人教版高一数学必修1习题集

人教版高一数学必修1习题集1.下列对象能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼[解析]A、B、D不满足确定性，只有C中对象满足确定性，能构成集合．[答案]C2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈AC．a∈AB．a∉AD．a＝A[解析]元素与集合之间只存在“∈”和“∉”关系，故a∈A正确．[答案]C3．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．[解析]方程x2－5x＋6＝0的解是2,3，方程x2－x－2＝0的解为－1,2.故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素．[答案]34．[2015·湖北荆州高一期中]m，n∈R，由两个数等，则m＋n的值等于________．，1组成的集合P与由两个元素n,0组成的集合Q相[解析]由集合P与集合Q相等得n＝1，m＝0，所以m＋n＝1.[答案]15．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．[解](1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.知识点基础中档稍难集合的基本概念元素与集合的关系1、42、5、6810集合中元素的特性及应用3、79一、选择题1．[2014·杭州高一月考]下列各对象可以组成集合的是()A．与1非常接近的全体实数B．2013年某校高一学生的全体C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数[解析]A、C、D中的元素都不确定，故A、C、D都不能构成集合．[答案]B2．下列选项正确的是()A．0∈N*C．1∉QB．π∉RD．0∈Z[解析]本题主要考查几种常见数集的含义及符号表示，0是整数，故有0∈Z.[答案]D3．[2015·长春外国语高一月考]已知集合M中有两个元素3，m＋1,4∈M，则实数m的值为()A．4C．2B．3D．1[解析]由4∈M，得m＋1＝4，即m＝3.[答案]B4．[2015·衡水中学高一调研]若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．等腰三角形[解析]由于集合元素具有互异性，即a，b，c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形．[答案]D5．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉AC．3∉A且－3∉AB．3∈A且－3∈AD．3∉A且－3∈A[解析]∵3－1＝2>，∴3∉A.又－3－1＝－4<[答案]D，∴－3∈A.二、填空题6．用符号“∈”或“∉”填空．设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.[解析]矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.[答案]∈∉7．下面有四个语句：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋9＝6x的解集中含有2个元素．其中正确语句个数为________________________________________________________________________．[解析]自然数集N中的最小数为0而不是1，①错误；对于②，取a＝－，则－∉N且∉N，②错误；对于③，由①知不正确；对于④，x2＋9＝6x的解集中仅有一个元素3，④错误．[答案]08．[2014·洛阳高一检测]已知集合M中含有3个元素：0，x2，－x，则x满足的条件是________．[解析]由解得x≠0且x≠－1.[答案]x≠0且x≠－1三、解答题9．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2013＋b2013的值．[解]由a，，1组成一个集合，可知a≠0，且a≠1.由题意可得解得或或(舍去)，所以a2013＋b2013＝(－1)2013＋0＝－1.10．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．[解]∵2∈A，由题意可知，＝－1∈A；由－1∈A可知，＝∈A；由∈A可知，＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.1.集合{x∈N|3<x<8}的另一种表示方法是()A．{3,4,5,6,7,8}B．{3,4,5,6,7}D．{4,5,6,7,8}C．{4,5,6,7}[解析]∵x∈N，又x<8且x>3，∴x＝4,5,6,7，故选C.[答案]C2．已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有()A．－1∈AB．0∈AD．1∈AC.∈A[解析]∵x∈N*，－[答案]D≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.3．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝________.[解析]由A＝B得[答案]4故∴a＋b＝4.4．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为__________．[解析]当t＝－2时，x＝4；当t＝2时，x＝4；当t＝3时，x＝9；当t＝4时，x＝16；∴B＝{4,9,16}．[答案]{4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．[解](1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为{，－2}．(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．知识点基础中档稍难用列举法表示集合135用描述法表示集合4、82一、选择题1．用列举法将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}可以表示为()A．{1,1}，{1,2}，{2,1}，{2,2}B．{1,2}C．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}D．{(1,2)}[解析]此集合为点集，故排除A、B.又x∈{1,2}，y∈{1,2}，所以此集合可表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}．[答案]C2．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是指()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、三象限内的点集D．第二、四象限内的点集[解析]∵xy<0，∴x、y异号，∴M表示第二、四象限内的点集，选D.[答案]D3．方程组的解集可以表示为①(1,2)②{(1,2)}③{x，y|x＝1，y＝2}④⑤以上正确的个数有()A．5B．4D．2C．3[解析]由题意知方程组的解为有序实数对，结合列举法和描述法的书写规则，知②为列举法表示集合，⑤为描述法表示集合，故②⑤正确．[答案]D4．下列四个集合中，不同于另外三个的是()A．{y|y＝2}B．{x＝2}C．{2}D．{x|x2－4x＋4＝0}[解析]{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．[答案]B5．[2015·沈阳二中高一阶段验收]已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3C．8B．6D．10[解析]∵x∈A，y∈A，x－y∈A，∴满足条件的(x，y)有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(4,1)，(5,2)，(5,1)，共10个．[答案]D二、填空题6．有下面四个结论，其中正确的有________．①0与{0}表示同一个集合；②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．