数学解题思想方法课件

数学解题学研究

广西师范大学数学科学学院龙开奋1页数学解题学研究广西师范大

§1数学问题什么是数学中的问题？波利亚在《数学的发现》中将问题理解为：有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题指的是寻找这种活动。

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§1数学问题什么是数学中的问题？2页§1.1数学问题波利亚在《怎样解题》中说：我们考虑的所有形式的问题都可以认为由三类信息组成：关于已知条件的信息（已知表达式）；关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式；以及关于目标的信息（目标表达式）。

3页§1.1数学问题波利亚在《怎样解题》§1.1数学问题问题是指那些对于解答者来说还没有具备直接的解决办法，对于解答者构成认知上的挑战这样一种局面。

4页§1.1数学问题问题是指那些对于解答者来说还没有§1.1数学问题“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情景”。这是1988年第一届国际数学教育大会的一份报告中提出的。

5页§1.1数学问题“一个（数学）问题是一个对人具有§1.1数学问题

无论怎么提法，都具有同样的本质：问题反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个特点：1、可接受性：给出的问题学生具有解决它的知识基础和能力基础，即课本习题。2、障碍性：学生不能直接将问题解答，必须通过思考或多次尝试，才能解决的问题。3、探究性：学生不能按照常规的套路来解决，必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问题的新途径。

6页§1.1数学问题无论怎么提法，都具有§1.1数学问题

数学问题可按照多种不同的标准进行分类。本讲所说的分类仅是面对教学方面而言.如按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明题、变换题或求作题、填空题等四类）；

按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观性问题如证明题、计算题等）；

按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展程度可分为封闭型题与开放型题）。

7页§1.1数学问题数学问题可按照多种不同的标准进行§1.1数学问题

在数学解题教学中，封闭型题与开放型题具有解题训练的互补作用，两者均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知识，主要引起“同化”作用；而开放型题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要引起“顺应”作用，促进解题能力的提高。

8页§1.1数学问题在数学解题教学中，封闭型题与开放§1.1数学问题

数学教学中的问题一般分为练习型与研究型两类。练习型的问题具有教学性，它的结论为数学接或教师所已知，其之所以成为问题仅相对于教学或学生而言。研究型问题具有学术性，它的结构对于数学家或教师都是未知的，其中既有数学自身理论发展的认知题，又有应用数学理论解决实际问题的应用题。9页§1.1数学问题数学教学中的问题一般§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义

问题解决都是以思考为内涵，以问题目标定向的心理活动或心理过程，即指人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种活动，这是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程，具有某种程度的创造性。

10页§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义数学领域中的问题解决，有三个层次：一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求明确解题的大体方向；功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它力求明确解题所用的基本思想方法；特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的具体方法、技巧和程序。（一般性和功能性是特殊性解决的基础）11页§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义

所谓的方法，就是找到一个解决问题的途径，且能够预见甚至能够证明，照这个途径做下去就一定可以取得成功。

12页§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义

问题的一个解法应包括如下四个部分：①对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以推导出目标；②说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、定理等理论依据；③从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都能在对前面的状态应用适当运算以后得到；④完整说明目标，既对问题结论的完整描述。

13页§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义§1.3.1数学解题的意义

从数学学科的教育与学习来看，也就是说从掌握数学来看，著名的美国数学家和教育家G.波利亚指出：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发现创造的题。”14页§1.3.1数学解题的意义从数学学科的教育与学§1.3.1数学解题的意义

波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来，要重要得多，那么在数学学科中，能力指的是什么？波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人们具有某种程度的独到见解、判断力、能动性和创造精神。”15页§1.3.1数学解题的意义波利亚认为，任何学问§1.3.1数学解题的意义

波利亚把“解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径，这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同，1976年国际数学管理委员会把解题能力列为十项基本技能的首位。16页§1.3.1数学解题的意义波利亚把“解题”作为§1.3.1数学解题的意义

通过解题可以使学习者独立地、积极地进行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及对解题进行讨论，等等），17页§1.3.1数学解题的意义通过解题可以使学习者§1.3.1数学解题的意义

从而有效地培养运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，以形成运用数学知识来分析和解决社会生活、经济建设和科学技术中的实际问题的能力，以便适应现代化生产的多样性和变化性，从事创造性劳动。18页§1.3.1数学解题的意义从而有效地培养运算能§1.3.2数学解题研究观

数学解题研究的中心内容是什么1.从科学研究的方法论来看2.从数学解题实践来看19页§1.3.2数学解题研究观数学解题研究的中心内容是什么19§1.3.2数学解题研究观

