甘肃省武威市高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 新人教A必修1

3.1

函数与方程整理ppt(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使

的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点⇔函数y＝f(x)有

.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是方程f(x)＝0的根.1.函数的零点知识梳理f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c整理ppt对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.二分法f(a)·f(b)<0一分为二零点整理ppt3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点

无交点零点个数

(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210整理ppt1.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2.三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.知识拓展整理ppt判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.(

)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(

)思考辨析×××√√整理ppt

1.(教材改编)函数

的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3考点自测答案解析f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝

，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点.整理ppt

2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A.y＝cosx B.y＝sinxC.y＝lnx D.y＝x2＋1答案解析由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点.整理ppt

3.(2016·吉林长春检测)函数f(x)＝lnx＋x－

－2的零点所在的区间是A.(，1) B.(1,2) C.(2，e) D.(e,3)答案解析所以f(2)f(e)<0，整理ppt4.函数f(x)＝2x|log0.5

x|－1的零点个数为________.答案解析2由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.整理ppt5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.答案解析∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，整理ppt题型分类深度剖析整理ppt

题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1

(1)(2017·长沙调研)已知函数f(x)＝lnx－

的零点为x0，则x0所在的区间是A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案解析∴x0∈(2,3)，故选C.整理ppt(2)(2016·济南模拟)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.答案解析(1,2)易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是(1,2).整理ppt命题点2函数零点个数的判断答案解析例2

(1)函数f(x)＝

的零点个数是____.2当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.整理ppt

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是A.多于4 B.4 C.3 D.2答案解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.整理ppt思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.整理ppt

跟踪训练1

(1)已知函数f(x)＝

－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，＋∞)答案解析因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).整理ppt

(2)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为A.4 B.5 C.6 D.7答案解析由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，而在

＋kπ(k∈Z)的所有取值中，故零点个数为1＋5＝6.整理ppt

题型二函数零点的应用例3

(1)函数f(x)＝2x－

－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a

的取值范围是A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案解析因为函数f(x)＝2x－

－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－

－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.整理ppt(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________.答案解析(0,1)∪(9，＋∞)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.几何画板展示整理ppt引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________.答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如右：当x＝0或x＝－3时，y1＝0，整理ppt思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.整理ppt跟踪训练2

(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________.答案解析(－2,0)∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.整理ppt(2)(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.答案解析(0,2)由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.几何画板展示整理ppt题型三二次函数的零点问题例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解答方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1).整理ppt思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.整理ppt跟踪训练3

(2016·临沂一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_______.答案解析整理ppt典例

(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________________.(1，＋∞)

利用转化思想求解函数零点问题思想与方法系列4答案解析思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.几何画板展示整理ppt(1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点.当0<a<1时，图象如图①所示，此时只有一个交点.当a>1时，图象如图②所示，此时有两个交点.∴实数a的取值范围为(1，＋∞).整理ppt返回整理ppt课时作业整理ppt1.设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)√12345678910111213答案解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).整理ppt123456789101112132.(2016·潍坊模拟)已知函数

则函数f(x)的零点为√当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案解析整理ppt123456789101112133.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b√答案解析整理ppt故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0).∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；方法二由f(x)＝0得2x＝－x；由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函数y＝2x，y＝log2x和y＝－x的图象(如图).由图象易知a<0,0<c<1，而b＝2，故a<c<b.12345678910111213整理ppt123456789101112134.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是A.1 B.2 C.3 D.4√答案解析(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.整理ppt5.已知函数

则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是A.(1,2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)√答案解析当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋

＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.12345678910111213整理ppt123456789101112136.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝

－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________________.答案解析整理ppt12345678910111213整理ppt7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是___________.答案解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，12345678910111213整理ppt123456789101112138.已知函数

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是____________________.答案解析(－∞，0)∪(1，＋∞)令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).整理ppt12345678910111213答案解析整理ppt因为函数f(x)在R上单调递减，12345678910111213整理ppt12345678910111213*10.(2016·衡水期中)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则

的最小值为______.答案解析1整理ppt设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0).因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称.又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，12345678910111213整理ppt12345678910111213解答(1)作出函数f(x)的图象；如图所示.整理ppt故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.解答12345678910111213整理ppt12345678910111213(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围.解答由函数f(x)的图象可知，当0<