2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第四章 圆与方程4.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§4。3空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式．知识点一空间直角坐标系思考空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间有什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理（1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴:x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．（2）右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．（3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z）来表示，有序实数组(x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．知识点二空间两点间的距离1．空间两点间的距离公式（1)在空间中，点P(x，y，z）到坐标原点O的距离｜OP｜＝eq\r（x2＋y2＋z2）。（2)在空间中，P1（x1，y1,z1)与P2（x2，y2,z2）的距离｜P1P2|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).2．空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A（x1，y1，z1）,B(x2，y2，z2),则线段AB的中点坐标是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2)，\f(y1＋y2，2)，\f(z1＋z2,2）)）。

1．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0,b，c)的形式．（×）2．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．(√）3．关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变,横坐标相反．(√）类型一求空间中点的坐标例1如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2｜MC1｜，N是线段D1M的中点,求点M,N的坐标．考点空间直角坐标系题点空间中点的坐标解如图,过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.由|BM｜＝2｜MC1｜，知｜MM1|＝eq\f（2,3)|CC1|＝eq\f(2,3），|M1C|＝eq\f（1,3)|BC｜＝eq\f（1，3）。因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为eq\f（2,3),所以Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3），1，\f（2,3)))。由N1为DM1的中点,知N1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，6)，\f(1，2），0））.因为N1N与z轴平行，且|N1N｜＝eq\f(|M1M｜＋｜DD1｜,2)＝eq\f(5,6）,所以Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，6），\f(1,2），\f(5,6))）.反思与感悟1.建立空间直角坐标系时,应遵循的两个原则(1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2）充分利用几何图形的对称性．2．求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标（x，y，z）．3．坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即（x,y，0）．yOz平面上的点的横坐标为0,即(0，y，z）．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x，0，z）．4．坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即（0,0，z）．跟踪训练1已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5eq\r（2)，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．考点空间直角坐标系题点空间中点的坐标解因为|PO|＝eq\r(|PB|2－|OB｜2）＝eq\r（169－25)＝12，所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12）,Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5\r（2)，2），－\f（5\r(2）,2)，0）），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5\r（2），2)，\f(5\r(2),2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5\r(2）,2)，\f（5\r(2）,2），0）），Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2）,2)，－\f(5\r(2)，2），0）)。类型二空间中点的对称问题例2在空间直角坐标系中,已知点P（－2,1，4）．(1）求点P关于x轴对称的点的坐标;（2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3）求点P关于点M(2,－1，－4)对称的点的坐标．考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题解（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴,z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(－2,－1，－4）．(2）由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2（－2，1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z）,则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6,y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12,所以P3的坐标为（6，－3，－12)．反思与感悟(1）空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．跟踪训练2已知点P（2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案(2，－3，1)解析点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为（2，3,1），点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,－3，1）．类型三空间中两点间的距离问题eq\x(命题角度1求空间两点间的距离）例3已知△ABC的三个顶点A(1,5,2），B(2，3，4)，C(3,1，5)．(1）求△ABC中最短边的边长；(2）求AC边上中线的长度．考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用解（1）由空间两点间距离公式得|AB｜＝eq\r(1－22＋5－32＋2－42)＝3，｜BC|＝eq\r（2－32＋3－12＋4－52）＝eq\r（6）,|AC|＝eq\r（1－32＋5－12＋2－52)＝eq\r(29），∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为eq\r(6)。(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，3，\f（7，2）)).∴AC边上中线的长度为eq\r（2－22＋3－32＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（4－\f(7，2)）)2）＝eq\f（1，2）。反思与感悟求空间两点间的距离的方法求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定．一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3已知三点A(－1,0，1)，B（2，4，3），C(5，8，5）,则（）A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用答案D解析由｜AB|＝eq\r（29)，｜BC｜＝eq\r（29）,｜AC｜＝eq\r(116)，｜AB｜＋｜BC|＝|AC|。故选D.eq\x（命题角度2空间两点间距离公式的应用）例4(1)已知点A(1－t，1－t，t），B（2，t，t)，则｜AB|的最小值为________．考点空间两点间的距离公式题点已知空间两点间的距离，求参数的值答案eq\f(3\r(5)，5）解析由空间中两点的距离公式，得｜AB|＝eq\r（2－1＋t2＋t－1＋t2＋t－t2）＝eq\r（5t2－2t＋2）＝eq\r（5\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f(1,5)）)2＋\f(9,5）).当t＝eq\f（1,5）时，｜AB|取最小值,最小值为eq\f（3\r(5)，5)。（2）已知点A（0，1，0），B(－1，0，－1),C(2，1，1），若点P（x，0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解∵PA⊥AB,∴△PAB为直角三角形，∴|PB|2＝｜PA｜2＋|AB｜2，即(x＋1）2＋（z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1,即x＋z＝1, ①又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，∴｜PC|2＝|PA｜2＋｜AC｜2，即（x－2)2＋1＋（z－1）2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，即2x＋z＝0， ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，,z＝2,))∴点P的坐标为（－1，0，2)．反思与感悟利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．跟踪训练4已知点A（4，5，6），B（－5，0，10),在z轴上有一点P,使|PA｜＝|PB｜，则点P的坐标为________．考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案（0,0,6）解析设P（0，0,z)，由|PA|＝｜PB|，得eq\r（4－02＋5－02＋6－z2）＝eq\r(－5－02＋0－02＋10－z2)，解得z＝6。∴点P的坐标为（0,0，6）．