解题的主要目的之一，也就在于掌握一定的方法以形成有利于今后解决实际问题的迁移能力。因此，对于解题方法在解题中所处的地位的中心性我们不能仅仅是知道或认识，在数学解题研究中，一定要真正体现这个中心系统，围绕这个中心而开展工作，研究其系统建构，还要研究这个中心系统的轴心系统及其系统建构。20页§1.3.2数学解题研究观解题的主§1.4数学解题程序“怎样解题”表弄清问题拟定计划实现计划回顾讨论21页§1.4数学解题程序“怎样解题”表弄清问题拟定计划实第一步理解题意综观之，这是一道关于图形的最值问题.22页第一步理解题意综观之，这是一道关于图形的最值问题.2第二步拟定计划设想以前从未见过这个问题，但曾见过也解过与它密切相关的两类问题：第一：已知三角形中某些边角之间的数量关系，要求判断这个三角形的形状或解出它.第二：在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形三顶点或三边的距离的和或平方和的最值.于是原问题可分裂为两个较为简单的问题.23页第二步拟定计划设想以前从未见过这对第（1）小题，已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来.对第（2）小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出.至此，一个比较完整的解题计划可说是已经拟定了.第三步实现计划由，用正弦定理作代换，得24页对第（1）小题，已具备了再由如图1.1建立直角坐标系，使得25页再由如图1.1建立直角坐标系，使得25页设圆上的任一点为P（x,y）,则有yBoCAxPN图1.126页设圆上的任一点为P（x,y）,则有yBoCAxPN图1.因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当x=4时，有,当x=0时，有第四步回顾讨论对上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P点运动到BC边上的切点M，此时得所求平方和最大值为88;当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72.此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第（1）小题也可以一开始用余弦定理作代换，对第（2）小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种方法.（略）27页因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当x=4时，有本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验，例如：（i）如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽然仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的复杂程度会明显上升.这说明，对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁琐程度是有显著区别的.（ii）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生.（iii）使我们看到：注意数形结合，使计算大为简化，并且更能揭露问题的实质.28页本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也§1.5数学解题过程分析

1.5.1解题步骤过程的一般性与特殊性分析

一般性分析审题拟定计划实现计划回顾29页§1.5数学解题过程分析

1.5.1解题步骤过程的一般性与特§1.5数学解题过程分析

1.5.2解题思维过程的图解表示

波利亚十分重视解题活动中思维的作用，他在文（2）中，用一张图表，对数学解题思维过程做了精辟的分析和高度的概括。他用九个词排成一个正方形，一个在正方形中心，四个在正方形的顶点上，其余四个则写在四条边上。

分离预见组合重新配置辨认动员回忆充实组织30页§1.5数学解题过程分析

1.5.2解题思维过程的图解表§1.6数学解题思路的探求

1.6.1试悟式探索

试悟式探索解题思路是我们在解常规数学问题时或解所谓标准性训练性题时常采用的方式。探索程序框图表观察题目特征发掘题设内涵沟通靠拢条件纠错发掘题设内涵探索转化方向尝试靠拢熟悉类型解决原来问题31页§1.6数学解题思路的探求

1.6.1试悟式探索探（1）让我们来探索本题的解题思路（如图1－3）：（A）观察（题目的特征）①AD=1,四个覆盖圆的半径为1，因此数字1是特殊数值.②本题是个条件覆盖问题.③ABCD为平行四边形，锐角三角形，有为锐角.覆盖图形的条件是边长AB与有密切关系等图形特征.oAEBCDp图1－332页（1）让我们来探索本题的解题思路（如图1－3）：（A）观察（（B）发掘（题设的内涵）①为什么要限制为锐角三角形？②圆盖住了，即四边形内任一点P都使PA、PB、PC、PD四个距离中至少有一个不大于1.③由于对称性关系，在内的点如能被圆盖住，则在内的点必能被圆盖住。故只要对讨论问题即可.④从已知条件不等式（1）：看，常常可改写为，此处是否对解题有用？33页（B）发掘（题设的内涵）①⑤考虑射影定理，设的外接圆半径R，则有这与已知条件式（1）有什么关系？……（C）尝试转化（命题的形式）根据（B）中的②和③两点，可以把本题的结论转化为：设P为锐角内任一点，则PA、PB、PD三者之中至少有一个不大于1的充要条件是不等式（1）成立.（D）试探并纠错（靠拢的方向）把问题转化为（C）以后，怎样靠拢我们已熟悉的类型呢？如果一时还理不出头绪，可先进行特殊试探.取内的一些特殊点为P（如内心、外心、重心等等）来试探，当取内心、重心为P时34页⑤考虑射影定理，设不能达到目的，因此最特殊的莫过于取外心O为P，这时应有，我们知道，内任一点P和三角形各顶点的距离不都大于R.R在这里肯定将起着举足轻重的作用.

