2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二年级下册学期期末适应性质量检测数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期期末适应性质量检测数学（理）试题一、单选题1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即；故选：D.2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意得到，再求其虚部即可.【详解】由题知：，，所以的虚部为.故选：A3．设，向量，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可．【详解】，∥，∴.故选：A.4．已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；对于，恒成立，所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，所以为假命题，为假命题，为真命题；故选：D5．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（

）A．-32 B．-1 C．1 D．32【答案】B【分析】根据二项式系数的和是，可解得，令代入结果即为展开式中各项系数的和．【详解】∵二项式系数的和是32，则，∴令，则展开式中各项系数的和为故选：B．6．已知随机变量，且，则=（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求.【详解】由题设，，则，所以.故选：D7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.设平面的法向量为，则，即令，得.又，点到平面的距离，故选：.【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.8．甲､乙､丙､丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙、丁获奖，验证是否符合题意,即可判断出答案.【详解】若甲获奖，则四人中有且只有甲说了假话，符合题意；若乙获奖，则四人中丙丁说了假话，不符合题意；若丙获奖，则四人中乙丙说了假话，不符合题意；若丁获奖，则四人中甲乙丙说了假话，不符合题意；故选:A9．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】求f(x)的导数，原问题等价于在上恒成立，据此即可求出a的范围.【详解】∵，∴，∵x∈时，，∴若在内单调递减，则在上恒成立，即得在恒成立，∴.故选：C.10．某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．64种【答案】A【分析】先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论得解.【详解】每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有.则不同的保送方案共有.故选:A.11．已知，，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】解：由，得，令，在上单调递增，又，则．即当，时，．显然，，但由不能得到．故选：B．12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】由f（x）的导函数形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】∵函数的定义域是（0，+∞），∴．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex-kxg′（x）=ex-k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞lnk时，g′（x）＞0，g（x）单调递增.∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk∴k-klnk≥0∴0＜k≤e综上所述，k≤e．故选A．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．二、填空题13．复数（其中为虚数单位），则__________.【答案】【分析】根据复数的模长概念求解即可.【详解】.故答案为：14．若，则__________.【答案】【分析】首先根据题意得到，再根据通项求解即可.【详解】，因为，令，解得.所以，即.故答案为：15．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为__________.【答案】【分析】根据求解即可.【详解】.故答案为：16．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】首先构造函数，根据题意得到在R上为增函数，再将转化为求解即可.【详解】设，，因为，所以，即在R上为增函数..因为在R上为增函数，所以，解得.故答案为：三、解答题17．如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.(1)设试用表示向量；(2)求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）将，代入中化简即可得出答案.（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.【详解】（1）∵M是PC的中点，∴.∵，∴，结合，，，得.（2）∵，∴，∵，∴，，∴.∴，即BM的长等于.18．已知曲线．(1)若，过点作的切线，求切线的方程；(2)当有3个零点时，求a的取值范围．【答案】(1)和(2)【分析】（1）设出切点，求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，代入，求出切点横坐标，进而求出切线方程；（2）利用导函数研究函数的单调性，极值情况，得到不等式组，求出a的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以，设所求切线的切点坐标为，切线斜率为，则所求切线方程为．因为切线过点，所以，即，解得：或．所以或．即所求的切线有两条，方程分别是和．即和．（2），令，解得，．令，得或，在上为增函数，令，得，在上为减函数，所以的极大值为，极小值为．因为有3个零点，所以，解得：．所以a的取值范围是19．如图，在等腰梯形ADEF中，，，，．在矩形ABCD中，．平面平面ABCD．(1)证明：；(2)求直线AF与平面CEF所成角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）过点F作AD的垂线，则平面ABCD，结合条件可得，即得；（2）利用坐标法，由题可得平面CEF的一个法向量，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）如图，过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC．∵四边形ADEF为等腰梯形，，，，∴，．∵平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF，，∴平面ABCD，而MB,MC在平面ABCD中∴，．∵四边形ABCD为矩形，，，∴，，，．∵，∴．（2）以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点A垂直于平面ABCD且向上的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．∴，，．设平面CEF的一个法向量为．由，得．令，得．设直线AF与平面CEF所成的角为．则．又，∴．∴直线AF与平面CEF所成角的大小为．20．某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得分，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确的可能取值，求出相应的概率值，得到的分布列，进而得到数学期望.【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件，则,.所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为.（2）的可能取值为：，则，，，的分布列为X0102030P则的数学期望为.21．已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）构造函数，即恒成立，根据导数求得最小值即可；（2）利用放缩法进行放缩，然后证明，即可证明构造函数，根据函数的单调性求得函数在区间上的最小值，根据最小值大于证得结果.【详解】（1）由，即在恒成立，设，，恒成立，故在上单调递增，又，故在单调递减，在单调递增，故，即；（2）要证明当时，，即证时，，当时，恒成立，，故有，若证得，即可证得，下面证明，不等式两侧同时除以可将不等式转化为，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，，故当时，.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；（2）根据题意得直线的标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.【详解】（1）由曲线C的参数方程得．∴曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程化简为．由极坐标与直角坐标的互化关系，，得直线l的直角坐标方程为．（2）设直线l的参数方程为（m为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理