2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区东林中学九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page3434页，共=sectionpages3434页2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区东林中学九年级（上）期中数学试卷1.若关于x的方程(a+2)x2A.a≠0 B.a≠−2

C.a2.用配方法解方程x2−2xA.(x+1)2=6 B.3.已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x−5=A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外4.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)A.1，−2 B.−1，0 C.1，0 5.下列说法正确的是(

)A.经过三点可以作一个圆

B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等

C.等弧所对的圆心角相等

D.相等的圆心角所对的弧相等6.如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，A.1个

B.2个

C.3个

D.4个7.如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长)，另外三边所围的栅栏的总长度是5m.EFA.x(5−2x)=4 8.如图，▱ABCD的三个顶点A、B、D均在⊙O上，且对角线AC经过点O，BC与⊙O相

切于点B，已知⊙O的半径为A.543

B.76.8

C.36

D.9.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDCA.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知平面直角坐标系xOy中，点P为直线y=kx+3上的动点，点A(4,0)A.10 B.8 C.6 D.411.若方程x2−ax+3=012.若m、n是方程x2−3x−1=13.如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠B

14.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B.若该圆半径是9cm，15.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠16.已知关于x的方程a(x+m)2+p=0(a、m、p为常数，17.如图，在四边形材料ABCD中，AD//BC，∠A=90

18.如图，AB为半⊙O的直径，C为圆上一点，D为AC的中点，连接BD，分别与OC、AC交于点M、N.且CN=C19.解方程：

(1)(x−1)2=36；

20.已知关于x的方程x2−4mx+4m2−4=0．

(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；21.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号)：

(1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______；

(2)连接AD、CD，⊙D的半径为______，∠ADC22.关于x的方程ax2+2cx+b=0，如果a、b、c满足a2+b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”.请解决下列问题：

(1)请写出一个“顾神方程”：______；

(2)求证：关于x的“顾神方程”ax23.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．

(1)求证：△ABG∽△AFC；

(2)已知AB=a，AC=AF=b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示)；

(324.如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．

(1)在BC边上求作点P，使∠MPN=60°；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．)

(225.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BC、BD、OD，其中，BD平分∠CDO，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E．

(1)26.某商场销售某种空调，每台进货价为2500元，标价为每台3000元．

(1)为快速周转资金，该商场准备连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后将以每台2430元亏本售出，求每次降价的百分率；

(2)市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润每天达到27.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．

(1)在运动过程中，PQ的长度能否为5cm？若能，求出28.如图1，Rt△MCD中，∠MCD=90°，MD=5，CD=4.O为边MD上一点，以O为圆心，MO为半径的⊙O与边CD相切于点F，交MC、MD于点E、N.点A、B分别在线段MN、MC上(不与端点重合)，且满足ANBM=54．

(1)①求MO的长；

②设BM=x，AD=y，求答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵关于x的方程(a+2)x2−2x−1=0是一元二次方程，