（E）沟通（靠拢的条件）引入的外接圆半径R.（F）再尝试转化（命题的形式）引入R后本题可进一步再转化为：在锐角中，.证明不等式（1）成立.35页不能达到目的，因此最特殊的莫过于取外心O为P，这时应有（G）靠拢（熟悉的类型）在内，必可建立之间的关系式.在已建立的关系中，令，即得包含的不等式，所得不等式与（1）的关系如何？如果我们已经熟知建立之间的关系及角不等式等知识，则可实际试一试了.由正弦定理：，由余弦定理：，于是.令，则得关于的二次不等式：（2）解出不等式（2）即得36页（G）靠拢（熟悉的类型）在（3）注意到，即得（4）（4）式即为不等式（1），必要性获证.欲证充分性，可反过来倒推.假设从（4）式能推出（3）式成立，则（2）式成立;若（2）式成立，则由余弦定理与正弦定理得.故问题是要证明（3）式成立，此式的右边即为（4）的右边，剩下的只要证明（3）式的左边成立，即证明即可.因为锐角，，欲证，只要证

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此为一简单的几何题，假定我们已熟悉其证法：oAEBCDp图1－3作于E，因为锐角三角形，（这时锐角三角形这个条件起作用了！）故E必落在AB内部，故，但，即得，从而成立.在上述解法思路的基础上，按试悟式探索程序还可有如下解法思路：先证能覆盖.38页此为一简单的几何题，假定我们已熟悉其证法：oAEBCDp图1其次在等腰中，腰长R小于或等于底边AD的长度.根据圆周角定理，由射影定理，对于能覆盖，也可以这样证：作的外接圆.因为这是锐角三角形，故圆心O在三角形内，易知C是圆外的点.又设外接圆的半径，则连接AO、BO、DO的线段和过O而垂直于三边的线段把分成六个直角三角形.39页其次在等腰中，根据圆于是，中的任一点M必在某一个直角三形中，它和相应顶点的距离，故能被所覆盖，利用对称性，能被所覆盖.反之，若R>1则不能覆盖住O点，又因为AC>R>1，也盖不住O点.可知能覆盖.40页于是，中的任一点M必在某尝试题1.n名选手参加单打淘汰赛，需要打多少场后才能产生冠军？2.马丁.加德勒是杂志《科学的美国人》的专栏作家。他设计了一种游戏：“两个人轮流从｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中取数，每次取一个数，谁所取的数中有三个数的和为15就算赢家。”

如果第一个人先取5，那么第二个人应当取什么数呢？41页尝试题1.n名选手参加单打淘汰赛，需要打多少场后才§1.6数学解题思路的探求

1.6.2顿悟式探索

顿悟式探索解题思路是我们解综合性强的或非常规问题时常用的方式。42页§1.6数学解题思路的探求

1.6.2顿悟式探索例：已知，求证：.试悟式探索求解思路：通过观察，考虑到消除已知等式与求证等式之间指数上的差异是解题的关键，可（i）从已知式出发，进行乘方，升幂变出求证等式;（ii）从求证式出发，进行分解，化简变出已知式.顿悟式探索求解思路：在收集了题目所有信息并进行反复的思考分析后，由等式启迪方程的策略思想来考虑，则形成一种全新的思路：首先，不再是一个静止的等式，而是方程有非零解.43页例：已知，求证：其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式：，，.最后，这三个等式联立，表明齐次线性方程组有非零解,从而其系数行列式44页其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样从上例可以看到试悟式与顿悟式是数学问题解决的两种探索方式，同一道题也可用不同的探求方式去寻找解题思路.因此，应根据题目特点而灵活地选择探求方式.若多项式整除,求整数.要求:1.指出问题的背景以及隐含的数学思想与方法;2.对问题剖析与发掘;3.对解后的评述与建议.注:以下的尝试题按此要求完成.尝试题：45页从上例可以看到试悟式与顿悟式是数学问题解决的在某树林中有n≥3个凤巢,彼此之间距离不等,每个巢中各有一只凤.如果清晨,一些凤离开自己的巢飞到别的巢中,并且清晨前每一对距离小于另一对的凤,清晨后,前一对的距离反而大于后一对（两队中可以有一只凤相同）.问n可以取哪些值？46页在某树林中有n≥3个凤巢,彼此之间距离不等,每个巢中各有一只§1.7数学解题成果的扩大

