2018-2019数学新学案同步必修四人教A版全国通用版讲义：第二章 平行向量2.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2。1平面向量的实际背景及基本概念学习目标1。能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小．梳理向量与数量(1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量．知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来?答案可以用一条有向线段表示．思考20的模是多少？0有方向吗?答案0的模为0,方向任意．思考3单位向量的模是多少？答案单位向量的模为1个单位．梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o（AB，\s\up6(→））。(2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o（a,\s\up6（→）)，eq\o(b,\s\up6（→）），eq\o（c，\s\up6(→)）)．(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→)）的大小，也就是向量eq\o(AB,\s\up6（→）)的长度(或称模),即有向线段eq\o(AB，\s\up6（→））的长度，记作｜eq\o(AB,\s\up6(→))｜.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．知识点三相等向量与共线向量思考1已知A，B为平面上不同两点,那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o（BA，\s\up6(→)）相等吗？它们共线吗？答案因为向量eq\o(AB,\s\up6（→)）和向量eq\o(BA，\s\up6（→)）方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线．思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?答案不相同，由相等向量定义可知,向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．思考3若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？答案不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．梳理(1）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法:向量a平行于b，记作a∥b.②规定:零向量与任一向量平行．（3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．1．向量就是有向线段．（×)提示向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．2．如果｜eq\o(AB，\s\up6(→))｜＞｜eq\o(CD,\s\up6（→)）|,那么eq\o(AB,\s\up6（→）)＞eq\o（CD，\s\up6(→）).（×)提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．

3．若a，b都是单位向量，则a＝b.(×）提示a与b都是单位向量，则｜a｜＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．4．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．（√)提示若a＝b,则a与b的大小和方向都相同,那么起点相同时，终点必相同．5．零向量的大小为0，没有方向．(×)提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．类型一向量的概念例1下列说法正确的是(）A．向量eq\o(AB,\s\up6(→)）与向量eq\o(BA,\s\up6（→)）的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量都是相等的D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等考点向量的概念题点向量的性质答案A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误,A正确．故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．跟踪训练1下列说法中正确的是(）A．数量可以比较大小,向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小考点向量的概念题点向量的性质答案D解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小,故D正确．类型二相等向量与共线向量例2(1)下列说法正确的是________．(填序号)①若a≠b，则a一定不与b共线;②若eq\o（AB，\s\up6(→））＝eq\o（DC,\s\up6(→）)，则A,B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中,一定有eq\o(AB，\s\up6(→))＝eq\o（DC,\s\up6（→））；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c,则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c。考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案③④⑤解析①两个向量不相等，可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确；②eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o（DC,\s\up6(→)），A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确;③在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6（→）)｜＝|eq\o(DC，\s\up6(→））|，eq\o（AB，\s\up6（→)）与eq\o(DC,\s\up6（→））平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o(DC,\s\up6（→）)，③正确；④零向量的方向是任意的，与任一向量平行,④正确；⑤a＝b,则｜a|＝|b｜且a与b方向相同；b＝c，则|b｜＝｜c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确;若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑥不正确．（2)如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．①写出与eq\o（EF,\s\up6（→))共线的向量;②写出与eq\o（EF,\s\up6（→))的模相等的向量;③写出与eq\o(EF，\s\up6（→）)相等的向量．考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解①因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝eq\f(1,2)BC。又因为D是BC的中点，所以与eq\o(EF,\s\up6（→)）共线的向量有eq\o（FE,\s\up6(→）），eq\o（BD，\s\up6(→）)，eq\o(DB,\s\up6(→）)，eq\o（DC，\s\up6（→)），eq\o（CD,\s\up6(→）），eq\o（BC,\s\up6(→))，eq\o（CB,\s\up6(→)).②与eq\o(EF,\s\up6(→））模相等的向量有eq\o（FE，\s\up6（→))，eq\o（BD,\s\up6(→))，eq\o（DB，\s\up6（→))，eq\o(DC,\s\up6(→）），eq\o（CD，\s\up6（→))。③与eq\o（EF，\s\up6(→))相等的向量有eq\o（DB,\s\up6(→）)与eq\o(CD，\s\up6(→))。