2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第四章 圆与方程章末检测试卷（四）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末检测试卷(四）（时间:120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．若a∈eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3，4））)，则方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（)A．1 B．2C．3 D．0考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件答案A解析方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即方程eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（a,2）)）2＋（y＋a）2＝1－a－eq\f（3，4）a2,可以表示以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，2)，－a)）为圆心、eq\r(1－a－\f(3，4)a2)为半径的圆．当a＝－2时，圆心为(－1,2),1－a－eq\f（3,4）a2＝0，不表示圆;当a＝0时，圆心为（0，0）、半径为1，表示一个圆;当a＝1时，圆心为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2），－1）），1－a－eq\f（3，4）a2＜0，不表示圆；当a＝eq\f(3,4)时，圆心为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,8），－\f(3,4)）)，1－a－eq\f(3,4）a2＜0，不表示圆．综上可得所给的方程表示圆的个数为1，故选A.2．已知圆O以点(2,－3)为圆心，半径等于5，则点M（5，－7）与圆O的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．无法判断考点数形结合思想的应用题点数形结合思想的应用答案B解析点M(5，－7）到圆心(2，－3)的距离d＝eq\r（5－22＋－7＋32)＝5，故点M在圆O上．3．在空间直角坐标系中,点A(－3，4，0）和B(x，－1，6）的距离为eq\r（86）,则x的值为（）A．2 B．－8C．2或－8 D．8或－2考点空间两点间的距离公式题点已知空间两点间的距离，求参数的值答案C解析由距离公式得（x＋3）2＋(－5)2＋62＝86,解得x＝2或－8.4．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（)A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5）＝0或2x＋y－eq\r（5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5）＝0考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案A解析设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有eq\f（｜0＋0＋c｜,\r(22＋12))＝eq\r(5）,解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.5．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，点P在圆C上，点Q（－2,2)在圆C外,则|PQ|的最大值为(）A．5 B．6C．7 D．8考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案C解析由题意可知，圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径r＝2，则|CQ｜＝eq\r(－2－12＋2＋22）＝5.根据几何意义得｜PQ｜的最大值为｜CQ|＋r＝5＋2＝7.6．直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是（)考点数形结合思想的应用题点数形结合思想的应用答案D解析圆C:x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(a，2)，－\f（b,2)）），半径为eq\f（\r(a2＋b2),2）.圆心到直线的距离为d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(a2，2)＋\f（b2，2)）），\r(a2＋b2）)＝eq\f(\r（a2＋b2),2)，∴直线与圆相切，故选D.7．已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2＋（y＋1)2＝18B．x2＋(y＋1）2＝3eq\r(2)C．(x＋1)2＋y2＝18D．（x＋1）2＋y2＝3eq\r(2)考点圆的弦长问题题点直线和圆相交求圆的方程答案A解析易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为(0,－1）,所以圆C的圆心为（0，－1）．设圆C的半径为r，由题意可得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（｜3×0＋4×－1－11｜,\r(32＋42）))）2＋32＝r2，解得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1）2＝18.8．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1,则实数a的值为(）A．0B．1C．±2D．2考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案D解析圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0，即eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)）)2＋(y＋1)2＝eq\f（a2，4），表示以Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，2)，－1）)为圆心,以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a，2))）为半径的圆．关于直线x－y－1＝0对称的圆x2＋y2＝1的圆心坐标为（0，0），故有eq\f(－1－0，\f(a,2)－0)×1＝－1，解得a＝2,故选D.A．1B．2C．3D．4考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案D解析两圆相交于两点A（1，3)和B(m，n）,且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，可得kAB＝－1，即－1＝eq\f(n－3,m－1）.①AB的中点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2），\f(n＋3,2)））在直线上，可得eq\f(m＋1，2)－eq\f（n＋3，2）－2＝0，②由①②可得m＝5，n＝－1，∴m＋n＝4，故选D.10．若圆（x－3）2＋(y＋5）2＝r2(r＞0）上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是（)A．(4,6） B．［4，6）C．（4,6］ D．[4,6］考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案A解析圆心到直线4x－3y－2＝0的距离为eq\f（｜3×4－3×－5－2｜，\r（42＋－32））＝5，若圆(x－3）2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是(4,6)．11．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：（x－m）2＋y2＝20(m∈R）相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是()A．1 B．2C．3 D．4考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题答案D解析由题意作出图形,如图所示．由圆的几何性质得，两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，则在Rt△O2AO1中，｜O1O2｜＝eq\r（5＋20）＝5，斜边上的高为半弦，由等面积法易得eq\f（|AB|,2)×5＝eq\r（5)×eq\r（20)，即｜AB｜＝4.故选D.12．已知直线eq\r（3）x－y－4＝0与圆x2＋(y－2）2＝25交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则△ABP的面积的最大值为（)A．8B．16C．32D．64考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值答案C解析设与直线eq\r（3)x－y－4＝0平行的直线l的方程为eq\r（3）x－y＋c＝0。当直线l与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径，得c＝12或c＝－8.