[解析]{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．[答案]④7．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．[解析]把－5代入方程x2－ax－5＝0，得a＝－4.将a＝－4代入方程x2－4x－a＝0，得x2－4x＋4＝0.故集合为{2}，所有元素之和为2.[答案]28．[2015·吉林高一质检]点P(1,3)和集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}之间的关系是________．[解析]在y＝x＋2中，当x＝1时y＝3，因此点P是集合A的元素，故P∈A.[答案]P∈A三、解答题9．[2014·太原五中高一期中]已知集合A＝{x∈Z|(1)用列举法表示集合A；∈Z}，(2)求集合A的所有元素之和．[解](1)由∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.解得x＝－1,1,2,4,5,7.又∵x∈Z，∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.10．[2014·辽宁高一联合竞赛]已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.(1)若1∈A，用列举法表示A；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.[解](1)∵1∈A，∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的根．∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.∴方程为－3x2＋2x＋1＝0.∴x1＝1，x2＝－，此时A＝{－，1}．(2)若a＝0，则方程化为2x＋1＝0，x＝－A中仅有一个元素；，若a≠0，A中仅有一个元素，当且仅当Δ＝4－4a＝0，即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1.∴所求集合B＝{0,1}．1.[2014·福建六校高一月考]已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()A．0∈AB．{1}∈AC．∅⊆AD．{0,1}⊆A[解析]“∈”表示元素与集合的关系，故A正确；空集是任何集合的子集，故C正确；因为A＝{0,1}，所以{0,1}⊆A，故D正确；{1}⊆A，故B不正确．[答案]B2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∉AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B[解析]A不是B的子集，也就是说A中存在某个元素不属于B，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．[答案]C3．[2014·吉林高一期中]集合{0,1,2}的子集有______个．[解析]集合{0,1,2}的子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共8个．[答案]84．[2015·成都七中高一月考]已知集合A＝{－2,3,4m－4}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.[解析]由B⊆A，得m2＝4m－4或m2＝－2(舍)．解m2＝4m－4，得m＝2，此时A＝{－2,3,4}，B＝{3,4}，B⊆A.[答案]25．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．[解](1)若AB，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.(3)由A＝B，可得a＝2.知识点空集、子集的概念集合间的关系基础1、2、8中档3、67稍难4由集合间的关系求参数59、10一、选择题1．[2014·成都实验高一月考]下列四个集合中，表示空集的是()A．{0}B．{(x，y)|x2＋y2＝0，x，y∈R}C．{x||x|＝5，x∈Z，x∉N}D．{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}[解析]{0}中有一个元素0，不是空集；{(x，y)|x2＋y2＝0，x，y∈R}＝{(0,0)}，不是空集；{x||x|＝5，x∈Z，x∉N}＝{－5}，不是空集，故选D.[答案]D2．[2014·长春外国语高一月考]已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>BC．BAB．ABD．A⊆B[解析]用数轴表示集合A、B，如下图所示，由图知BA.[答案]C3．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为()A．0B．1C．2D．4[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，所以A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．[答案]D4．已知集合A＝，B＝，则()A．ABB．BAD．A与B关系不确定C．A＝B[解析]对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝m∈Z，故按子集的定义，必有AB.，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，[答案]A5．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1B．－1C．1或－1D．0,1或－1[解析]因为P＝{－1,1}，所以若Q⊆P，则Q＝∅或Q＝{－1}或Q＝{1}，共三种情况，对应a的值分别为0,1，－1.[答案]D二、填空题6．[2015·沈阳二中高一检测]已知集合A＝{x|∈N，x∈N}，则集合A的子集的个数是________．[解析]由∈N，得6－x＝1,2,4.所以x＝5,4,2.由x∈N，得A＝{2,4,5}，含有3个元素．所以集合A的子集的个数为23＝8.[答案]87．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．[解析]∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.[答案]NM8．定义集合A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数是______．[解析]在A*B中，x∈A，∴x可能取1,2,3,4,5.又x∉B，∴x又不能取2,4,5.因此x可能取值只有1和3，∴A*B＝{1,3}，其子集个数为4.[答案]4三、解答题9．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，试求a，b的值．[解]由A＝B，有或解方程组得或或由集合元素的互异性，知a≠1，∴a＝－1，b＝0.10．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．(1)若∅M，求实数a的取值范围；(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．[解](1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1.(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，又M⊆N，当M＝∅时，即Δ＝22－4(－a)<0得a<－1，当M≠∅时，当Δ＝0时，即a＝－1时，此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意．当Δ>0时，即a>－1时，M中有两个元素，若M⊆N则M＝N，从而无解．综上a的取值范围为a≤－1.1.[2014·课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．{x|－2≤x≤1}C．{x|－1<x<1}B．{x|－1≤x<2}D．{x|1≤x<2}[解析]由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.