解题不在多而在深，肤浅地解决许多问题，在题海中浮游，就捕捞不到有价值的东西;反之，认真地研究一个问题，深入地钻研进去，就会进入另一番境界;总结出几条借鉴的规律，以后若遇到类似的或相近的题目，就不但会解，还可能多方面去解，甚至推而广之，这就是以一当十，以少胜多的奥妙.因此，每解完一道新的题目，一定要注意总结解题经验，扩大成果.这就要求我们应考虑下面几个问题：47页§1.7数学解题成果的扩大

解题1.回顾回顾在解题过程中（1）考虑是否利用了所有的已知条件.（2）寻找解题方法时遇到过什么困难？（3）产生困难原因何在？（4）怎样突破了难点？（5）突破难点的关键是什么？（6）考虑解答是否全面、合理？（7）进行检验：量纲检验，对称性检验.48页1.回顾回顾在解题过程中48页2.比较与过去作过的一些题目比较.（1）这道题属于我们熟悉的哪一种类型？（2）解这类问题的基本方法是什么？（3）解本题学到什么新的方法吗？（4）哪类问题与本题的解法有共同之点？3.联想把问题想得更远一点.（1）本题是否还有别的解法？（2）本题使用的解法能否简化？（3）本题的结论能否推广？变化？（4）本题的条件可否削弱？改变？49页2.比较与过去作过的一些题目比较.3.联想把问题想得例1：用多种方法证明是无理数.1.奇偶数判别，引出矛盾.2.将展为素因数之积.由于，的素因子成对出现而的素因子中2出现奇数次.矛盾.3.因，故b整除，但,故.由于1和4之间没有平方数，矛盾.综观以上证法，关键是令，这就有了“抓手”，可以单刀直入，得出矛盾，获得证明.〔评析〕无理数是十分抽象的思考对象.正面地说明是“无限的”，“不循环的”几乎没有可能.因此采用反证法是必然的.一旦作了相反的假设，即令（有理数，其中是整数）.那么就有多种方法处理，以引出矛盾.50页例1：用多种方法证明是无理数.1.例2:已知，①求证：.②

分析关于这道条件等式证明题，曾经众口一词认为，直接的代数证明是麻烦的，并且已经作为”三角法”的典范经常出没于各类书刊.为了支持这种观点，人们常作下面两种解法的对比.证明一(代数法)由已知式平方③移项再平方51页例2:已知可得证明二(三角法)：由有意义可知即52页可得证明二(三角法)：由有意义可知即52页因而，式①左边两项的绝对值都不大于1，但右边为1，所以a，b都为不大于1的非负数，恰与锐角三角函数有相同的特征.令④则⑤原式可化为⑥即53页因而，式①左边两项的绝对值都不大于1，但右边为1，所以a但故有⑦得对于这两个解法，我们有如下三点看法：(1)由于代数法只从形式上”化整”，盲目地两次平方，因此进行了复杂的平方、配方运算。但这不是解这道题的必由之路，一旦弄清了题目结构的本质，作一次平方之后就配方，可以大大减少运算量。54页但证明三：对①式平方后，将③式作移项配方，有得平方，整理即得。若对①式先移项，再平方，过程还可以简化。证明四：对已知①式移项后平方55页证明三：对①式平方后，将③式作移项配方，有得平方，整移项配方得平方即得。（2）三角法能从的形式，联想到三角函数的内容，体现了把形式于内容结合起来的思考。可惜的是，这种思考浅尝辄止，白白浪费了许多重要而有用的信息。我们认为，三角法只看到坐标平面上的两个点在单位圆上，因而有参数式即三角变换④、⑤。但没有进一步揭示已知等式所体现的内容，即A满足“单位圆上过点B的切线方程”：56页移项配方得由切点的唯一性知A，B重合，于是得出比求证更强的结论我们的这段话，不仅揭示了题目的数学内容，同时也已完成了题目的证明.证明五：已知条件表明，单位圆上的点

