四年级奥数b第五章-容斥原理(二)课件

金杯数学（4b）

天津科学技术出版社金杯数学（4b）天津科学技术出版社听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。会不会很难啊，看起来挺复杂的！听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。会不会很难啊，看起来一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！------请问，小明爷爷奶奶家有多少人？？小明家5个人（爸爸、妈妈、小明、爷爷、奶奶）小明叔叔家5个人（叔叔、婶婶、妹妹爷爷、奶奶）小明伯伯家5个人（伯伯、伯母、姐姐、爷爷、奶奶）这还不简单，3×5=15（个）同学们你们觉得小尼回答正确吗？一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！小明家5个人现在不知道，等我们学了今天的课程，就知道是怎么一回事了！现在不知道，【知识领航】容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物之间的包含与排除关系，而且也运用于三个事物之间。有时要试着从问题的另一面去思考，如“3人跳绳比赛获奖，1人跳绳、踢毽子两项都获奖”就要想到“只有跳绳比赛获奖的有2人”。【知识领航】容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物【方法点拨

】容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有甲、乙、丙三类，那么，甲类或乙类或丙类物体的个数=甲类物体的个数+乙类物体的个数+丙类物体的个数－既是甲类又是乙类的物体个数－既是甲类又是丙类的物体个数－既是乙类又是丙类的物体个数－既是甲类又是乙类而且是丙类的物体个数的2倍。【方法点拨】容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有【技巧感悟】

分析：答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，根据题意，答对第一题和第二题的总人数是52+49=101人，但其中两题都答对的43人被算了两次，用101－43=58人就得到至少有一题答对的人数。所以两题都答得不对的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答对一题的有58人，两题都没答对的有4人。第一题(52-43)人第二题(49-43)人？例1：四年级某班62个同学在课堂小测验中，答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人。至少答对一题的有多少人？两题都没答对的有几人？【技巧感悟】分析：答对第一题的有52人，答对第二题的有4【热身演练】某班有40个学生，其中15人参加数学兴趣小组，18人参加航模兴趣小组，有10人两个小组都参加，那么有几个人两个小组都不参加？(1)共40人数学15人航模18人10？【热身演练】某班有40个学生，其中15人参加数学兴趣小组，例2、育才小学举办学生美术作品展览。其中有22幅不是四年级的，有26幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有12幅，其他年级参展的作品共有多少幅？

分析：由题意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；26幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。22+26=48幅，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的12幅即可得到两个一、二、三、六年级参展的作品总数，再除以2，就求出了其他年级参展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年级参展的作品共有18幅。例2、育才小学举办学生美术作品展览。其中有22幅不是四年级的【热身演练】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅不是六年级的，有15幅画不是五年级的。五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？(2)【热身演练】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：会下棋的有48人，所以不会下棋的有52－48=4人；同样，不会画画的有52－37=15人；不会跳舞的有52－39=13人。三项中有一个项目不会的最多有4+15+13=32人，因此，三项都会的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：这个班三项都会的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，【热身演练】四（1）班有54人参加秋游活动，其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋。这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢？(3)【热身演练】四（1）班有54人参加秋游活动，其中35人喜欢例4、四（3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有15人，既喜欢数学又喜欢自然的有12人，既喜欢作文又喜欢自然的有14人；三门都喜欢的有8人。求全班的总人数。

分析与解

：如下图：

【技巧感悟】（1）将喜欢作文、数学、自然的人数加起来：30+32+21=83（人）答：全班的总人数是50人。7648数学13作文9自然3（2）对两门学科感兴趣的已在上面重复统计了一次，应排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）对三门都感兴趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括号中加了三次，但在（2）式中又被减去了三次，也就是同时对三门感兴趣的都被排除在外，还必须补回来：42+8=50（人）综合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣【热身演练】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小组的有35人，参加语文小组的有38人，参加外语小组的有28人，同时参加数学、语文两个小组的有8人，同时参加数学、外语两个小组的有12人，同时参加语文、外语两个小组的有10人，三个小组都参加的有4人。这个学校参加课外兴趣小组的共有多少人？(4)【热身演练】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小例5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

分析：全班学生由两部分人组成，一部分是三个项目都没有达到优秀的4人，另一部分是至少有一项达到优秀的人，所以关键是求出至少有一个项目达到优秀的学生数。【技巧感悟】求这个班的学生人数。项目短跑游泳篮球短跑游泳短跑篮球游泳篮球短跑游泳篮球人数171815