[答案]A2．[2015·沈阳二中高一检测]集合A＝{(x，y)|y＝－x＋3}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A∩B＝()A．{1,2}B．{x＝1，y＝2}D．{(x，y)|(1,2)}C．{(1,2)}[解析]由题意得A∩B＝＝＝{(1,2)}．[答案]C3．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．[解析]∵{0,1}∪A＝{0,1,2}，∴2∈A.∴A＝{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}．[答案]{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．[解析]∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≥2.[答案]m≥25．[2014·哈师大附中高一期中]已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}，(1)当a＝3时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝3时，集合B＝{x|x<3}，∴A∪B＝{x|1≤x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}．(2)若A⊆B，如图：则a≥4.知识点基础中档稍难并集、交集的运算并集、交集的应用1、2、3、67、5810并集、交集性质的应用49一、选择题1．[2014·陕西高考]设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤1}B．{x|0≤x<1}D．{x|0<x<1}[解析]∵N＝{x|－1<x<1}，∴M∩N＝{x|0≤x<1}，故选B.[答案]B2．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}[解析]由M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}得M∩N＝{2}．[答案]D3．[2015·攀枝花米易中学月考]已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集的个数共有()A．2B．4C．6D．8[解析]∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴P＝M∩N＝{1,3}，则集合P的子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．[答案]B4．已知集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>t}，若M∩N＝∅，则t应满足的条件是()A．t>1C．t<1B．t≥1D．t≤1[解析]结合数轴分析，当t≥1时，满足M∩N＝∅.[答案]B5．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．2个C．1个B．3个D．无穷多个[解析]M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}．[答案]A二、填空题6．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，则M∪N＝__________，M∩N＝__________.[解析]借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3<x<－2}．[答案]{x|x>－5}{x|－3<x<－2}7．[2014·天津一中高一期中]设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．[解析]由A∩B＝B，得B⊆A.当B＝∅时，满足题意，此时m＋1>2m－1，解得m<2.当B≠∅时，由B⊆A得解得2≤m≤3.综上所得m的取值范围是{m|m<2}∪{x|2≤m≤3}＝{m|m≤3}．[答案]{m|m≤3}8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________.[解析]如下图所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.[答案]－4三、解答题9．[2014·天津一中高一期中]已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值．[解]由A∩B＝{－3}，得－3∈A.∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1.∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}．又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B中只有一个元素－3，∴解得b＝6，c＝9.∴a＝－1，b＝6，c＝9.10．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.[解]由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}且A∩B＝C得：7∈A,7∈B且－1∈B，∴在集合A中，x2－x＋1＝7.解得x＝－2或3.当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2.又2∈A，故2∈A∩B，又A∩B＝C，∴2∈C，但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去．当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.故有2y＝－1，解得y＝－经检验满足A∩B＝C..综上知，所求x＝3，y＝－.此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，故A∪B＝{－4，－1,2,7}．1.[2014·浙江高考]设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}[解析]∵A＝{x∈N|x≥[答案]B}＝{x∈N|x≥3}，∴∁UA＝{x∈N|2≤x<3}＝{2}，故选B.2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个C．5个B．4个D．6个[解析]∵U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．∴A的真子集是{0}，{1}，∅共3个，故选A.[答案]A3．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，则∁UY与∁UX包含关系(∁UX)________(∁UY)．[解析]∵X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}，∴∁UX＝{x|x<0}，∁UY＝{y|y<1}．∴(∁UX)(∁UY)．[答案]4．[2015·江西三校联考]已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)＝________.[解析]∵∁UA＝{1,3,6}，∁UB＝{1,2,6,7}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6,7}．[答案]{1,2,3,6,7}5．[2014·湖北襄阳四校高一期中]已知全集U＝{x|x≤10，x∈N}，A＝{0,2,4,6,8}，B＝{x|x∈U，x<5}．(1)求M＝{x|x∈A且x∉B}；(2)求(∁UA)∩(∁UB)．[解]由题意得全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{x|x∈U，x<5}＝{0,1,2,3,4}，(1)M＝{x|x∈A且x∉B}＝{6,8}．(2)∵∁UA＝{1,3,5,7,9,10}，∁UB＝{5,6,7,8,9,10}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{5,7,9,10}．