满足A在过B的切线上，由切点的唯一性，有⑧57页由切点的唯一性知A，B重合，于是得出比求证更强的结论平方得（3）这里的“切点重合”时怎么想出来的呢？其实是从三角法所浪费了的信息又重新捕捉回来的。三角法中的式⑥即这比式①更强烈而直观地告诉我们，A在过B的切线上，而式⑦更是清楚而明白地说明A与B重合.于是，我们抓住“切点重合”的思路分三步组织成证明五，并且沿着“两点重合”的知识链，继续导出一系列解法：58页平方得（3）这里的“切点重合”时怎么想出来的呢？其A，B重合|AB|=0距离公式中平方和为零——配方基本不等式（源于配方）柯西不等式……证明六:设,则故A，B重合，可得⑧。59页A，B重合证明六:设证明七（配方法）:对已知式移项配方由非负性质可得.没有“距离为零”或“切点重合”的启发，这里的配方时一定难度的，甚至可以说是古怪特殊的，但它只不过是证明六的逆向书写而已.60页证明七（配方法）:对已知式移项配方由非负性证明八:由基本不等式，有等号成立当且仅当⑧时成立.平方即得.证明九:由柯西不等式，有等号成立当且仅当61页证明八:由基本不等式，有等号成立当且仅当⑧时成立.平方即则证明十:设，即得.移项平方即得.证明十一:引进二次函数62页则证明十:设令，得证明十二:如图7-3，作，使，高CD分AB，且高.则得DCBA图7-3同理AC=b.又由于，恰好等于所以是直角三角形，有63页令，得证明十二:尝试题1.沿一圆周放置若干堆小球，每堆小球的个数都是3的整数倍，但各堆球数未必相等.现在按下列规则调整各堆球数：把各堆小球三等分，本堆留一份,其余两份分别放到左右相邻的两堆中去.如果某堆小球个数不是3的整数倍时，可从备用布袋中取出一球或两球放入，使该堆球数是3的整数倍，然后按上法继续调整，证明：经过有限次调整之后，各堆小球个数就相等.64页尝试题1.沿一圆周放置若干堆小球，每堆小球§1.8数学解题能力的提高

1.8.1提高数学解题能力的基本条件

怎样才能提高我们的解题能力？这不是一个三言两语就能使人满意回答的问题。一般地说，提高解题能力必须具备四个条件：一、建立明确的基本概念；二、掌握熟悉的基本技能；三、学会正确的思维方法；四、养成良好的解题习惯。也就是我们通常所说的“狠抓双基，培养能力”的意思。65页§1.8数学解题能力的提高

1.8.1提高数学解题能力的基§1.8数学解题能力的提高

1.8.2解题能力的主要标志

解题能力的主要标志一般体现在分析能力、设想能力、归纳能力、摹仿能力、似真推理能力和逻辑推理能力等几个方面。

66页§1.8数学解题能力的提高

1.8.2解题能力的主要标志§1.8数学解题能力的提高

1.8.2解题能力的主要标志

逻辑推理乃是数学思维的基本形式之一，解数学题，只有在逻辑推理的协助下，才得以一步步向前推进，衡量数学解题中逻辑推理能力的指标有如下几个方面：（ⅰ）准确而流畅地运用数学语言的能力；（ⅱ）分析完毕整理出证明过程的能力；（ⅲ）鉴别证明正确与否的能力；（ⅳ）构造反例来纠正逻辑错误的能力。67页§1.8数学解题能力的提高

1.8.2解题能力的主要标志§1.8数学解题能力的提高

1.8.3沿着五个层次，逐步培养和提高解题能力

我们解题时，总是设法把一个题目引为我们熟悉的类型（归纳为已经解过的题）。原有的熟悉类型可以为我们解决新问题服务，解决了一个新问题就扩大了我们熟悉的类型的范围。68页§1.8数学解题能力的提高

1.8.3沿着五个层次，逐步培养1.直接套用直接套用是指把一个数学问题直接利用已熟悉的数学概念、定理、公式、性质或某种典型方法求解.这时我们就只要依葫芦画瓢，进行摹仿，直接套用现成的定理、公式、性质或已掌握的有关结论就可以了.例1：设都是正数，求证证法一：由平均值不等式，有①69页1.直接套用直接套用是指把一个数学问题直接利用将以上各式相加，即得要证的不等式.证法二：由柯西不等式有因此70页将以上各式相加，即得要证的不等式.证法二：由柯西不等式有因证法三：①式可转化为因为故即需证明而因为①71页证法三：①式可转化为因为于是有以上各式相加，即得（），故原不等式成立.①72页于是有以上各式相加，即得（），故原不等式成立.①〔评析〕本题也可以用非负实数矩阵中，列元之和的几何平均不小于行元的几何平均之和，或应用排序不等式与数学归纳法证明。此外，基本不等式的变式的灵活运用也是证明不等式中的一种重要技巧，例如，基本不等式，等号当且仅当时成立.它有如下几种变式：(2)(1)(3)73页〔评析〕本题也可以用上例证明可利用变式（1），即不等式（1）左边原不等式得证.2.设法凑用有时一个问题并不能立即把它转化为可以直接套用熟悉的概念，定理、公式、性质或某种典型方法求解，只能参照某些近似问题的解法，结合本题的特点，对题目中的式子或图形等进行凑合，使得凑合后达到某种预期的目的.设法凑用或可套用某个概念、定理、公式、性质、某种典型的方法，能用上题条件，出现结论的形式等等，这就比直接套用进了一步.74页上例证明可利用变式（1），即不等式（1）左边原不等式得证.2例2：已知为两两不相同的正整数，求证对任何正整数，有下列不等式成立：.证法一：由于为两两不相同的正整数，故有.故原不等式得证.于是75页例2：已知

