2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第2章 统计2.2.1-2.2.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2.2总体分布的估计2．2。1频率分布表2．2。2频率分布直方图与折线图学习目标1.体会分布的意义和作用.2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据.3。能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．知识点一频率分布表思考要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？答案分组，频数累计，计算频数和频率．梳理一般地，制作频率分布表的步骤如下:（1）求全距,决定组数和组距，组距＝eq\f(全距，组数)；(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间;（3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．知识点二频率分布直方图与频率分布折线图（1)在频率分布直方图中，纵轴表示eq\f（频率,组距）,数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1。（2）将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,那么就得到频率分布折线图．(3)当样本容量足够大时，组距足够小时，频率分布折线图就趋近于总体分布的密度曲线．1．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．（√）2．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．（×)3．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1。（√)类型一频率分布概念的理解例1一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别［0，10)［10，20)[20，30）［30,40)[40,50)[50,60)[60,70］频数1213241516137则样本数据落在[10，40）上的频率为________．答案0.52解析由题意可知频数在［10,40)的有13＋24＋15＝52（个），所以频率为eq\f(52，100）＝0。52。反思与感悟频率分布的关键就是对样本数据进行分组，按照分组登记频数，计算频率,列出频率分布表．跟踪训练1容量为100的某个样本，数据拆分为10组，并填写频率分布表,若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0。05，则剩下的三组中频率最大的一组频率为________．答案0.12解析设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x,则另两组的频率分别为x－0。05,x－0。1，而由频率和为1得0.79＋（x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12。类型二频率分布直方图的绘制例2从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下：［40,50）,2；［50，60)，3；[60,70)，10;[70，80），15;[80，90)，12；[90，100］，8。(1）列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3）估计成绩在［60，90)分的学生比例．解(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率［40，50)20.04［50,60)30.06［60，70)100。20[70,80)150。30[80，90）120.24[90,100]80。16合计501.00（2）频率分布直方图如图所示:(3)成绩在［60，90）分的学生比例,即学生成绩在［60,90）分的频率为0。20＋0.30＋0.24＝0.74＝74％.所以估计成绩在[60，90）分的学生比例为74％.反思与感悟频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．跟踪训练2一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：6．56.46.75。85。95.95.24。05。44.65．85.56.06。55.16。55.35.95.55.86．25。45.05.06。86。05.05.76.05.56．86。06.35.55.06.35.26.07.06。46．45.85。95。76.86。66。06。45。77.46．05。46.56。06。85.86。36。06。35。65．36。45.76.76。25。66.06.76。76.05．66。26。15。36.26。86.64。75.75.75．85.37。06。06。05。95。46。05。26.06．35.76.86。14.55。66.36.05。86。3根据上面的数据列出频率分布表,绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6。35cm之间的麦穗所占的百分比．解(1)求全距:7.4－4.0＝3。4.(2)决定组距与组数：若取组距为0。3，因为eq\f（3。4,0.3)≈11.3,需分为12组，组数合适,所以取组距为0.3,组数为12。(3）决定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3。95～4。25,4。25~4。55，4。55～4。85，…,7。25～7.55。(4)列频率分布表:分组频数频率［3.95，4.25)10。01［4.25，4。55）10.01[4。55,4。85)20.02[4.85,5.15)50.05［5.15,5。45)110.11［5。45,5。75）150.15[5。75,6.05)280.28［6.05，6.35)130。13［6.35，6.65）110.11[6.65，6。95)100。10［6。95，7.25）20。02[7.25,7.55］10.01合计1001。00(5）绘制频率分布直方图如图．从表中看到，样本数据落在5。75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0。41,于是可以估计，在这块试验田里长度在5。75～6.35cm之间的麦穗约占41％。类型三频率分布表及频率分布直方图的应用例3为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?解（1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0。08；又因为频率＝eq\f（频数，样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组频数,第二小组频率）＝eq\f（12,0。08）＝150.（2）由图可估计该学校全体高一学生的达标率约为eq\f（17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3）×100%＝88％。反思与感悟在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1.跟踪训练3在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据,将数据分组如下表：分组频数频率[1.30，1.34)4［1。34，1。38)25［1。38，1。42)30［1。42，1.46)29［1。46，1。50）10［1.50,1。54]2合计100（1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2）估计纤度落在[1。38，1.50)内的可能性及纤度小于1。42的可能性各是多少？解（1)频率分布表如下：分组频数频率［1。30,1。34)40。04［1.34,1。38)250。25[1。38，1.42）300.30[1。42,1.46)290。29[1。46，1.50）100.10［1。50,1.54]20.02合计1001.00频率分布直方图如图所示：(2）纤度落在［1.38,1.50)的可能性即为纤度落在［1.38，1.50）的频率,即为0.3＋0.29＋0。10＝0。69＝69%.纤度小于1。42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0。25＋0。30＝0。59＝59%.1．已知样本7,10,14,8，7，12,11，10,8,10,13，10，8，11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在［8。5,11。5)内的频率为________．答案0.4解析样本的总数为20,数据落在［8。5，11。5）内的个数为8，故所求频率为eq\f(8,20）＝0.4.2．一个样本的容量为72,分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为eq\f(2,9)，则第三组的频数为___________________________________．答案24解析因为频率＝eq\f（频数，样本容量）,所以第二、四组的频数都为72×eq\f（2,9)＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24。