知识点基础中档稍难补集的运算910交、并、补集的综合运算交、并、补集的综合应用1、2、3、5、67、84一、选择题1．[2015·玉溪一中检测]若集合P＝{x|x≤4，x∈N*}，Q＝{x|x＞3，x∈Z}，则P∩(∁ZQ)等于()A．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3}B．{1,2,3}D．{x|1＜x≤3，x∈R}[解析]由题意得P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6，…}，P∩(∁ZQ)＝{1,2,3}．[答案]B2．[2014·辽宁高考]已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}[解析]A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，因此∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案]D3．如果U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，那么(∁UA)∩(∁UB)等于()A．{1,2}C．{5,6}B．{3,4}D．{7,8}[解析]U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．∴(∁UA)∩(∁UB)＝{7,8}．[答案]D4．[2014·太原五中高一月考]下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是()A．若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝UB．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅C．若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅D．若A∩B＝∅，则A＝B＝∅[解析]由图易知，A正确；由A∪B＝∅，得A＝B＝∅，B正确；由文氏图易知C正确．故选D.[答案]D5.[2015·台州中学高一统考]设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}C．{x|1<x≤2}B．{x|－2≤x≤2}D．{x|x<2}[解析]阴影部分表示集合N∩(∁UM)，∵M＝{x|x>2或x<－2}，∁UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁UM)＝{x|x≥3或x<1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x<1}．[答案]A二、填空题6．[2014·重庆高考]设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.[解析]∵U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，∴∁UA＝{4,6,7,9,10}，又∵B＝{1,3,5,7,9}，∴(∁UA)∩B＝{7,9}．[答案]{7,9}7．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有__________个元素．[解析]由A∩B含有3个元素知，仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合的元素个数为10＋8－3＝15，或直接利用文氏图(如图)得出结果．[答案]158．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[解析]由已知得有22人喜爱乒乓球运动或喜爱篮球运动，则有3人既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动，故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]12三、解答题9．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}且∁UP＝{－1}，求实数a.[解]∵U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，∴解得a＝2.10．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．[解]A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．综上可得m＝1或m＝2.1.[2015·太原五中高一月考]设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()[解析]由函数的定义可以判断A项的定义域为{x|0≤x≤1}，B项的定义域为{x|0<x≤2}均与题意不符，而C项不符合函数定义，故选D.[答案]D2．[2015·衡水中学高一调研]函数y＝＋的定义域为()A．(－，)B．[－，]C．(－∞，]∪[，＋∞)D．(－，0)∪(0，＋∞)[解析]要使函数有意义，须使故选B.解得所以函数的定义域为{x|－≤x≤}，[答案]B3．[2014·石家庄一中期中]下列函数中与函数y＝x相等的有________．(1)y＝()2(2)y＝(3)y＝)2＝x(x≥0)；(4)y＝(5)y＝x0[解析]对于(1)y＝(对于(2)y＝对于(3)y＝＝x(x∈R)；＝|x|(x∈R)；对于(4)y＝＝x(x≠0)；对于(5)y＝1(x≠0)．故与函数y＝x相等的有(2)．[答案](2)4．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{1,2,3}，则f(x)的值域为_________________________________________________________________．[解析]当x＝1时，f(1)＝2×1－3＝－1；当x＝2时，f(2)＝2×2－3＝1；当x＝3时，f(3)＝2×3－3＝3.∴f(x)的值域为{－1,1,3}．[答案]{－1,1,3}5．已知函数f(x)＝＋.求：(1)函数f(x)的定义域；(2)f(4)的值．[解](1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．解得x>0，(2)f(4)＝＋＝.知识点基础中档稍难函数概念1函数定义域函数值及值域3、5、7、92、4、6810一、选择题1．[2015·荆州中学高一月考]已知函数y＝f(x)，则函数与直线x＝a的交点个数有()A．1个B．2个C．无数个D．至多一个[解析]根据函数的概念在定义域范围内任意一个自变量x都有唯一的函数值对应，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象最多只有一个交点．[答案]D2．函数y＝的值域是()A．RB．{y|y≠0}C．{y|y≠－3}D．{y|y>－3}[解析]∵y＝的定义域为{x|x≠0}，∴值域为{y|y≠0}．[答案]B3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是()A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝|x|D．f(x)＝[解析]函数y＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}；函数f(x)＝|x|的定义域为R；函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1}．所以与函数y＝[答案]A有相同定义域的是f(x)＝.4．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f等于()A．1B．3C．15D．30[解析]∵f[g(x)]＝∴f(1－2x)＝(x≠0)，.令1－2x＝，得x＝，∴f＝＝＝15.[答案]C5．[2014·杭西高一月考]若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)的定义域是()[解析]要使函数有意义，须使解得故函数的定义域为{x|0≤x<1}．