证法二：依条件有，根据例1中变式（2）有故原不等式得证.〔评证〕证法二是利用基本不等式的变式，即.显然，证明过程较简捷.76页证法二：依条件有3.联想广用解答某些问题时，全方位审视已知信息，联系学过的知识和解决的方式，展开一列系的联想：对题设、题断所涉及的概念进行联想，对涉及的图形性质进行联想，对类似或有关的命题开展联想，对一个已知解决问题的推广结论、变形结论等进行联想，对某些典型解题方法进行联想等等.例3：解联立方程组求出所有的实根或复根.77页3.联想广用解答某些问题时，全方位审视已知信联想一：由（1）、（2）容易得到（用表示），由此联想到是某一元二次方程的两实根，于是考虑某一元二次方程，再利用它有实根的充要条件来求解.解1由（1）、（2）得到将（4）、（5）代入由（4）、（6）知是方程的两根.78页联想一：由（1）、（2）容易得到是实数当且仅当其判别式解得此时可见（1）、（2）只有实数解它也适合（3），故原方程组的唯一实数解为联想二：由（4）、（5）两式的左边与联想到不等式于是考虑此不等式来求解.解2由是实数得将（4）、（5）代入上式得（下略）79页是实数当且仅当其判别式解得联想三：由（4）、（5）的形式容易联想到直线和圆的方程，于是考虑利用直线和圆的位置关系来求解.解3（4）、（5）有实解的几何意义是直线（4）与直线（5）的距离有公共点，即圆心到直线（4）的距离不大于半径，故（下略）.联想四：（5）式左边是平方和，可变形为联想到用三角代换求解.80页联想三：由（4）、（5）的形式容易联想到直线和解4设代入（4）并化成由（下略）联想五：由于是复数和的模，而这两个复数之和的模为于是考虑用复数法求解.解5设由得81页解4设代入（4）并化成由（下略）将（4）、（5）式代入上式得（下略）.联想6：由联想到柯西不等式.解6由（1）、（2）及柯西不等式得由柯西不等式取等号的充要条件得再由（1）得它也适合（3），故为原方程组的唯一实数解.82页将（4）、（5）式代入上式得（下略）.联想6联想七：由于（1）、（2）可求得联想到是某三次方程的根.

解法7设是三次方程的根.由（1）知由（1）、（2）有由现假定于是其中又由（3）有83页联想七：由于（1）、（2）可求得联想到是某三次方程将上式展开并注意到可以得到联想八：由求满足某一等式的多个元素的非负数的方法，有得得也适合（3），故方程组有唯一实数解4.构造巧用凑合中的一种特殊手段是构造.构造并解出一个合适的辅助问题（命题，图形，数式等），从而用它求得一条通向一个表面上看来难于接近的问题的通道.84页将上式展开并注意到可以得到联想八：由求满足某例4正数满足条件求证：此题是一道代数不等式，将条件代式入，有且即当时，运用放缩法，取则左边当时，运用放缩法，取则左边由此即证.但如果运用构造的手段，可给出这道代数不等式的若干巧妙证法.85页例4正数简析一：由求证的不等式联想到函数式，构造以为变量字母的一次函数式：此函数式的图象是无端点的线段，且故即证得原不等式.简析二：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件式联想到构造以边长为的正三角形，如图1－9.PQALaRBMbCNc图1－9由即证.86页简析一：由求证的不等式联想到函数式，构造以

简析三：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为的正方形，如图1－10，由图即证.BaACbaBcAbccBb图1－10

简析四：由以上两种联想到面积，那么联想到体积行吗？不妨一试，构造以棱长为的正方体，则有显然由此即证.87页简析三：由求证的不等式联想到面积关系，由题

数学解题学研究

广西师范大学数学科学学院龙开奋88页数学解题学研究广西师范大

§1数学问题什么是数学中的问题？波利亚在《数学的发现》中将问题理解为：有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题指的是寻找这种活动。

89页

§1数学问题什么是数学中的问题？2页§1.1数学问题波利亚在《怎样解题》中说：我们考虑的所有形式的问题都可以认为由三类信息组成：关于已知条件的信息（已知表达式）；关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式；以及关于目标的信息（目标表达式）。

90页§1.1数学问题波利亚在《怎样解题》§1.1数学问题问题是指那些对于解答者来说还没有具备直接的解决办法，对于解答者构成认知上的挑战这样一种局面。

91页§1.1数学问题问题是指那些对于解答者来说还没有§1.1数学问题“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情景”。这是1988年第一届国际数学教育大会的一份报告中提出的。

