2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量6空间向量的概念与运算练习含解析

空间向量的概念与运算考试要求1..2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．名称共线向量

定义方向相同且模相等的向量方向相反且模相等的向量(或平行向量)共面向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理共线向量定理：对任意两个空间向量的充要条件是存在实数a＝λb.p空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量)，使得(1)数量积(2)空间向量的坐标表示及其应用，a，a，b，b)．1 2 3 1 2 3数量积

向量表示 坐标表示a·b ab＋ab＋ab11 22 331a＝λb，a＝λb，共线 1

1 2 2a＝λb3 3a·b＝0垂直 ab＋ab＋ab＝0(a≠0，b≠0)模 |a|

11 22 33＋21 2 3a·b

cos〈a，b〉＝夹角余

cos〉＝ab||||

ab＋ab＋ab弦值 1

22 33(a≠0，b≠0)

＋·2＋＋21 2 3 1 2 34.空间位置关系的向量表示ala为直线l的方向向量．平面的法向量：直线，取直线la为平面α(3)空间位置关系的向量表示位置关系

l∥l

向量表示n∥n直线l，l的方向向量分别为n，n 1 2

1 2 1 21 2

2 l⊥l

n⊥n·n＝01 2 1 2 1 2l，平面αm，lα平面

l∥αl⊥αα∥βα⊥β

n∥m⇔n＝λm(λ∈R)n⊥m⇔n·m＝0常用结论

ABC

OA

OOC xy O1．在平面中，，，任意一点．

三点共线的充要条件是：＝

(其中

＋＝1)，

为平面内2．在空间中，，，，四点共面的充要条件是：PABC2．在空间中，，，，四点共面的充要条件是：

P

OO＋OC

xyz＝(其中＋＋＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析＝(其中＋＋＝1)，判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则.(×)2在空间直角坐标系中，在Oyz)．(√)(4)〉是钝角．(×)教材改编题为空间向量的一个基底则下列各项中能构成空间向量的一个基底的( B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案C共面．∴A，B，D不正确．BC

为A

与BD

BD

＝c，则下列向量中与M则下列向量中与

1111相等的向量是()相等的向量是(

11

1

＝，＝，11 1A．－a＋b＋c2 21 1C．－a－b＋c2 2

1aB.＋2 2B.＋D.－1aD.－2 2答案A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM

B

M

A

1AD

AB＝ ＋ 1 11ba

＋(－)1 2＝＋(－)21 1＝－a＋b＋c.2 23设直线ll的方向向量分别为＝－2,2,1(32若ll则＝ .1 2 1 2答案10解析∵l⊥l1 2∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.3题型一空间向量的线性运算1如图所示，在平行六面体BCD

A

aBb

ADc

MNP111

中，设1

＝，＝，1

＝，，，分别AAD表示以下各向量：1 11AP

N

P

C(1)

；(2)1

；(3)＋ .1解(1)∵PCD的中点，P

A

1P

1A

AD

P∴＝ ＋ ＝1 1

＋ ＋1 11 1＝A

D→＋＋DC1 2＋＋DCac1→＝＋＋AB2ac1＝＋＋b.2∵NBC的中点，∴N

A

B

N＝ ＋＋1 1ab1→＝－＋＋BC2ab1→＝－＋＋AD2ab1＝－＋＋c.2∵MAA1

的中点，P

A

P

A

AP∴＝＋＝ ＋211 1＝－a＋(a＋c＋b)2 21 1＝a＋b＋c.2又C

2＝＋C＝＋

C

1→A＝1 1 2 1＝1→1＝AA＝2 1 24→1 1

1 NC＝12 2 2 3 1 3＝a＋b＋c.2 2 2教师备选分别是是△ABC

OA

OB表示OC表示

，则下列表示正确的是(G，则下列表示正确的是(

的重心，用基向量，，)1→1→1→OC4 2 31→1→1→OC2 2 21→1→1→C．－6 3 31→1→1→D.OC3 3 3答案DG

A

G

1→2→1→2→→解析 ＝＋

＝2 3 2 3＝→21OB

OC

2 ＋ －2 31→1→1→＝－OA＋OB＋OC.6 3 3OG

OM

MG

1→1→1→1→1→1→1→＝＋＝2 6 3 3 3 3 3思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．＝2，若记＝，＝，＝，则等于(1(1)(2022·O－ABC的中＝2，若记＝，＝，＝，则等于(上一点，且点，点D为线段PQ上一点，且