[答案]B二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－x，若f()＝2，则a的值是______________________________________________________________________．[解析]f()＝(＝2.)2－＋1)＝0，a＝4.即(－2)([答案]47．[2015·成都七中高一月考]已知函数f(x)＝________．的定义域为R，则k的取值范围是[解析]由题意可得kx2－4kx＋k＋3>0恒成立．①当k＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；②当k≠0时，须使解得0<k<1.综上所得k的取值范围为0≤k<1.[答案]0≤k<18．已知函数f(x)对任意实数x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)成立，则f(0)＝__________，f(1)＝__________.[解析]令x1＝x2＝0，有f(0×0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[答案]00三、解答题9．[2015·长春外国语高一月考]已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为集合A，函数y＝的定义域为集合B.(1)求集合A和集合B；(2)求集合(∁UA)∪(∁UB)．[解](1)要使函数y＝＋有意义，须使解得x≥2.所以集合A＝{x|x≥2}．要使函数y＝有意义，须使解得x≥－2且x≠3.所以集合B＝{x|x≥－2且x≠3}．(2)∵∁UA＝{x|x<2}，∁UB＝{x|x<－2或x＝3}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<2或x＝3}．10．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；(2)求证：f(x)＋f()是定值；(3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2013)＋f()的值．[解](1)∵f(x)＝∴f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝，＋＝1.＋＝1.(2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.(3)由(2)知，f(x)＋f()＝1，∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…f(2013)＋f()＝1.∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2013)＋f()＝2012.1.y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝C．y＝B．y＝－D．y＝－[解析]设y＝(k≠0)，则1＝，∴k＝2.∴y＝[答案]C.2．[2014·福建六校高一月考]由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()xy1425334251A.1B．2C．4D．5[解析]由题意得f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.[答案]B3．[2015·杭西高一月考]某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y与x的函数关系式为________．[答案]y＝2.5x，x∈N4．若f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝__________.[解析]2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①以－x换x得：2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②由①②得：f(x)＝x＋1.[答案]x＋15．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．[解]由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.∴ax＋1＋b＝3x＋2.∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.知识点基础中档稍难作函数的图象及应用458求函数解析式及函数值1、2、3、6、97、10一、选择题1．若g(x＋2)＝2x＋3，g(3)的值是()A．9C．5B．7D．3[解析]解法一：令x＋2＝3，则x＝1.∴g(3)＝2×1＋3＝5.解法二：令x＋2＝t，则x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3.∴g(3)＝5.[答案]C2．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是()A．g(x)＝2x＋1B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3D．g(x)＝2x＋7[解析]解法一：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1；解法二：g(x)＝f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1.[答案]B3．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值为()A．5C．6B．－5D．－6[解析]由f(1)＝f(2)＝0，得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.[答案]C4．垂直于x轴的直线与函数y＝＋图象的交点有()A．0个C．2个B．1个D．1个或0个[解析]f(x)定义域为(0，＋∞)，当x＞0时，有一个交点，当x≤0时无交点．[答案]D5．[2014·吉林实验中学高一期中]李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是()[解析]由题意知当时间t＝0时，离家的距离不应为0，故排除A、B.又因为一开始慢，到最后快，比较C、D，只有D符合题意．[答案]D二、填空题6．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f[的值等于________．][解析]∵f(3)＝1，＝1，∴f[]＝f(1)＝2.[答案]27．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1，则f[g(x)]＝________________________________________________________________________.[解析]f[g(x)]＝[g(x)]2－1＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.[答案]x2＋2x8．[2014·江西三校联考]一水池有2个进水口，1个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．[解析]设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，因为至少打开一个水口，所以是所有水口都打开，进出均衡．故③不正确．[答案]①三、解答题9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域．[解](1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以函数的定义域是[－3,0]∪[1,4]．(2)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的纵坐标的取值范围是－2≤p≤2，所以函数的值域是[－2,2]．10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．[解]因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：xy……－2－5－10031423304－5……描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．