92页§1.1数学问题“一个（数学）问题是一个对人具有§1.1数学问题

无论怎么提法，都具有同样的本质：问题反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个特点：1、可接受性：给出的问题学生具有解决它的知识基础和能力基础，即课本习题。2、障碍性：学生不能直接将问题解答，必须通过思考或多次尝试，才能解决的问题。3、探究性：学生不能按照常规的套路来解决，必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问题的新途径。

93页§1.1数学问题无论怎么提法，都具有§1.1数学问题

数学问题可按照多种不同的标准进行分类。本讲所说的分类仅是面对教学方面而言.如按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明题、变换题或求作题、填空题等四类）；

按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观性问题如证明题、计算题等）；

按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展程度可分为封闭型题与开放型题）。

94页§1.1数学问题数学问题可按照多种不同的标准进行§1.1数学问题

在数学解题教学中，封闭型题与开放型题具有解题训练的互补作用，两者均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知识，主要引起“同化”作用；而开放型题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要引起“顺应”作用，促进解题能力的提高。

95页§1.1数学问题在数学解题教学中，封闭型题与开放§1.1数学问题

数学教学中的问题一般分为练习型与研究型两类。练习型的问题具有教学性，它的结论为数学接或教师所已知，其之所以成为问题仅相对于教学或学生而言。研究型问题具有学术性，它的结构对于数学家或教师都是未知的，其中既有数学自身理论发展的认知题，又有应用数学理论解决实际问题的应用题。96页§1.1数学问题数学教学中的问题一般§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义

问题解决都是以思考为内涵，以问题目标定向的心理活动或心理过程，即指人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种活动，这是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程，具有某种程度的创造性。

97页§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义数学领域中的问题解决，有三个层次：一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求明确解题的大体方向；功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它力求明确解题所用的基本思想方法；特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的具体方法、技巧和程序。（一般性和功能性是特殊性解决的基础）98页§1.2数学问题的解决

1）数学问题解决的涵义§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义

所谓的方法，就是找到一个解决问题的途径，且能够预见甚至能够证明，照这个途径做下去就一定可以取得成功。

99页§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义

问题的一个解法应包括如下四个部分：①对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以推导出目标；②说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、定理等理论依据；③从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都能在对前面的状态应用适当运算以后得到；④完整说明目标，既对问题结论的完整描述。

100页§1.2数学问题的解决

2）数学问题解决的方法涵义§1.3.1数学解题的意义

从数学学科的教育与学习来看，也就是说从掌握数学来看，著名的美国数学家和教育家G.波利亚指出：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发现创造的题。”101页§1.3.1数学解题的意义从数学学科的教育与学§1.3.1数学解题的意义

波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来，要重要得多，那么在数学学科中，能力指的是什么？波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人们具有某种程度的独到见解、判断力、能动性和创造精神。”102页§1.3.1数学解题的意义波利亚认为，任何学问§1.3.1数学解题的意义

波利亚把“解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径，这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同，1976年国际数学管理委员会把解题能力列为十项基本技能的首位。103页§1.3.1数学解题的意义波利亚把“解题”作为§1.3.1数学解题的意义

通过解题可以使学习者独立地、积极地进行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及对解题进行讨论，等等），104页§1.3.1数学解题的意义通过解题可以使学习者§1.3.1数学解题的意义

从而有效地培养运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，以形成运用数学知识来分析和解决社会生活、经济建设和科学技术中的实际问题的能力，以便适应现代化生产的多样性和变化性，从事创造性劳动。105页§1.3.1数学解题的意义从而有效地培养运算能§1.3.2数学解题研究观

数学解题研究的中心内容是什么1.从科学研究的方法论来看2.从数学解题实践来看106页§1.3.2数学解题研究观数学解题研究的中心内容是什么19§1.3.2数学解题研究观

