2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第三章 直线与方程3.3.1~3.3.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3。3直线的交点坐标与距离公式3。3.1两条直线的交点坐标3.3。2两点间的距离学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系。3.掌握两点间距离公式并会应用。知识点一两条直线的交点思考由两直线的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系?答案(1）若方程组无解,则l1∥l2;(2）若方程组有且只有一个解,则l1与l2相交;(3）若方程组有无数解，则l1与l2重合。梳理（1)两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b）直线l1，l2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0点A在直线l1上A1a＋B1b＋C1＝0直线l1与l2的交点是Aeq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0))(2）两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0)）的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离（1）公式：点P1（x1，y1），P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r（x2－x12＋y2－y12).根.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.（2)当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝|x2－x1｜。当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2｜＝|y2－y1｜。当点P1，P2中有一个是原点时,|P1P2|＝eq\r(x2＋y2）.1.若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.（√)2。点P1(0，a）,点P2（b，0）之间的距离为a－b。（×）3。无论m为何值,x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交。（×）类型一两直线的交点问题eq\x（命题角度1由交点求参数值或范围）例1(1）若方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－6y＝0，，y＝\f(1,3）x＋\f(1，2))）有且只有一组解，则k的取值范围是________。考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案{k|k≠2}解析当直线kx－6y＝0与y＝eq\f（1,3)x＋eq\f(1,2）平行时，k＝2,此时方程组无解，又两直线不重合,故当方程组有且只有一组解时，k≠2。(2）若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上,则k＝________。考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案±6解析在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝eq\f(k，3),将eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（k，3））)代入x－ky＋12＝0中，解得k＝±6.反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________。考点两条直线的交点题点两直线交点的综合应用答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,2），2）)解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（2a＋3,7），，y＝\f（a－2,7）,)）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(2a＋3，7）>0,,\f(a－2,7)〈0,）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2），，a<2。))∴－eq\f(3,2）〈a〈2。eq\x(命题角度2求过两直线交点的直线方程）程。考点过两条直线交点的直线方程题点应用直线系方程求过两条直线交点的直线方程解方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－3y－3＝0，，x＋y＋2＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f(3,5),,y＝－\f(7,5）,）)所以两直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，5)，－\f(7,5）)）.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋eq\f（7,5）＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（3,5））），即15x＋5y＋16＝0。方法二设所求直线方程为（2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即（2＋λ)x＋（λ－3)y＋（2λ－3）＝0。（＊）由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2＋λ×1－λ－3×3＝0，，2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，）)得λ＝eq\f(11,2）.代入（*)式,得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2＋\f(11，2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(11,2）－3）)y＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2×\f（11,2）－3)）＝0，即15x＋5y＋16＝0。引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解。解设所求直线方程为(2x－3y－3）＋λ(x＋y＋2）＝0,即（2＋λ）x＋（λ－3)y＋（2λ－3)＝0，由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3）×1＝0，得λ＝－eq\f(3,4)，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0。反思与感悟求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程。也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程.跟踪训练2直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(）A。2x＋y＝0 B.2x－y＝0C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0考点过两条直线交点的直线方程题点应用直线系方程求过两条直线交点的直线方程答案B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1）＝0，即(2＋λ)x＋（3－λ）y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8。则所求直线l的方程为2x－y＝0.类型二两点间的距离公式及其应用例3如图,已知△ABC的三顶点A(－3，1)，B（3，－3），C(1，7）,(1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用解(1）方法一∵|AB｜＝eq\r（3＋32＋－3－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，｜AC｜＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，又｜BC|＝eq\r(1－32＋7＋32）＝eq\r（104）＝2eq\r（26)，∴|AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC|2,且｜AB|＝|AC｜，∴△ABC是等腰直角三角形。方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3，2)，kAB＝eq\f（－3－1，3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB。又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12）＝eq\r（52）＝2eq\r(13），|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，∴｜AC｜＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝eq\f（1，2）|AC|·｜AB｜＝eq\f(1,2）(eq\r（52））2＝26，∴△ABC的面积为26。反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.（2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.跟踪训练3已知点A(－1,2），B（2，eq\r(7）)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB｜，并求|PA|的值.考点两点间的距离公式题点已知两点间的距离求参数的值解设P（x,0）,｜PA|＝eq\r（x＋12＋－22)，|PB|＝eq\r(x－22＋－\r(7）2），∵｜PA|＝｜PB｜,∴eq\r（x＋12＋4)＝eq\r(x－22＋7），解得x＝1，∴P（1，0),∴｜PA｜＝eq\r（1＋12＋4）＝2eq\r（2).1。已知直线l1:3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1,\f（1，3))） B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f(1，3))） D.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,3x＋5y－6＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，3)，，y＝1.)）故交点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3），1））.2．