PD

DQ

OAa

Bb

OCc

OD )51 1 1A.a＋b＋c6 3 31 1 1C.a＋b＋c3 6 3

1 1 1a b a b 3 3 3a b a b D.＋＋3 3 6答案A解析D

P

D

→PQ＝＋＝OA＋2 31→2→＝(OQ

)2 3 －1→2→2→＝OP2 3 31→21→→ 21→＝××OA2 32 321→1→1→＝OC6 3 31 1 1＝a＋b＋c.6 3 3(2)在正方体BC

中，点F是侧面CDDC

F

AD

A＋A

，则x－y＋z等( )

1111

的中心，若＝ ＋11 11 3A.B．1C.2 2答案B解析F

D

F

D

1D

DC)＝＋＝＋2

＋1 11D

1

AB)＝＋2

＋1 11D

1

AB＝＋( ＋2 16D

1→＝＋AA，2 21x y1z1

xyz则＝1，＝，＝，则

－＋＝1.2 2题型二空间向量基本定理及其应用2已知ABC

O M OM1A

BCMAMBMC

外的任一点

，若点满足＝(3

＋＋)．判断，，三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内．ABC M解(1)由题知＋＋＝3，OA

M

OMOC所以－＝(－AMM

)＋(－)，MC即＝＋＝－－，MAMBMC所以，，共面．MAMBMC M(2)方法一由(1)知，，，共面且基线过同一点，四点共面，从而点M在平面ABC内．OM1ABC方法二因为＝(＋＋)31→1→1→＝3 3 3111又因为＋＋333四点共面，从而M在平面ABC教师备选如图所示，已知斜三棱柱BC

BC

AM

C

BNBC k

N

111

B

A

上，且满足＝ ，＝1 1(0≤

≤1)．判断向量

是否与向量，

共面．1AM

C NBC解因为＝

，＝ ，1MN

ABBN所以＝＋＋＝AABBC＋＋17kA

Bk

BC

B＝( ＋1

)＋＝(1

＋ )＋11＝A1B

AB＋B＋

AB

kA

AB＝－ ＝－( ＋)1 1kABA＝(1－)－ ，1

MN

AB

A所以由共面向量定理知向量

与向量，

共面．1思维升华证明空间四点共面的方法MPM＋MB(1)＝

；(2)对空间任一点，＝OOP(2)对空间任一点，＝

＋OM＋

；M＋MB；(3)对空间任一点，＝OOP(3)对空间任一点，＝

O＋OA

OBxyz＋(＋＋＝1)；(4)∥PM＋(＋＋＝1)；(4)∥

AB

PA

MB

PB

A．(或∥或∥共线，则跟踪训练2(1)(多选)(2022·武汉质下列说法中正确的( 是共线的充要条件(或∥或∥共线，则B．若，BB．若，

D

AB∥CDABC

OA

1→1→

ABCC．，，

三点不共线，对空间任意一点，若

＝ ＋＋4 8 8

，，，

四点共面D．若，，，为空间四点，且有PABCD．若，，，为空间四点，且有

PA

＋B＋

(PC(

，PB，

不共线)，则PC不共线)，则

＝C三点共线的充要条件答案CD＝解析由共线，反之，当向，所以A若，B若，

D

或四点共线，所以B共线，则三点不共线，对空间任意一点共线，则P

3→1→1→若＝OA＋OB＋OC，4 8 8311因为＋＋488四点共面，故C为空间四点，PA

BPCPBPC且有＝

＋ (，

不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，8可得－PA可得－

PC

λ

C，＝(＋即＝AC，＝(＋即＝满足＝＋满足＝＋外任意一点，若点(2)已知O为平面ABC外任意一点，若点

M OM

OA

4→2→则点填“属于”或“不属于”)平面答案属于

5 5 5OM

1→4→2→1→4→2→

1→2→2→解析∵

＝5 5 5 5 5 5 5 5 5122∵＋＋555∴M，A，B，C四点共面．即点M∈平面ABC.题型三空间向量数量积及其应用3ABCD分别是的中点，计算：EFBA(1)·.(2)求异面直线AGCE所成角的余弦值．BaACbDc解设＝，＝，＝.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，EF