1.已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是()[解析]A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无元素与之对应．[答案]C2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图)，不含端点，则f[f()]＝()A．－C．－B.D.[解析]可求得f(x)＝∴f()＝－1＝－，∴f[f()]＝f(－)＝－＋1＝[答案]B.3．[2015·盐城中学期中]设函数f(x)＝[解析]∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2，，则f[f(－1)]的值为________．∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋2－2＝4.[答案]44．[2014·福建六校高一联考]已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝______.[解析]因为f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.[答案]25．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．[解]根据题意可得d＝kv2S(k≠0)．∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，解得k＝.∴d＝v2S.当d＝时，可解得v＝25.∴d＝知识点基础中档稍难分段函数求值3、65、8分段函数的图象映射的问题741、29、10一、选择题1．[2014·成都七中高一月考]已知P＝{a，b}，Q＝{－1,0,1}，f是从P到Q的映射，则满足f(a)＝0的映射个数为()A．2B．3C．4D．5[解析]由题意得满足f(a)＝0的有或或共3个．[答案]B2．[2015·米易中学月考]设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，从A到B的映射f：(x，y)―→(x＋y，x－y)的映射下，B中的元素为(4,2)对应的A中元素为()A．(4,2)C．(6,2)B．(1,3)D．(3,1)[解析]∵从A到B的映射f：(x，y)―→(x＋y，x－y)，B中元素为(4,2)∴，解得x＝3，y＝1.∴集合A中的元素为(3,1)．[答案]D3．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)＝()A．－2C．27B．7D．－7[解析]f(1)＝f(1＋3)＝f(4)＝42＋1＝17，f(3)＝32＋1＝10，∴f(1)－f(3)＝7.[答案]B4．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为()[解析]根据题意，小王在0～20分钟内行驶路程为a，在20～30分钟内行驶路程为0，在30～60分钟内行驶路程为a，故选D.[答案]D5．函数y＝的最大值是()A．3C．5B．4D．2[解析]作出分段函数的图象如图，观察图象，y的最大值为f(1)＝4.[答案]B二、填空题6．设函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.[解析]当x>2时，有2x0＝8，得x0＝4；当x≤2时，有x＋2＝8，得x0＝－或(舍去)．综上x0＝4或x0＝－[答案]4或－.7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________.[解析]由函数f(x)的图象可知，f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2.[答案]28．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是__________．[解析]当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，∴x0<－2；当x0>0时，由>1，得x0>1.∴x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案](－∞，－2)∪(1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝(1)求f{f[f(5)]}的值；(2)画出函数的图象．[解](1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f{f[f(5)]}＝－1.(2)图象如下图所示．10．[2015·成都七中高一月考]成都市出租车的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆出租车行驶8km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解](1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝＝.(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．1.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]C．[－3,1]B．[－4，－3]∪[1,4]D．[－3,4][解析]根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3，1]上单调递增．[答案]C2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k＞B．k＜C．k＞－D．k＜－[解析]当2k＋1＝0时，不符合题意∴2k＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k＋1＜0，即k＜－[答案]D.3．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是__________．[解析]作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．[答案](－∞，＋∞)4．[2015·辽宁实验高一月考]f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．[解析]由f(x)在[0，＋∞)上为减函数且有f(x)<f(－2x＋8)，所以有整理得解得<x≤4.所以不等式的解集为{x|<x≤4}．[答案]{x|<x≤4}5．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．[解]f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．知识点基础1、36中档5稍难证明或判断单调性求函数的单调区间单调性的应用94、72、810一、选择题1．函数y＝1－()A．在(－1，＋∞)内单调递增B．在(－1，＋∞)内单调递减C．在(1，＋∞)内单调递减D．在(1，＋∞)内单调递增[解析]可知y＝在(1，＋∞)内单调递减，∴y＝1－在(1，＋∞)内单调递增．[答案]D2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析]因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.[答案]C3．[2015·江西新余高一段考]下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－|x|D．f(x)＝－[解析]函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数；函数f(x)＝x2－3x在(－∞，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数；函数f(x)＝－|x|在(－∞，0]上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；函数f(x)＝－故选D.在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，＋∞)上为增函数．