反思与感悟相等向量与共线向量的探求方法(1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．（2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．(1)与eq\o(OA,\s\up6(→）)的模相等的向量有多少个？(2）是否存在与eq\o（OA,\s\up6（→）)长度相等、方向相反的向量?若存在，有几个？(3)与eq\o（OA，\s\up6(→))共线的向量有哪些?考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解(1)与eq\o（OA,\s\up6（→））的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB），而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个．(2）存在．由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF，所以与eq\o（OA，\s\up6(→）)的长度相等、方向相反的向量有eq\o（AO,\s\up6（→)），eq\o(OD，\s\up6（→）），eq\o（FE，\s\up6（→)），eq\o(BC,\s\up6(→)),共4个．（3)由（2）知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与eq\o（OA,\s\up6(→)）共线的向量有eq\o（BC,\s\up6(→)），eq\o（CB，\s\up6（→）)，eq\o（EF,\s\up6(→）），eq\o(FE，\s\up6(→））,eq\o（AO，\s\up6(→)），eq\o（OD,\s\up6(→）），eq\o(DO，\s\up6（→))，eq\o(AD，\s\up6（→)),eq\o（DA，\s\up6(→）），共9个．类型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．（1)作出向量eq\o（AB，\s\up6（→)）,eq\o（BC,\s\up6（→）)，eq\o（CD，\s\up6（→))；(2）求｜eq\o（AD，\s\up6(→）)|.考点向量的表示方法题点向量的几何表示解(1)向量eq\o（AB，\s\up6（→)）,eq\o（BC,\s\up6(→）），eq\o(CD,\s\up6(→)）如图所示．（2）由题意,可知eq\o(AB，\s\up6(→)）与eq\o(CD，\s\up6（→)）方向相反,故eq\o(AB,\s\up6(→））与eq\o(CD,\s\up6（→））共线，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))｜＝|eq\o（CD，\s\up6(→）)｜，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o（BC，\s\up6(→）),∴｜eq\o（AD，\s\up6(→）)|＝｜eq\o(BC，\s\up6(→））|＝200km。反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3在如图的方格纸上,已知向量a，每个小正方形的边长为1.（1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；（2）在图中画一个以A为起点的向量c,使|c｜＝eq\r(5),并说出向量c的终点的轨迹是什么？考点向量的表示方法题点向量的几何表示解（1)根据相等向量的定义,所作向量b与向量a平行,且长度相等（作图略）．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为eq\r(5)的圆（作图略）.1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(）A．单位圆 B．一段弧C．线段 D．直线考点向量的表示方法题点向量的几何表示答案A2．下列结论正确的个数是(）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a｜>｜b｜,则a>b。A．0B．1C．2D．3考点向量的概念题点向量的性质答案B解析①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错;④向量不可以比较大小，故④错；③若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故a与b不共线,则应均为非零向量，故③对．3．设b是a的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号）．①a∥b；②a与b的长度相等；③a是b的相反向量；④a与b一定相等．考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案④4．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．（填序号)①eq\o(AO,\s\up6（→))＝eq\o（OC，\s\up6（→))；②eq\o（AO，\s\up6（→））∥eq\o（AC,\s\up6(→）);③eq\o（AB,\s\up6（→))与eq\o（CD，\s\up6（→)）共线；④eq\o（AO,\s\up6(→))＝eq\o（BO,\s\up6(→)）。考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案①②③解析eq\o(AO,\s\up6（→))与eq\o(OC，\s\up6（→））方向相同，长度相等，∴①正确；∵A，O，C三点在一条直线上,∴eq\o（AO，\s\up6(→））∥eq\o(AC,\s\up6（→))，②正确；∵AB∥DC，∴eq\o（AB,\s\up6(→）)与eq\o(CD,\s\up6(→)）共线，③正确；eq\o(AO，\s\up6（→)）与eq\o（BO，\s\up6(→）)方向不同，∴二者不相等，④错误．1．向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量—-零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、选择题1．(2017·北师大附中一模）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有（)A．4个B．5个C．6个D．7个考点向量的概念题点向量的判定答案A解析速度、位移、力、加速度,这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．下列说法正确的是(）A．向量eq\o（AB,\s\up6（→）)与eq\o（BA，\s\up6(→））是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案C解析向量eq\o（AB,\s\up6(→)）与eq\o(BA，\s\up6(→））是相反向量，不是相等向量，故A错；共线的单位向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故B错;零向量与任一向量共线,故C正确;两平行向量所在直线可能平行,也可能重合，故D错．3．设O是△ABC的外心，则eq\o(AO，\s\up6(→))，eq\o（BO,\s\up6（→）),eq\o（CO,\s\up6(→）)是()A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量考点向量的表示方法题点向量的模答案B解析因为O是△ABC的外心，所以|eq\o（AO,\s\up6（→))|＝|eq\o(BO，\s\up6(→)）|＝｜eq\o(CO,\s\up6(→))｜，故选B。4．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点,则()A。eq\o（AB,\s\up6(→))与eq\o（AC，\s\up6(→))共线 B.eq\o（DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6（→）)共线C。eq\o(AD,\s\up6（→）)与eq\o（AE,\s\up6（→））相等 D。eq\o（AD，\s\up6(→）)与eq\o（BD，\s\up6(→))相等考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案B解析如图所示,因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC。所以eq\o(DE,\s\up6(→））与eq\o（CB,\s\up6（→)）共线．5。如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是（）A．与eq\o（AB，\s\up6（→)）相等的向量只有1个(不含eq\o（AB,\s\up6(→）)）B．与eq\o(AB,\s\up6(→)）的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB，\s\up6(→）))C.eq\o(BD，\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r（3）倍D。eq\o（CB,\s\up6（→))与eq\o（DA,\s\up6(→)）不共线考点向量的表示方法题点向量的模答案D解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o（DC，\s\up6（→）），因此与eq\o（AB，\s\up6（→)）相等的向量只有eq\o（DC，\s\up6(→)），而与eq\o（AB，\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(DA，\s\up6（→）)，eq\o（DC,\s\up6(→)），eq\o（AC，\s\up6(→）），eq\o(CB，\s\up6（→)），eq\o（AD,\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6（→)）,eq\o(CA，\s\up6(→))，eq\o(BC，\s\up6(→）),eq\o（BA,\s\up6（→））,因此选项A，B正确．而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°,∴|eq\o（DO，\s\up6（→）)|＝eq\f(\r(3），2）｜eq\o(DA，\s\up6（→））|，故｜eq\o(DB,\s\up6(→））｜＝eq\r(3)｜eq\o(DA,\s\up6(→))｜,因此选项C正确．由于eq\o(CB，\s\up6(→））＝eq\o(DA,\s\up6（→））,因此eq\o(CB,\s\up6(→）)与eq\o(DA，\s\up6(→))是共线的，故选D.6。如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(）A．|eq\o(AB，\s\up6(→））|＝｜eq\o（EF，\s\up6(→）)｜B。eq\o（AB，\s\up6（→)）与eq\o（FH，\s\up6（→))共线C.eq\o（BD,\s\up6(→)）与eq\o(EH,\s\up6（→))共线D。eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o（FG，\s\up6(→))考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案C二、填空题7．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处,则C地相对于B地的位移是________．考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用答案西北方向5eq\r（2)km8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜eq\o(BD，\s\up6（→)）｜＝________.考点向量的表示方法题点向量的模答案2eq\r（3）解析由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°,∴在Rt△ABO中，｜eq\o（BO,\s\up6(→))|＝｜eq\o(AB,\s\up6（→））|·cos30°＝2×eq\f(\r（3)，2)＝eq\r(3）,∴｜eq\o(BD，\s\up6（→））|＝2｜eq\o(BO，\s\up6（→）)｜＝2eq\r(3).9．在四边形ABCD中，若eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o（DC，\s\up6（→))且|eq\o(AB，\s\up6（→））｜＝｜eq\o（AD，\s\up6(→))|，则四边形的形状为________．考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的应用答案菱形解析∵eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→）)，∴AB＝DC,AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵|eq\o(AB,\s\up6(→））｜＝|eq\o（AD，\s\up6(→）)｜，∴四边形ABCD是菱形．10．某人向正东方向行进100m后,再向正南方向行进100eq\r（3）m，则此人位移的方向是________．考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用答案南偏东30°解析如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝eq\f(BC，BA）＝eq\f(100\r（3）,100)＝eq\r（3），∵∠BAC是三角形的内角，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°。11。如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形,则：（1)图中与eq\o（AB,\s\up6（→）)共线的向量有________；（2)图中与eq\o(AB,\s\up6(→））相等的向量有________;(3)图中与eq\o（AB,\s\up6（→)）的模相等的向量有________；（4）图中与eq\o（EC，\s\up6(→））相等的向量有________．考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案（1)eq\o(DC,\s\up6（→))，eq\o（BE，\s\up6(→)),eq\o（BA,\s\up6（→)),eq\o(CD，\s\up6(→）），eq\o(EB，\s\up6(→))，eq\o（AE,\s\up6(→))，eq\o(EA，\s\up6（→))（2)eq\o(DC，\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6（→)）（3)eq\o（BA，\s\up6（→))，eq\o(BE,\s\up6（→）)，eq\o（EB,\s\up6（→）)，eq\o(DC，\s\up6(→）），eq\o(CD,\s\up6（→)），eq\o(AD，\s\up6（→））,eq\o(DA，\s\up6(→)),eq\o（BC,\s\up6（→)),eq\o(CB，\s\up6（→)）（4)eq\o(BD,\s\up6（→））三、解答题12.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．（1)画出eq\o(AD，\s\up6（→）)，eq\o(DC,\s\up6（→)),eq\o(CB,\s\up6（→）)，eq\o(AB，\s\up6（→））；（2)求B地相对于A地的位置向量．考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用解(1)向量eq\o(AD，\s\up6（→)）,eq\o（DC,\s\up6（→）)，eq\o（CB，\s\up6（→）），eq\o(AB，\s\up6（→）)，如图所示．（2）由题意知eq\o(AD,\s\up6(→）)＝eq\o（BC，\s\up6（→))，∴AD∥BC，AD＝BC,则四边形ABCD为平行四边形,∴eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o(DC，\s\up6(→）),则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°,长度为6千米”．13。如图所示,在四边形ABCD中，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o(DC,\s\up6（→））,N，M分别是AD，BC上的点，且eq\o（CN,\s\up6