1→1 1(1)

＝2 2 2→ →→1 1B＝EB＝

2 21 1 1＝2 2 4AG

1

D 1 1(2)＝(＋)＝b＋c，2 2 29CECAAE b1＝＋＝－

＋a，2→→ AGCEcos〉＝ ·AGCE1 1

|||| 1＋·－＋2 2 2＝1b1

1 222

＋

2

21－2 2＝ ＝－，3 3 32×2 0，2，所以异面直线AG与CE 2所成角的余弦值为.3教师备选已知MN P

MN的取值范围( )答案B解析设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，

·→→→)(→→ →(→→→PP＝POM·P＋ONP2P·O＋ONOO，∵MN为球O的直径，MN OMON∴＋＝0，·＝－1，→→→∴PP＝P2－，→→→P在正方体表面上移动，

||→为正方体顶点时，PO→

最大，最大值为

||→P为内切球与正方体的切点时，PO→最小，最小值为1，→ [ ]∴P2－1∈0，2，即·M即·

N

[0，2].的取值范围为思维升华由向量数量积的定义知，要求ab与的取值范围为b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．103ABCDABCDA为端点的三条160°.

1111求AC1

的长；求证：AC1求BD1

AC夹角的余弦值．B

AD

A c解记

＝，＝， ＝，1则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，abbcca1∴·＝·

·＝.2|AC1

|2＝)2＝2＋2)11222＝1＋1＋1＋2×＋＋＝6，222AC∴||＝6，即AC∴|

的长为6.1C

1ab

BDba证明∵

＝＋＋，1

＝－，∴C D abc ba·＝(1

＋＋)·(－)＝||2－－＝0.∴C D AC⊥B.⊥，∴1 1解D bcaACab＝＋－1

＝＋，D

AC∴| |＝2，|1

|＝3，D

AC

bca ab·＝(＋1

－)·(＋)＝2＝1.BDBD∴cos〈

→AC，〉＝AC

D1

AC 6＝ .1 D AC 6| |||1∴ACBD1

6夹角的余弦值为6.11题型四向量法证明平行、垂直4如图，在四棱锥P－ABCD＝1，点E为棱PC的中点．证明：平面证明依题意，以点AD(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．BE(1)＝(0,1,1)，D(2,0,0，EC故·＝0，所以BE⊥DC.因为⊥平面AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，AB

PAD的一个法向量，所以＝(1,0,0)为平面EB而·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE⊥AB，又BE平面PAD，由(2)知平面PAD

BP(0,，2)，D(2,0,0，

的法向量＝(1,0,0)，12设平面PCDnPD·＝0，则·＝0，nDC·＝0，2－2＝，即x2＝，n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．nB且·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，nAB所以⊥.所以平面PAD⊥平面PCD.教师备选如图，已知AA⊥平面∥AA＝＝27，点EF1 1 1 1 1分别为BCAC的中点．1AB11求证：平面AEA⊥平面BCB.1 1证明因为为BC的中点，所以AA⊥平面∥BB，1 1 1所以以过E作平行于BB1

的垂线为z所在直线分别为xy轴，建立如图所示的空间直角坐标系．13所以E(0,0,0)，C(5，0,0)，A(0，2,0)，B(－5，0,0)，B(－5，0,27)．1A(0,2，7)，则

5，1，

71EF

5

7

B

2.(1)