∴a+2.【答案】B

【解析】解：x2−2x−5=0，

x2−2x=5，

x2−2x+1=3.【答案】C

【解析】解：x2−4x−5=0的根为x1=5，x2=−1<0(舍去)，

于是点P到圆心O的距离d=5，而半径4.【答案】A

【解析】解：当x=1时，a+b+c=0，

当x=−2时，4a−2b+c=0，

所以方程的根分别为1或5.【答案】C

【解析】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；

B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；

C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；

D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．

故选：C．

根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．

本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．

6.【答案】D

【解析】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，

∵∠ACB+∠D=180°，

∴∠D=180°−140°=40°，

∵AD为直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠BAD=90°−∠D=50°；

在A7.【答案】B

【解析】解：设AB=x m，则BC=(5+1−2x)m，

根据题意可得，x8.【答案】A

【解析】解：连接OB，延长BO交AD于E，如图，

∵BC与⊙O相切于点B，

∴OB⊥BC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，

∴BE⊥AD，

∴AE=DE=12AD=12BC，

∵AE//BC，

∴△AOE∽△COB，

∴9.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵AB=AB，BC=BC，

∴∠ADB=∠ACB=60°，∠BDC=∠BAC=60°，

∴∠ADB=∠BDC，故①正确；

∵点D是弧AC上一动点，

∴AD与CD不一定相等，

∴DA与DC不一定相等，故②错误；

当DB最长时，DB为⊙O直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠BCD=60°，

∴∠DBC=30°，

∴DB=2DC，故③正确；

10.【答案】D

【解析】解：点A(4,0)，

∴OA=4，

∵点P为直线y=kx+3上的动点，

∴设P(x,kx+3)，

过点P作PQ//x轴，交y轴于Q，则O点关于直线PQ的对称点O′，连接O′A，与直线y=kx+3的交点即为点P，此时OP+AP=O′A，t最小，

∵OQ=O′Q，PQ//x轴，

∴PA=PO′，

∴PQ=12O11.【答案】4

【解析】解：把x=1代入原方程得，1−a+3=0，解得a=4．

故答案为4．

把x12.【答案】3

【解析】解：根据根与系数的关系得m+n=3．

故答案为：3．

直接利用根与系数的关系求解．

本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a、13.【答案】32°【解析】解：连接BD，

∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠BAD=58°，

∴14.【答案】11π【解析】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOB=140°，

∴优弧AMB对应的圆心角为36015.【答案】54

【解析】【分析】

本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．

【解答】

解：连接AD，

∵AF是⊙O16.【答案】x1=−【解析】解：把方程a(x+m+3)2+p=0看作关于x+3的一元二次方程，

∵关于x的方程a(x+m)2+p=0(a、m、p为常数，a≠0)的解是x1=1，x2=−3，

∴方程a(x+m+3)2+p=0的解满足x+317.【答案】8c【解析】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．

∵AD//CB，∠BAD=90°，

∴∠ABC=90°，

∵∠DHB=90°，

∴四边形ABHD是矩形，

∴AB=DH=20cm，AD=BH=9cm，

∵BC18.【答案】22.5

2−【解析】解：如图，连接AD，AM．

∵AD=CD，

∴∠DBC=∠DBA，

∵CN=CM，

∴∠CNM=∠CMN，

∵∠CNB=∠CAB+∠DBA，∠CMN=∠DBC+∠BCM，

∴∠CAB+∠DBA=∠DBC+∠BCM，

∴∠BCM=∠BAN，

∵OA19.【答案】解：(1)∵(x−1)2=36，

∴x−1=±6，

∴x−1=6或x−1=−6，

解得x1=7，x2=−5；

(2)∵(x−5)2=2x−10，

∴(x−5【解析】(1)根据直接开平方法可以解答此方程；

(2)先变形，然后根据提公因式法可以解答此方程；

(3)根据因式分解法可以解答此方程；20.【答案】(1)证明：关于x的方程x2−4mx+4m2−4=0，

∵a=1，b=−4m，c=4m2−4．

∴Δ=(−4m)2−4×1×(4m2−4)=16>0．

∴此方程有两个不相等的实数根；

(2)解：若此方程的两个根分别为【解析】(1)求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．

(2)利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x21.【答案】(1)(2,0)；

(2)25；90°；

(3)弧AC的长【解析】解：(1)如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，

∴D点的坐标为(2,0)，

故答案为：(2,0)；

(2)如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，

则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=25，

即⊙D的半径为25，

且CE=2，DE=4，

∴AO=DE，OD=CE，

在△AOD和△DEC中，

AO=DE∠AOD=∠CEDOD=CE，

∴△AO22.【答案】6x2+【解析】(1)解：写出一个“顾神方程”：6x2+102x+8=0

(答案不唯一)，

故答案为：6x2+102x+8=0 (答案不唯一)；

(2)证明：∵关于x的方程ax2+2cx+b=0是“顾神方程”，

∴a2+b2=c2且c≠0，

①当a≠0时，

Δ=(2c)2−4ab，

=2c2−4ab=2(a2+b2)−4ab，

=2(a2+b2−2ab)，

=2(a−b)2≥0，

∴方程有两个实数根，

②当23.【答案】(1)证明：∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG=∠FAC，

又∵∠G=∠C，

∴△ABG∽△AFC；

(2)解：由(1)知，△ABG∽△AFC，

∴ABAF【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．

(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG=∠FAC，由圆周角定理知∠G=∠C，即可证△ABG∽△AF24.【答案】解：(1)①以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，

②作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，

如图，点P1、P2即为所求；

(2)如图，∵∠MP1N=60°，

∴∠MP1B+∠CP1N=120°，

在等边△ABC中，∠B=∠C=60°【解析】(1)以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，即可完成作图；

(2)证△MBP∽△PCN，可得MB25.【答案】(1)证明：∵BD平分∠CDO，

∴∠BDC=∠BDO，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠OBD，

∴∠BDC=∠OBD，

∴AB//CE，

∵BE⊥CD，

∴∠E=90°，

∵∠E+∠BAE=180°，

∴∠BAE=90°

∴OA⊥AE，OA是⊙O的半径，

∴AE是⊙O的切线；

(2)解：∵CD=【解析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的判定和性质证明即可；

(2)求出∠BOD=135°，作O26.【答案】解：(1)设每次降价的百分率为x，

依题意得：3000(1−x)2=2430，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)，

答：每次降价的百分率为10%；

(2)设每台空调应降价y元，

根据题意得：(【解析】(1)设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

(2)设每台空调的定价应为y元，则每台空调的销售利润为(y−2500)元，平均每天能售出(10+27.【答案】解：(1)不能；理由如下：

由题意得：AP=t cm，BC=2t cm，

∴PB=(6−t)cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

在Rt△BPQ中，BP2+BQ2=PQ2，

∴(6−t)2+(2t)2=52，

整理得：5t2−12t+11=0，

∵Δ=b2−4ac=(−12)2−4×5×11=−76<0，

∴方程