\up6（→)）·eq\o（AC,\s\up6（→））＝8,则△ABC的形状是________．考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案等边三角形解析eq\o（AB,\s\up6（→））·eq\o（AC,\s\up6(→))＝｜eq\o（AB,\s\up6(→))｜｜eq\o（AC,\s\up6（→)）｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1，2），因为0°<∠BAC〈180°,所以∠BAC＝60°。又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．11．在平行四边形ABCD中,AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若eq\o（AC,\s\up6（→）)·eq\o（BE，\s\up6（→))＝1，则AB的长为________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案eq\f(1，2）解析如图，由题意可知，eq\o(AC,\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→）），eq\o(BE,\s\up6(→)）＝－eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6(→）)。因为eq\o（AC，\s\up6（→))·eq\o（BE，\s\up6(→))＝1，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6(→)）)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)\o(AB，\s\up6(→）)＋\o(AD,\s\up6（→））））＝1,即eq\o（AD，\s\up6(→））2＋eq\f（1，2)eq\o(AB，\s\up6(→))·eq\o(AD，\s\up6（→）)－eq\f（1，2）eq\o(AB，\s\up6（→)）2＝1。①因为|eq\o(AD，\s\up6（→))｜＝1，∠BAD＝60°，所以①式可化为1＋eq\f（1,4）|eq\o（AB，\s\up6(→）)|－eq\f（1,2）|eq\o（AB,\s\up6(→))|2＝1.解得｜eq\o(AB,\s\up6（→）)|＝0（舍去）或｜eq\o(AB，\s\up6（→))|＝eq\f（1,2），所以AB的长为eq\f（1，2)。12．已知｜a｜＝4，|b｜＝3,(2a－3b)·（2a＋b)＝61。则向量a在向量a＋b方向上的投影为________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案eq\f（10\r（13)，13）解析（2a－3b）·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b｜＝eq\r（13),设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，∴cosθ＝eq\f（10,4×\r(13)）＝eq\f(5,2\r(13）)，则a在a＋b方向上的投影为｜a｜cosθ＝4×eq\f(5，2\r（13))＝eq\f(10\r(13）,13).三、解答题13．如图，在▱ABCD中,eq\o（AB,\s\up6(→））＝a，eq\o(AD,\s\up6（→))＝b，eq\o(CE，\s\up6（→)）＝eq\f（1，3）eq\o（CB,\s\up6(→)），eq\o（CF，\s\up6(→))＝eq\f（2,3)eq\o（CD，\s\up6(→））。（1）用a，b表示eq\o(EF，\s\up6(→））；(2）若|a|＝1，｜b｜＝4,∠DAB＝60°，分别求｜eq\o（EF，\s\up6（→））|和eq\o（AC，\s\up6(→））·eq\o(FE，\s\up6(→）)的值．考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解（1)eq\o（EF,\s\up6（→))＝eq\o（CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→））＝eq\f（2,3)eq\o（CD，\s\up6(→）)－eq\f（1,3）eq\o（CB,\s\up6（→）)＝－eq\f（2，3）eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1,3）eq\o(AD，\s\up6(→))＝－eq\f（2，3）a＋eq\f(1,3)b.（2)因为｜a|＝1，｜b｜＝4，∠DAB＝60°，所以｜eq\o（EF，\s\up6(→)）｜2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)b－\f(2,3）a））2＝eq\f(1，9)｜b|2－eq\f（4，9）a·b＋eq\f(4，9）｜a｜2＝eq\f(16，9）－eq\f(4，9)×1×4×cos60°＋eq\f(4，9)＝eq\f(4,3）。所以|eq\o（EF，\s\up6（→））｜＝eq\f（2\r(3）,3).eq\o(AC,\s\up6（→))·eq\o（FE，\s\up6（→））＝（a＋b)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,3）a－\f（1,3）b))＝eq\f(2,3)｜a|2＋eq\f(1,3）a·b－eq\f(1，3)|b｜2＝eq