＝

，1，

2，

＝(－5，－2,0)，A＝(00，7)．1设平面AABB11nAB·＝0，则n

A· ＝0，1－5x－2y＝0，所以 7z＝0，

x＝－2，取y＝5，z＝0，所以n＝(－2，5，0)．EF

5 7×0＝0，因为·

＝2×(－2)＋1×5＋2EFn所以⊥.EF平面AB11AB11(2)因为AEA，1EC

AEA的一个法向量．所以＝(5，0,0)为平面1BCB，1EA

BCB的一个法向量．所以＝(0,2,0)为平面1EC

EA

EC

EA因为·＝0，所以⊥，故平面AEA⊥平面BCB.1 1思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量定理．4如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面14，设分别为的中点．2求证：(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC.证明(1)如图，取AD的中点，连接因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又侧面平面分别为又四边形ABCD2a所以PA⊥PD，OP＝OA＝.2如图，以O所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系，则a

，

a ，0，0 0，

2a ，

2，－，0，0 0，0，2aa，，

，

2aa .22 －，2EPC的中点，所以

aa.－，，424易知平面PAD的一个法向量为OF

a ，2＝0，，0215EF

a

OF

EF

a

a ＝0.4因为＝4

，0，－，·

＝0，，0·

，0，－4244EF平面4244PA

a

，(2)＝，0，－2 2C(0，，0，PA

a ·(0，，0，所以·＝，0，－2 2PACD所以⊥，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.课时精练1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(0，－3,2)，c＝(－2,1,2)，则等( )A．18B．－18C．32D．－32答案B解析因为b＋c＝(－2，－2,4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.和不共线的三点2．已知空间任意一点O和不共线的三点

ABC

OP

＋OOB＋

OCxyz，，，若＝(，，∈R)，则是四点共面”( ，，，若＝(，，∈R)，则B．充分不必要条件C．充要条件D．答案B得四点共面，2，－3,2.故是四点共面”的充分不必要条件．3．已知空间向量且则向量a与b的夹角( ππ2π5πA.6B.3C.3D.616答案A解析由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又1＋0＋1＝2，|b|＝1＋1＋4＝6，cos〉

a·b 3 3＝ ＝ ，2×6 2又〈a，b〉∈[0，π]，a

πb6.4．直线l的一个方向向量(2,1,1)，平面α的一个法向量(4,2,2)，则( 或lD．lα答案B解析直线l(2,1,1)，平面α(4,2,2)，显然它们共线，所以l⊥α.A B

AP

BC

P5．(多选)已知空间三点则点P的坐标( A．(4，－2,2)

(1,0,3)，

(－1,1,4)，B．(－2,2,4)

(2，－1,3)，若∥

，且|

|＝14，C．(－4,2，－2)答案AB

D．(2，－2,4)解析因为B(－1,1,4)，C(2，－1,3)，BC所以＝(3，－2，－1)，APBC因为∥，APC λ λ λ所以可设＝ ＝(3，－2，－)，→因为3λ2＋－2λ2＋－λ2＝14，解得λ＝±1，AP AP所以＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)，Pxyz AP x yz设点(，，)，则

＝(－1，，

－3)，17－13，－3＝1＝4，＝2

1＝，或y＝2，31，＝－，或y＝2，＝4.所以点P4，－2,2)或(－2,2,4)．6．(多已知空间中三点则下列结论正确的( )BC与是共线向量B(1,1,0)B

C 55与

夹角的余弦值是－11平面ABC答案CDB

AC

λ

C解析对于A，

＝(2,1,0)，

＝(－1,2,1)，不存在实数

，使得＝ ，ABAC所以与不是共线向量，所以A错误；AB

AB

25

5 或

25 5 ，对于B，因为B

5

，5，0 －5

，－

，0AB C对于C，向量＝(2,1,0)，＝(－3,1,1)，→→ ABBC 55所以cos〉＝ · ＝－ ，B

BC 11||||所以C正确；D，设平面ABCAB C因为＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，nB

＝0，所·＝0， 即·＝0，nAC·＝0，

－＋＋0.令x＝1，则n＝(1，－2,5)，所以D正确．7．已知则答案2解析因为a＝(x，1,1)，b＝(－2,2，y)，a·b＝0，所以－2x＋2＋y＝0,2x－y＝2.18已知点A B C