[答案]D4．已知函数f(x)＝若f(2－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－∞，)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]f(x)＝作出f(x)的图象(如右图)．由图象可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f(2－2a)>f(a)⇒2－2a>a.解得a<[答案]C.5．[2014·长春外国语高一月考]定义在R上的函数满足A．f(a)>f(2a)B．f(a2)<f(2a)D．f(a＋3)>f(a－2)>0，(x1≠x2)，则下面成立的是()C．f(a2＋1)>f(3a)[解析]由>0且x1≠x2得f(x)在R上为增函数，因为a与2a，a2与2a，a2＋1与3a都无法比较大小，故排除A、B、C，由a＋3－(a－2)＝5>0得a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2)，故选D.[答案]D二、填空题6．函数f(x)＝则f(x)的递减区间是__________．[解析]画出函数f(x)的图象，如图易知f(x)的递减区间是(－∞，1)．[答案](－∞，1)7．若函数f(x)＝－|x|在区间[a，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．[解析]函数f(x)＝－|x|的单调递减区间为[0，＋∞)，依题意得[a，＋∞)⊆[0，＋∞)，所以a≥0.[答案][0，＋∞)8．[2015·周口高一检测]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝围是__________．在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范[解析]由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.∴0<a≤1.[答案](0,1]三、解答题9．[2014·江西新余高一段考]已知函数f(x)＝(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．[解](1)f(x)的图象如下图．(2)函数f(x)在[－1,0]及[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．由图象知值域为[－1,3]．10．[2014·长春外国语高一月考]已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0，f(x)>1.(1)求证：f(x)为R上的单调递增函数；(2)若f(4)＝5，求解不等式f(3m2－m－2)<3.[解](1)证明：在R上任取x1，x2，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋1＝1－f(x2－x1)，因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1.故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)为R上的单调递增函数．(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.由此可得f(3m2－m－2)<f(2)，由(1)可知f(x)为R上的单调递增函数，所以3m2－m－2<2，解得{m|－1<m<}．1.函数f(x)的图象如右图，则函数的最大、最小值分别为()A．f()、f(－)B．f(0)、f()C．f(0)、f(－D．f(0)、f(3))[解析]由图象可知，当x＝0时，对应点最高，故最大值为f(0)，同理最小值为f(－)．[答案]C2．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值为()A．10,6C．8,6B．10,8D．以上都不对[解析]本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.[答案]A3．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝________.[解析]∵函数f(x)＝在[1，b]上为减函数，∴f(x)＝在[1，b]上的最小值为f(b)，∴＝，即b＝4.[答案]44．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________.[解析]易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，∴ymin＝，ymax＝1，∴ymax－ymin＝1－＝.[答案]5．[2015·江西新余高一月考]已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．[解](1)∵二次函数y＝x2－4x＋5的对称轴为x＝2且开口向上，∴二次函数在x∈[－1,0]上是单调递减的．∴ymin＝02－4×0＋5＝5.(2)当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上是单调递增的，ymin＝a2－4a＋5；当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上是单调递减的，ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2；当a<2<a＋1即1<a<2时，ymin＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为知识点基础中档稍难利用图象求函数最值1、67利用单调性求函数最值二次函数的最值2593、48、10一、选择题1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]由函数最大值的概念知②③正确．[答案]C2．当x∈(0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f()]C．[f()，f(5)]D．[c，f(5)][解析]函数f(x)＝3x2－4x＋c的对称轴为x＝，且开口方向向上．故x∈(0，)时为减函数，x∈[，5]时为增函数，且f(0)<f(5)，故f(x)的值域为[f()，f(5)]．[答案]C3．[2015·衡水中学高一调研]函数f(x)＝(x∈R)的值域是()A．(0,1)C．[0,1)B．(0,1]D．[0,1][解析]∵x∈R,1＋x2≥1，∴0<[答案]B≤1.4．[2014·荆州中学期中]某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元C．120万元B．60万元D．120.25万元[解析]设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15－x)辆，根据题意，总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x)，(0≤x≤15，x∈N)整理得：y＝－x2＋19x＋30.函数的对称轴为x＝y取得最大值120万元．，∵x∈N，∴x＝9或10时，[答案]C5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－D．－[解析]若－x＋a＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a≥x－1对任意x∈(0，]恒成立．设f(x)＝x－1，则a≥[f(x)]最大值．可知f(x)在(0，]上单调递增．∴f(x)max＝f()＝－1＝－.∴a≥－.[答案]D二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是______，最大值是______．[解析]函数y＝f(x)在[－4,6]上的图象的变化趋势如下图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6)．[答案]f(－2)f(6)7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__________．[解析]由题意知f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.