解题的主要目的之一，也就在于掌握一定的方法以形成有利于今后解决实际问题的迁移能力。因此，对于解题方法在解题中所处的地位的中心性我们不能仅仅是知道或认识，在数学解题研究中，一定要真正体现这个中心系统，围绕这个中心而开展工作，研究其系统建构，还要研究这个中心系统的轴心系统及其系统建构。107页§1.3.2数学解题研究观解题的主§1.4数学解题程序“怎样解题”表弄清问题拟定计划实现计划回顾讨论108页§1.4数学解题程序“怎样解题”表弄清问题拟定计划实第一步理解题意综观之，这是一道关于图形的最值问题.109页第一步理解题意综观之，这是一道关于图形的最值问题.2第二步拟定计划设想以前从未见过这个问题，但曾见过也解过与它密切相关的两类问题：第一：已知三角形中某些边角之间的数量关系，要求判断这个三角形的形状或解出它.第二：在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形三顶点或三边的距离的和或平方和的最值.于是原问题可分裂为两个较为简单的问题.110页第二步拟定计划设想以前从未见过这对第（1）小题，已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来.对第（2）小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出.至此，一个比较完整的解题计划可说是已经拟定了.第三步实现计划由，用正弦定理作代换，得111页对第（1）小题，已具备了再由如图1.1建立直角坐标系，使得112页再由如图1.1建立直角坐标系，使得25页设圆上的任一点为P（x,y）,则有yBoCAxPN图1.1113页设圆上的任一点为P（x,y）,则有yBoCAxPN图1.因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当x=4时，有,当x=0时，有第四步回顾讨论对上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P点运动到BC边上的切点M，此时得所求平方和最大值为88;当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72.此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第（1）小题也可以一开始用余弦定理作代换，对第（2）小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种方法.（略）114页因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当x=4时，有本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验，例如：（i）如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽然仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的复杂程度会明显上升.这说明，对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁琐程度是有显著区别的.（ii）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生.（iii）使我们看到：注意数形结合，使计算大为简化，并且更能揭露问题的实质.115页本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也§1.5数学解题过程分析

1.5.1解题步骤过程的一般性与特殊性分析

一般性分析审题拟定计划实现计划回顾116页§1.5数学解题过程分析

1.5.1解题步骤过程的一般性与特§1.5数学解题过程分析

1.5.2解题思维过程的图解表示

波利亚十分重视解题活动中思维的作用，他在文（2）中，用一张图表，对数学解题思维过程做了精辟的分析和高度的概括。他用九个词排成一个正方形，一个在正方形中心，四个在正方形的顶点上，其余四个则写在四条边上。

分离预见组合重新配置辨认动员回忆充实组织117页§1.5数学解题过程分析

1.5.2解题思维过程的图解表§1.6数学解题思路的探求

1.6.1试悟式探索

试悟式探索解题思路是我们在解常规数学问题时或解所谓标准性训练性题时常采用的方式。探索程序框图表观察题目特征发掘题设内涵沟通靠拢条件纠错发掘题设内涵探索转化方向尝试靠拢熟悉类型解决原来问题118页§1.6数学解题思路的探求

1.6.1试悟式探索探（1）让我们来探索本题的解题思路（如图1－3）：（A）观察（题目的特征）①AD=1,四个覆盖圆的半径为1，因此数字1是特殊数值.②本题是个条件覆盖问题.③ABCD为平行四边形，锐角三角形，有为锐角.覆盖图形的条件是边长AB与有密切关系等图形特征.oAEBCDp图1－3119页（1）让我们来探索本题的解题思路（如图1－3）：（A）观察（（B）发掘（题设的内涵）①为什么要限制为锐角三角形？②圆盖住了，即四边形内任一点P都使PA、PB、PC、PD四个距离中至少有一个不大于1.③由于对称性关系，在内的点如能被圆盖住，则在内的点必能被圆盖住。故只要对讨论问题即可.④从已知条件不等式（1）：看，常常可改写为，此处是否对解题有用？120页（B）发掘（题设的内涵）①⑤考虑射影定理，设的外接圆半径R，则有这与已知条件式（1）有什么关系？……（C）尝试转化（命题的形式）根据（B）中的②和③两点，可以把本题的结论转化为：设P为锐角内任一点，则PA、PB、PD三者之中至少有一个不大于1的充要条件是不等式（1）成立.（D）试探并纠错（靠拢的方向）把问题转化为（C）以后，怎样靠拢我们已熟悉的类型呢？如果一时还理不出头绪，可先进行特殊试探.取内的一些特殊点为P（如内心、外心、重心等等）来试探，当取内心、重心为P时121页⑤考虑射影定理，设不能达到目的，因此最特殊的莫过于取外心O为P，这时应有，我们知道，内任一点P和三角形各顶点的距离不都大于R.R在这里肯定将起着举足轻重的作用.

（E）沟通（靠拢的条件）引入的外接圆半径R.（F）再尝试转化（命题的形式）引入R后本题可进一步再转化为：在锐角中，.证明不等式（1）成立.122页不能达到目的，因此最特殊的莫过于取外心O为P，这时应有（G）靠拢（熟悉的类型）在内，必可建立之间的关系式.在已建立的关系中，令，即得包含的不等式，所得不等式与（1）的关系如何？如果我们已经熟知建立之间的关系及角不等式等知识，则可实际试一试了.由正弦定理：