以点A(－3,0），B(3，－2），C(－1,2)为顶点的三角形是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．以上都不是考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案C解析｜AB|＝eq\r（－3－32＋22）＝eq\r（36＋4）＝eq\r（40）＝2eq\r（10），|BC|＝eq\r(－1－32＋2＋22)＝eq\r(16＋16)＝eq\r(32)＝4eq\r(2），｜AC｜＝eq\r(－1＋32＋22）＝eq\r（8)＝2eq\r(2）,∵｜AC|2＋｜BC|2＝｜AB|2，∴△ABC为直角三角形．故选C.3。已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1）,C(2，3)，则BC边上的中线长为________.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案eq\r（17）解析BC的中点坐标为(0,1），则BC的中线长为eq\r(－1－02＋5－12)＝eq\r（17）。4.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.考点过两条直线交点的直线方程题点直接求过两直线交点的直线方程答案2x＋y－4＝0解析设所求直线方程为3x－y＋4＋λ（x＋y－4)＝0,即（3＋λ)x＋（λ－1)y＋4－4λ＝0,∴k＝eq\f（3＋λ,1－λ）＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.5。点A在第四象限，若点A到x轴的距离为3,到原点的距离为5，求点A的坐标.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用解由题意得点A的纵坐标为－3，设A(x,－3）,则eq\r(x－02＋－3－02)＝5，解得x＝±4。又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3)。1。方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0,直线A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R）是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)。2.两点P1（x1，y1)，P2（x2,y2）间的距离公式|P1P2｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22)与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(）A.(2，2) B。（1，1)C.(1，2） D.(2，1)考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2，））得交点坐标为(1，2)，故选C。2.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为()A。－eq\f(1，2）B。eq\f（1，2）C.2D.－2考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案A解析由方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋8＝0，，x－y－1＝0，))得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为（－1，－2)，代入直线x＋ky＝0，得k＝－eq\f（1，2)。3。已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是（1，0）,那么点M到原点的距离为()A。41B.eq\r(41)C.eq\r（39)D.39考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案B解析设M（x，y），由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋x，2)，,0＝\f(5＋y，2)，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－5，）)∴M（4，－5)。则点M到原点的距离为eq\r（4－02＋－5－02)＝eq\r（41）。4。过点A（4，a)和点B(5，b）的直线与y＝x＋m平行，则|AB｜的值为(）A.6B.2C。eq\r(2）D.不能确定考点两点间的距离公式题点求两点的距离答案C解析由kAB＝1，得eq\f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB｜＝eq\r(5－42＋b－a2）＝eq\r（1＋1）＝eq\r(2).5.过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(）A。x－3y＋7＝0 B。x－3y＋13＝0C.x－3y＋6＝0 D。x－3y＋5＝0考点过两条直线交点的直线方程题点求过两直线交点的直线方程答案B解析直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为（－1，4）.又所求直线与3x＋y－1＝0垂直，得所求直线的斜率为eq\f(1，3)，由点斜式，得y－4＝eq\f（1，3)（x＋1），即x－3y＋13＝0，故选B.6。已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为（）A.24B。－20C.0D。20考点直线的一般式方程与直线的垂直关系题点根据垂直求参数的值答案D解析由两直线互相垂直，得－eq\f(m，4）×eq\f（2,5)＝－1，解得m＝10，又垂足坐标为（1,p），代入直线10x＋4y－2＝0,得p＝－2。将（1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12,所以m－n＋p＝20，故选D。7。到A(1,3),B（－5,1）的距离相等的动点P满足的方程是()A。3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0C。3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案B解析设P(x，y)，则eq\r（x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12），即3x＋y＋4＝0。8.直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3）的距离等于eq\r（2)的点的坐标是（)A。（－4,5） B。（－3，4)C.(－3，4)或（－1，2) D.（－4，5)或(0，1）考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案C解析设所求点的坐标为(x0,y0），有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32）＝eq\r(2)，两式联立解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝－3，，y0＝4）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－1，,y0＝2.）)故选C.二、填空题9。设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2,－1）,则|AB|＝________。考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案2eq\r(5)解析设A（a，0）,B（0，b)，由中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝2,,\f(b＋0,2）＝－1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，))∴|AB|＝eq\r(4－02＋0＋22)＝2eq\r（5）.10。若集合{(x，y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0｝｛（x，y）｜y＝3x＋b｝,则b＝________。考点两条直线的交点题点已知相交关系,求参数的值答案2解析解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,，x－2y＋4＝0,）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝2，)）代入直线y＝3x＋b，得b＝2.11。等腰△ABC的顶点是A(3,0），底边长｜BC｜＝4，BC边的中点是D（5,4），则此三角形的腰长为________.考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案2eq\r（6)解析｜BD｜＝eq\f（1,2）｜BC|＝2，|AD|＝eq\r（5－32＋4－02)＝2eq\r（5）。在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长｜AB｜＝eq\r(22＋2\r(5)2)＝2eq\r(6).12.若直线l：y＝kx－eq\r（3）与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________。考点两条直线的交点题点两直线交点的综合应用答案(30°,90°）解析直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3,0)，B（0,2），而l过定点C(0，－eq\r（3)），由图象可知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k>kAC，,k>0,）)∴l倾斜角α的取值范围是（30°,90°).三、解答题标.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用（2）求过两直线l1:x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.考点过两条直线交点的直线方程题点直线求过两直线交点的直线方程解(1）设P（t，t），则|PA|2＋|PB｜2＝(t－1）2＋(t＋1）2＋（t－2）2＋(t－2)2＝4t2－8t＋10＝4(t－1)2＋6,∴当t＝1时,|PA|2＋|PB｜2取得最小值，此时P(1，1)，∴|PA|2＋|PB｜2取得最小值时点P的坐标为（1，1）.（2）由方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,,2x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1,））即点P的坐标为（－2,1).根据题意知,当截距为0时，所求直线的方程为y＝－eq\f(1,2)x，即x＋2y＝0。当截距不为0时，设所求直线l的方程为eq\f（x，a）＋eq\f(y,b）＝1，根据题意可得eq\b\lc\{\rc\（\a\v