显然,当c＝12时，直线l与圆的切点到直线eq\r（3）x－y－4＝0的距离（两条平行线间的距离）最大且为h＝eq\f(|12－－4|，2)＝8,可得弦｜AB｜＝8，所以△ABP的面积的最大值为S＝eq\f(1，2)×8h＝32.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．点P在圆O:x2＋y2＝1上运动,点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则｜PQ｜的最小值为________．考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案1解析如下图,设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为｜P′Q′|＝｜OC｜－r1－r2＝1.14．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是________．考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案eq\r(2)解析由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得（x＋1)2＋(y－2）2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，得(x－2)2＋（y＋1）2＝2,两圆圆心距为eq\r（－1－22＋2＋12）＝3eq\r（2）〉2eq\r(2）.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3eq\r（2)－eq\r（2）－eq\r（2)＝eq\r(2)。15．已知直线x＋eq\r（3）y－2＝0与圆x2＋y2＝r2（r＞0)相交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则r＝________.考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案2解析∵直线x＋eq\r(3)y－2＝0与圆x2＋y2＝r2（r＞0)相交于A,B两点，O为坐标原点，∠AOB＝120°，∴圆心O(0，0)到直线x＋eq\r(3)y－2＝0的距离为d＝eq\f(1，2)r，即d＝eq\f（|－2｜,\r（1＋3））＝eq\f(r，2)，解得r＝2.16．已知A（－2，0)，B（2,0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4）2＝4上运动，则｜PA｜2＋｜PB|2的最小值是________．考点与圆有关的最值问题题点与距离或距离的平方有关的最值答案26解析设P（x,y)，则|PA｜2＋｜PB｜2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|OP｜2＋8.∵圆心为C(3，4)，∴|OP|min＝｜OC｜－r＝5－2＝3,∴｜PA｜2＋｜PB｜2的最小值为2×32＋8＝26。三、解答题(本大题共6小题，共70分）17．(10分)已知圆C的圆心坐标为（2，1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点（5,－2)，求圆C的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x－2）2＋（y－1）2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点（5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为（x－2）2＋(y－1）2＝4。18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1）写出点D,N，M的坐标;(2）求线段MD,MN的长度；（3）设点P是线段DN上的动点，求｜MP|的最小值．考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离公式的综合应用解（1）D（0,0，0),N（2,1,0),M(1,2，3）．(2）|MD｜＝eq\r（1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r（14)，|MN｜＝eq\r（1－22＋2－12＋3－02）＝eq\r(11）。（3)∵点P在xOy平面上，∴设点P的坐标为（x，y,0），∵P在DN上运动，∴eq\f(x,y)＝eq\f(｜AD|，|AN|)＝2，∴x＝2y，∴点P的坐标为(2y，y,0）,∴|MP｜＝eq\r(2y－12＋y－22＋0－32）＝eq\r(5y2－8y＋14)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（4，5)）)2＋\f（54,5)），∵y∈［0，1],且0＜eq\f（4，5)＜1，∴当y＝eq\f(4，5)时,|MP｜取得最小值eq\r(\f(54，5）），即eq\f(3\r（30）,5）.∴｜MP｜的最小值为eq\f(3\r（30），5)。19．(12分）设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P（3,1）,且弦长｜AB｜＝2eq\r（7)，求圆C的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解由题意,设所求圆的标准方程为(x－a）2＋(y－b）2＝9，圆心到直线的距离为d＝eq\r（9－\r(7）2)＝eq\r（2)，则eq\f(|a＋b－4|，\r（2））＝eq\r(2)。又因为弦AB所在直线的斜率为－1，所以eq\f(1－b,3－a)＝1。联立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(｜a＋b－4|，\r（2)）＝\r(2)，,\f（1－b,3－a）＝1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))故所求圆的标准方程为（x－4)2＋（y－2）2＝9或(x－2)2＋y2＝9。20．(12分）已知以点Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t，\f(2，t）)）(t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1）求证：△OAB的面积为定值;（2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N,若|OM|＝｜ON|，求圆C的方程．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题（1）证明∵圆C过原点O，且｜OC|2＝t2＋eq\f（4，t2）。∴圆C的方程是(x－t）2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（y－\f(2，t)))2＝t2＋eq\f(4,t2），令x＝0，得y1＝0，y2＝eq\f（4,t);令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝eq\f（1,2)｜OA｜·｜OB｜＝eq\f(1，2)×|eq\f(4,t)|×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解∵｜OM|＝|ON|，|CM|＝｜CN|，∴OC垂直平分线段MN。∵kMN＝－2,∴kOC＝eq\f(1,2)。∴eq\f（2,t)＝eq\f(1,2)t，解得t＝2或t＝－2。当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1)，|OC|＝eq\r(5)，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq\f(1，\r（5))〈eq\r(5），圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时,圆心C的坐标为（－2，－1)，｜OC｜＝eq\r(5），此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq\f（9，\r(5）)〉eq\r(5）.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1)2＝5.21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；(3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题解（1）由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0,得(x－1)2＋（y－2）2＝5－m，∵方程表示圆，∴5－m＞0，即m＜5。∴m的取值范围为（－∞，5)．（2)设M(x1，y1)，N(x2，y2）,则x1＝4－2y1,x2＝4－2y2，得x1x2＝16－8（y1＋y2）＋4y1y2。∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.（*)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2y,,x2＋y2－2x－4y＋m＝0,）)得5y2－16y＋m＋8＝0,∴y1＋y2＝eq\f（16,5)，y1y2＝eq\f（8＋m,5)，代入（＊)式得m＝eq\f（8，5）。(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1）（x－x2）＋(y－y1）（y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x