D ABC上的投影向量为(－1,1,0)，(1,2,0)，(－2，－1,0)， ．

(3,4,0)，则在33 答案

，，022解析由已知得＝(2,1,0)，B C(5,5,0，解析由已知得＝(2,1,0)，BD∴·＝2×5＋1×5＋0＝15，CD又||＝52，BD∴在上的投影向量为ABCD CD 15 D 3→33 ·· ＝ × ＝

，，0.D

525210 22|| ||如图所示，在直三棱柱BCAA分别AB，AA的中点．

111 111 1N求的长；A

B求cos〈 ，1

〉的值；1求证：A1 1(1)解以C1

所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系，如图．B(0,1,0)，N(1,0,1)，N∴＝(1，－1,1)，→12＋－12＋12＝3.(2)解∵A(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，1B(0,1,2)，1∴A1

CB＝(1，－1,2)，CB1

＝(0,1,2)，19∴A1

B·1·

BA＝3，|BA1

CB|＝6，|CB1

|＝5.

A

B 30∴cos〈

，CB〉＝ 1

1 ＝ .·CB|||1 1 |A 10·CB|||1 1，，2，(3)证明∵C(0,0,211 ，，2，，，01 22 ，，0＝(－1,1，－2)，∴B＝(－1,1，－2)，

M

11 1＝，∴B＝，

M

1 22 11· ＝－＋＋0＝0.1 1 22∴B1

M，⊥1⊥∴A1 1如图，在四棱锥P－ABCD，底面ABCD分别是的中点．在平面PAD内求一点(1)证明如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为xyz直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，aa ，(0,)，，，02aa.222，，222EF a DC a＝－，0，，

＝(0，

，0)．2 2EFDC因为·＝0，20所以⊥EF所以⊥

DC

EF⊥CD.，即(2)解设G(x，0，z)，，即G

xa

z，则＝－，－，－2 2 2CB a P aa＝(，0,0)，＝(0，－，)，PCB

G

BGP

，则需·

＝0，且·＝0，G

B

xa

z·(，0,0)由·＝－，－，－＝x

2 2 2ax－＝0，得＝，2 2GPxa az·(0，，)222由·＝－，－，－2222z＝0，得＝0.＝＋－2 2G a

，所以点坐标为

，0，02GAD11．(多选)(2022·ft东百师联盟大联下面四个结论正确的( A．向量若则PAB

CPC1→

ABCB．若空间四个点，，，，

＝PA＋PB，则，，三点共线a x

4 4x x3 abC．已知向量＝(1,1，)，＝(－3，，9)，若<

，则〈，

〉为钝角10D．答案AB解析由向量垂直的充要条件可得A正确；C→→∵＝PA＋PB，4 41→1→3→3→∴PC－PA＝PB－PC，4 4 4 4C CB即＝3，三点共线，故Bπ，故C21由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．12．(多选)(2022·重庆市第七中学月给出下列命题，其中为假命题的( )A．已知n为平面α的一个法向量为直线l的一个方向向量，若则已知n为平面α m l

nm 2π lπα6

的一个法向量，

为直线

的一个方向向量，若〈，

〉＝3，则与，总存在实数使得p＝xa＋yb＋zc答案AD解析对于A，由题意可得l，故AB2π＝3，则∠DABπ ADBπ＝3，所以∠ ＝6，与

π6Bu 1 1C，因为

＝－v＝－2 2＝(1,2，－2)，所以u∥v，故α∥β，故C正确；对于D不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数D13．(2022·1的正方体BC

分别为AD

的中点，则.

1111

11 1222 6答案5 2解析如图，以A1

所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系，∵正方体棱长为1，则

1 ，

10，1，0，，E

21

2AF

，∴＝0，，1，＝1，0，EF

2 21 ，2 ＝1，－，－2 →→

1AF 2 2cos〉＝ ·

＝ ＝，AEAF 5 55|||| ×2 ∴cos∠EAF2＝，5222→ 222

1 6EF＝|EF|＝

12－－＝ .如图，已知四棱柱BC

的底面ABC

为棱AB

F11111

111

的中点，＝3AD

AG

A

AMAC与平面EFG交于点则 ＝ .AC，＝2 ，AC1 112答