3．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示．若满分为100分，规定不低于60分为及格,则及格率是________．答案80％解析样本中及格的频率为(0。025＋0.035＋0.010＋0。010)×10＝0。8＝80％，由样本估计总体，得及格率是80%。4．下列命题正确的是________．（填序号)①频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数;②频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1；③频率分布直方图中各小矩形的高（平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．答案②③解析在频率分布直方图中,横轴表示样本数据；纵轴表示eq\f(频率,组距）.由于小矩形的面积＝组距×eq\f（频率，组距）＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率,因此各小矩形面积之和等于1。综上可知②③正确．5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是________．答案48解析因为第2小组的频数为12,且前3个小组的频率之比为1∶2∶3,所以前3个小组的频数分别为6，12,18，共6＋12＋18＝36,第4,5两小组的频率和为5×0.0375＋5×0.0125＝5×0。05＝0.25,所以前3个小组的频率和为1－0。25＝0.75，所以抽取的学生总人数是eq\f（36，0。75)＝48.1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小,总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况,并由此估计总体的分布情况．一、填空题1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是__________．(填序号)①频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率；②频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大；③频率分布直方图能直观地表明样本数据的分布情况．答案②③2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．答案200,20解析该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50％＝20.3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组［10，20)[20,30）［30，40)[40,50）[50，60)［60，70］频数234542则样本数据落在区间［10，40)的频率为________．答案0.45解析由表知［10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间［10，40)的频率为eq\f(9，20)＝0。45.4．某校为了了解高三学生的身体情况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40~45kg的人数是______．答案10解析由图可知频率＝eq\f(频率,组距）×组距，知频率＝0.02×5＝0。1，所以0。1×100＝10。5．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17。5,30]，样本数据分组为[17。5，20），[20，22。5)，[22.5,25)，[25,27.5），［27。5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是________．答案140解析设所求人数为N,则N＝2。5×(0.16＋0.08＋0.04）×200＝140。6．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站,现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a＝______,估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有________辆．答案0。02600解析因为组距为10，所以直方图中5组的频率分别为0.1、10a、0.4、0.25和0。05,由和为1可得a＝0.02.不小于90km/h的汽车所占的频率为0.25＋0。05＝0。3，故约有汽车2000×0。3＝600（辆)．7．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为______．答案60解析∵n·eq\f（2＋3＋4，2＋3＋4＋6＋4＋1）＝27,∴n＝60.8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50），［50，60),［60，70),[70，80)，[80，90)，[90，100］加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．答案480解析少于60分的学生人数为600×(0。05＋0。15)＝120,所以不少于60分的学生人数为480.9．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有________辆．答案40解析时速在[60,70)的汽车的频率为0．04×（70－60）＝0.4，又因为汽车的总辆数为100，所以时速在[60,70)的汽车大约有0.4×100＝40（辆)．10．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26。5］，样本数据的分组为［20。5，21.5),[21。5，22.5)，［22.5,23。5)，[23.5，24。5），[24。5,25.5)，［25.5，26。5］．已知样本中平均气温低于22。5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25。5℃的城市个数为________．答案9解析最左边两个矩形面积之和为0。10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0。22＝50，最右面矩形面积为0。18×1＝0.18，所以样本中平均气温不低于25。5℃的城市个数为50×0。18＝9.11.某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克）数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是［96,106］,样本数据分组为[96,98）,［98,100)，［100,102)，[102，104），［104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为________．答案90解析∵样本中产品净重小于100克的频率为(0。050＋0。100)×2＝0.3，频数为36,∴样本总数为eq\f（36，0。3）＝120。∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0。150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0。75＝90。二、解答题12．某制造商在今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位:mm)，将数据分组如下表：分组频数频率［39.95,39。97）10[39.97，39.99）20[39。99,40。01）50[40。01，40。03］20合计100补充完成频率分布表(结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图．解频率分布表如下：分组频数频率［39。95，39。97)100。10［39.97,39。99)200。20［39。99,40。01)500。50［40.01，40。03]200。20合计1001.00频率分布直方图如图：13．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是：[50，60),[60,70）,[70，80），[80,90），[90,100］．(1)求图中a的值；(2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y)之比如下表所示，求数学成绩在［50，90)之外的人数。分数段[50,60)[60，70)［70，80）［80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1）由频率分布直方图知(2a＋0。02＋0.03＋0。04)×10＝1，解得a＝0。005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0。005×10＋65×0。04×10＋75×0。03×10＋85×0。02×10＋95×0.005×10＝73（分)．(3）由频率分布直方图知语文成绩在［50，60)，［60，70），[70，80）,[80,90)各分数段的人数依次为0。005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20。由题中给