[答案](1,3]8．[2014·吉林一中高一期中]函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－取值范围是_________________．，－4]，则m的，∵f(0)＝f(3)[解析]y＝x2－3x－4＝(x－＝－4，∴m∈[，3]．)2－，对称轴为x＝，且f()＝－[答案][，3]三、解答题9．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及最小值.[解]f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.10．[2014·湖北荆州高一期中]湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元，x为整数．(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出最大值．[解](1)依题意y＝∴y＝定义域为{x∈N＋|7＜x＜40}(2)∵y＝∴当7＜x≤20时，则x＝16，ymax＝32400(元)当20＜x＜40时，则x＝23或24，ymax＝27200(元)综上，当x＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．1.[2014·重庆高一月考]下列函数中是奇函数的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝－x3C．f(x)＝|x|D．f(x)＝x＋1[解析]由奇偶函数的定义得f(x)＝x2为偶函数，f(x)＝－x3为奇函数，f(x)＝|x|为偶函数，f(x)＝x＋1为非奇非偶函数．[答案]B2．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是()A．(－3，－2)B．(3,2)C．(2，－3)D．(3，－2)[解析]∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)∴f(3)＝－2.故f(x)的图象过(3，－2)．[答案]D3．[2015·豫东、北高一联考]若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋2是偶函数，则f(m＋1)＝________.[解析]根据偶函数的性质得2m＝0，解得m＝0，所以函数f(x)＝－x2＋2，故有f(m＋1)＝f(1)＝1.[答案]14．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．[解析]设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x又∵y＝f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，故f(x)＝[答案]f(x)＝5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象．(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)<f(1)．知识点基础中档稍难函数奇偶性的判断函数奇偶性的应用利用函数奇偶性求解析式54、7、101、2、638、9一、选择题1．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2C．1B．－1D．2[解析]解法一：由题意，f(－x)＝f(x)，即(1－x)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，即x2＋(a－1)x－a＝x2＋(1－a)x－a，∴a－1＝1－a，则a＝1.解法二：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，则对称轴x＝[答案]C＝0解得a＝1.2．[2014·云南玉溪期中]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是()A．a≤－2B．a≥2D．－2≤a≤2C．a≤－2或a≥2[解析]因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)是减函数，所以f(x)在(－∞，0]是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.[答案]D3．[2015·哈师大附中高一期中]已知x>0时，f(x)＝x－2013，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x<0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝x＋2013B．f(x)＝－x＋2013C．f(x)＝－x－2013D．f(x)＝x－2013[解析]设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x－2013，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋2013，故选A.[答案]A4．[2014·湖南高考]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3C．1B．－1D．3[解析]解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.[答案]C5．[2014·课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数B．|f(x)|g(x)是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[解析]由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.[答案]C二、填空题6．已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x2＋x－1，则当x＞0时，f(x)的递减区间是________．[解析]当x＜0时，函数f(x)＝2x2＋x－1在(－∞，－]上是递减的，又函数f(x)为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x＞0时，f(x)的递减区间是[，＋∞)．[答案][，＋∞)7．[2014·课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．[解析]∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)>f(2)，∴|x－1|<2，∴－2<x－1<2，∴－1<x<3，∴x∈(－1,3)．[答案](－1,3)8．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.[解析]∵f(x)是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f(3)＝－1，f(6)＝4.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.[答案]－7三、解答题9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]．(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值．[解](1)∵函数f(x)是偶函数，∴定义域关于原点对称．∴a－1＋2a＝0，解得a＝∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b..又f(x)为偶函数．∴f(－x)－f(x)＝0，即x2－bx＋1＋b－(x2＋bx＋1＋b)＝0，∴b＝0.∴a＝，b＝0.(2)由(1)知函数f(x)＝x2＋1，定义域为[－(0，]，所以f(x)max＝f()＝f(－)＝，]，则f(x)的减区间为[－，0]，增区间为.10．[2014·江苏盐城期中]已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．＞[解]当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