2021-2022学年上海市松江区高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市松江区高二下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端，从而可得答案．【详解】解：用数学归纳法证明等式时，当左边所得的项是；假设时，命题成立，左端为；则当时，左端为，当时，等式左边应在的基础上加上．故选：C.2．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.【详解】如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点，)=,.因为所以=3(),∴

.则，∴

，，，故选：A.3．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号，若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D4．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】A【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②【详解】曲线,当当当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确故选：A二、填空题5．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.【答案】####45°【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故答案为：.6．已知向量，且，则_________.【答案】1【分析】根据空间向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.【详解】由题意得：，故.故答案为：17．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.【答案】10【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.【详解】根据抛物线的定义可得，所以.故答案为：10.8．计算：________.【答案】【分析】利用等差数列求和公式计算即可.【详解】.故答案为：.9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________.【答案】或【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，由于的斜率为，即，所以，由于直线与直线的夹角为，所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为.所以，解得，或，解得.所以实数的值为或.故答案为：或10．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________.【答案】-1【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值.【详解】因为直线⊥平面，则与平行，故，即，解得：，故实数的值为-1.故答案为：-111．已知数列前项和满足，则________.【答案】【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.【详解】因为，所以，当时，，当时，，因为，故，故答案为：12．在无穷等比数列中，，公比，记.则________.【答案】【分析】先求得，然后求得.【详解】，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：13．等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.【答案】5或6【分析】先求得，然后利用求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，，解得，所以，由，解得，又，所以取得最大值时的值为5或6.故答案为：5或614．已知圆与圆相交于，两点，且满足，则_________.【答案】【分析】求得两个圆的圆心和半径，根据两圆相交弦的性质列方程来求得的值.【详解】圆的圆心为，半径.圆，即，所以圆心为，半径.由于，所以，是坐标原点.即两圆公共弦的垂直平分线过，根据两圆相交弦的性质可知，公共弦的垂直平分线，所以，所以，解得.故答案为：15．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为________.【答案】6【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】双曲线，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，所以，根据圆的几何性质可知，的最小值是，所以的最小值是.故答案为：16．已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、，其交点与点满足，则________.【答案】8【分析】先得到为椭圆，为双曲线，结合图象的几何性质得到，结合椭圆定义，双曲线定义及列出方程，求出.【详解】，，为椭圆，，，，为双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，故设，则根据椭圆，双曲线定义及可得：，解得：，所以存在这样的、，且或或.故答案为：8三、解答题17．已知平面内两点.(1)求的中垂线方程；(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根据中点和斜率求得的中垂线方程.（2）设出平行直线的方程，结合点到直线的距离求得正确答案.【详解】（1），所以的中垂线的斜率为，线段的中点为，所以的中垂线的方程为，即.（2）设所求直线方程为，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以所求直线方程为或.18．已知正方体的棱长为2，点分别是棱和的中点.(1)求与所成角的大小；(2)求与平面所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线线角的知识求得正确答案.（2）作出与平面所成角，解三角形求得角的大小.【详解】（1）由于点分别是棱和的中点，所以，所以与所成角，即与所成角，由于三角形是等边三角形，所以与所成角为，所以与所成角为.（2）设平面平面，由于，所以，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以，所以即是与平面所成角，.19．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的仍为沙漠，只有为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年绿洲面积为，经过年绿洲面积为.(1)写出，并证明：数列是等比数列；(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过?【答案】(1)，证明见解析；(2)2022年【分析】（1）根据题意求出，并列出，构造法求出，从而得到为公比为，首项为的等比数列；（2）在第一问的基础上得到，列出不等式，求出，结合，且，，从而，得到答案.【详解】（1），，设，则，从而，解得：，故，故为公比为，首项为的等比数列；（2）由（1）得：故，令，解得：，显然单调递减，当时，，，故，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过.20．已知椭圆的离心率为、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的面积；(3)设为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，判断是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是，【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）利用余弦定理求得，从而求得的面积.（3）根据切线是否与坐标轴平行进行分类讨论，结合判别式求得.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）根据椭圆的定义可知，①，由余弦定理得，即②，由①②得，所以.（3）圆的方程为，椭圆的方程为注意到是圆上的点，过上述四个点中的任意一个作椭圆的切线，则两条切线垂直，即.当是圆上除去上述四个点外的任意一点时，切线和切线的斜率存在且不为零，设切线方程为，由消去并化简得，令，整理得，所以，由于，所以，即.综上所述，是定值，且定值为.21．已知等比数列的公比为是的前项和.(1)若，求；(2)若有无最值?说明理由；(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个?【答案】(1)或；(2)当时，有最小值为1，但无最大值；当时，有最大值为1，最小值为；理由见解析(3)232【分析】（1）先求得公比，然后求得.（2）对进行分类讨论，从而求得正确结论.（3）求得和的关系式，对分类讨论，确定的可能取值，即可求得正确答案.【详解】（1）依题意，当时，.当时