1．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是（）A．1B．2C．3D。eq\r(14）考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案A2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为()A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2），\f（1,2））) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,0，\f(1，2）)）C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f（1,2)，0）) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f（1，2），\f(1，2））)考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案B解析由题图得A（0，0，0），B1（1，0，1），所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,0，\f（1，2）))。3．设点P在x轴上，它到点P1（0，eq\r(2），3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为(）A．（1，0，0） B．(－1，0，0）C．（1,0，0）或（0，－1，0) D．(1，0，0）或(－1，0，0)考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案D解析因为点P在x轴上,所以设点P的坐标为(x，0，0)．由题意，知|PP1|＝2｜PP2|，所以eq\r(x－02＋0－\r（2)2＋0－32）＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12).解得x＝±1.所以点P的坐标为（1，0，0）或（－1，0，0)．4。如图,在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A。eq\r（2)a B.eq\f（\r(2),2)aC．a D.eq\f（1,2)a考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案B解析∵A′（a，0,a)，C(0,a，0），A(a，0，0）,B（a，a，0)，∴E点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,2），\f（a，2），\f（a,2)））,F点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a，\f(a，2),0)），∴｜EF|＝eq\r(\f（a2,4）＋02＋\f(a2,4）)＝eq\f（\r（2），2)a.5．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案（1,1,－1)（－1,－1，1）解析点P(1,1，1）关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1,－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1)．1．结合长方体的长宽高理解点的坐标（x,y，z),培养立体思维,增强空间想象力．2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想．一、选择题1。如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是（）A．(1，0，0）B．(1,0，1)C．(1，1，1)D．（1，1,0）考点空间直角坐标系题点空间中点的坐标答案C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1，1，1)，故选C。2．点A(0，－2，3)在空间直角坐标系中的位置是（)A．在x轴上 B．在xOy平面内C．在yOz平面内 D．在xOz平面内考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案C解析∵点A的横坐标为0，∴点A（0，－2,3）在yOz平面内．3．设点B是点A（2，－3,5）关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为（)A．10B。eq\r(10)C。eq\r(38）D．38考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案A解析∵点B是A（2，－3，5）关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同,竖坐标相反，∴B（2，－3，－5），∴AB的长度是5－（－5)＝10.故选A。4．在空间直角坐标系中，P(2，3，4），Q(－2，－3，－4）两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对考点空间中点的对称问题题点关于原点的对称问题答案C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2），eq\r（3)），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．（0，eq\r(2),0） B．（0,eq\r（2），eq\r(3)）C．(1,0,eq\r(3）) D．（1，eq\r(2），0)考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案B6．在空间直角坐标系中，若以点A（4,1，9），B(10，－1，6),C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是（)A．－2 B．2C．6 D．2或6考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用答案D解析依题意有｜AB｜＝|AC｜，即eq\r（10－42＋－1－12＋6－92）＝eq\r(x－42＋4－12＋3－92），即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6。7．一束光线自点P（1，1，1)发出，遇到平面xOy被反射,到达点Q（3，3,6）被吸收，那么光所走的路程是（)A.eq\r（37）B.eq\r(47)C。eq\r（33）D。eq\r（57)考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案D解析点P(1，1，1）关于平面xOy的对称点M的坐标为(1，1，－1)．一束光线自点P（1,1，1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是eq\r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq\r(57).二、填空题8．已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2,－3，－5），B(－1，3，2)，对角线的交点是E(4，－1，7），则C，D的坐标分别为________________．考点空间中点的对称问题题点中点坐标公式及其应用答案（6，1,19），（9,－5，12）解析由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式,可得C(6，1，19），D（9，－5，12)．9．如果点P在z轴上，且满足｜PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1，1)的距离是________．考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案eq\r（2)或eq\r(6）解析设P(0，0，z)，由|PO|＝eq\r（0－02＋0－02＋z－02）＝1,得z＝±1，∴P(0,0，1)或P(0,0，－1），则｜PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).10．如图所示的是棱长为3a的正方体OABC－O′A′B′C′,点M在B′C′上,且｜C′M|＝2|MB′｜,以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为________．考点空间中点的对称问题题点中点坐标公式及其应用答案（2a，3a,3a)解析∵|C′M|＝2｜MB′|,∴|C′M|＝eq\f（2,3）｜B′C′|＝2a，∴点M的坐标为(2a,3a，3a)．11．已知正方体的六个面中,不在同一平面的两点的坐标分别为A(－1，2，－1)，B（3，－2，3），则正方体的体积是________．考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用答案64解析｜AB|＝eq\r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq\r（3)。又因为A(－1，2,－1),B（3，－2，3）不在同一平面上,所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a,则eq\r(3)a＝4eq\r(3），即a＝4,所以正方体的体积为64.三、解答题12．在yOz平面上求与点A(3，1,2），B(4，－2，－2）,C(0，5，1）等距离的点P的坐标．考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解设P(0，y，z),由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(|PA|＝｜PC｜，,｜PB|＝｜PC|，）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r(0－32＋y－12＋z－22），＝\r（0－02＋y－52＋z－12，),\r(0－42＋y＋22＋z＋22)，＝\r（0－02＋y－52＋z－12，）））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4y－z－6＝0，，7y＋3z－1＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1,,z＝－2，）)所以点P的坐标为（0，1，－2)．13．如图所示,正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a,P,Q分别是D′B，B′C的中点，求｜PQ｜.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用解以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由题意得B(a，a，0)，D′（0，0，a），所以Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f（a，2），\f（a，2))）.又C(0，a，0)，B′(a，a，a），所以Qeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a，2），a，\f(a,2))）。所以|PQ|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，2)－\f(a,2）))2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co