6

5

6

2例5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的【技巧感悟】

解法一：如下图所示，把每个项目达到优秀的人数用圆圈表示。先填短跑、游泳、篮球三个项目都优秀的人数（2人），4人4人短跑8人篮球6人游泳8人3人

2人最后考虑单项优秀的学生数，由于篮球有15人优秀，从图中可知，篮球优秀的已有3+2+4=9（人），则在篮球的圈中，单项优秀的人数为15－9=6（人）；同样道理，游泳单项优秀的人数为18－（2+4+4）=8（人）；短跑单项优秀的人数为17－（4+2+3）=8（人）。这样一来，短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数就是2＋3＋4＋4＋6＋8＋8=35（人），全班人数是：35+4=39（人）。再填篮球、短跑都优秀的人数（5人），但是，前面三项都优秀的人数已包含两项优秀的人数，所以在短跑与篮球的交界处只要填5－2=3（人）；同样道理，在短跑与游泳的交界处只要填6－2=4（人）；在游泳与篮球的交界处只要填6－2=4（人）；【技巧感悟】解法一：如下图所示，把每个项目达到优秀的人【技巧感悟】

解法二：与例４的解法相同。先把三个单项的人数相加，在减去两项都优秀的人数之和，然后再加上三项都优秀的人数，这样就求出了短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数，最后再加上三项都没有达到优秀的人数就得到了全班人数。（17+18+15）－（6+5+6）+2=35（人）答：这个班的学生人数是39人。

35+4=39（人）【技巧感悟】解法二：与例４的解法相同。先把三个单项的人小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有?小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有?金杯数学（4b）

天津科学技术出版社金杯数学（4b）天津科学技术出版社听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。会不会很难啊，看起来挺复杂的！听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。会不会很难啊，看起来一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！------请问，小明爷爷奶奶家有多少人？？小明家5个人（爸爸、妈妈、小明、爷爷、奶奶）小明叔叔家5个人（叔叔、婶婶、妹妹爷爷、奶奶）小明伯伯家5个人（伯伯、伯母、姐姐、爷爷、奶奶）这还不简单，3×5=15（个）同学们你们觉得小尼回答正确吗？一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！小明家5个人现在不知道，等我们学了今天的课程，就知道是怎么一回事了！现在不知道，【知识领航】容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物之间的包含与排除关系，而且也运用于三个事物之间。有时要试着从问题的另一面去思考，如“3人跳绳比赛获奖，1人跳绳、踢毽子两项都获奖”就要想到“只有跳绳比赛获奖的有2人”。【知识领航】容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物【方法点拨

】容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有甲、乙、丙三类，那么，甲类或乙类或丙类物体的个数=甲类物体的个数+乙类物体的个数+丙类物体的个数－既是甲类又是乙类的物体个数－既是甲类又是丙类的物体个数－既是乙类又是丙类的物体个数－既是甲类又是乙类而且是丙类的物体个数的2倍。【方法点拨】容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有【技巧感悟】

分析：答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，根据题意，答对第一题和第二题的总人数是52+49=101人，但其中两题都答对的43人被算了两次，用101－43=58人就得到至少有一题答对的人数。所以两题都答得不对的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答对一题的有58人，两题都没答对的有4人。第一题(52-43)人第二题(49-43)人？例1：四年级某班62个同学在课堂小测验中，答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人。至少答对一题的有多少人？两题都没答对的有几人？【技巧感悟】分析：答对第一题的有52人，答对第二题的有4【热身演练】某班有40个学生，其中15人参加数学兴趣小组，18人参加航模兴趣小组，有10人两个小组都参加，那么有几个人两个小组都不参加？(1)共40人数学15人航模18人10？【热身演练】某班有40个学生，其中15人参加数学兴趣小组，例2、育才小学举办学生美术作品展览。其中有22幅不是四年级的，有26幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有12幅，其他年级参展的作品共有多少幅？

分析：由题意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；26幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。22+26=48幅，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的12幅即可得到两个一、二、三、六年级参展的作品总数，再除以2，就求出了其他年级参展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年级参展的作品共有18幅。例2、育才小学举办学生美术作品展览。其中有22幅不是四年级的【热身演练】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅不是六年级的，有15幅画不是五年级的。五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？(2)【热身演练】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：会下棋的有48人，所以不会下棋的有52－48=4人；同样，不会画画的有52－37=15人；不会跳舞的有52－39=13人。三项中有一个项目不会的最多有4+15+13=32人，因此，三项都会的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：这个班三项都会的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，【热身演练】四（1）班有54人参加秋游活动，其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋。这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢？(3)【热身演练】四（1）班有54人参加秋游活动，其中35人喜欢例4、四（3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有15人，既喜欢数学又喜欢自然的有12人，既喜欢作文又喜欢自然的有14人；三门都喜欢的有8人。求全班的总人数。

分析与解

：如下图：

【技巧感悟】（1）将喜欢作文、数学、自然的人数加起来：30+32+21=83（人）答：全班的总人数是50人。7648数学13作文9自然3（2）对两门学科感兴趣的已在上面重复统计了一次，应排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）对三门都感兴趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括号中加了三次，但在（2）式中又被减去了三次，也就是同时对三门感兴趣的都被排除在外，还必须补回来：42+8=50（人）综合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣【热身演练】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小组的有35人，参加语文小组的有38人，参加外语小组的有28人，同时参加数学、语文两个小组的有8人，同时参加数学、外语两个小组的有12人，同时参加语文、外语两个小组的有10人，三个小组都参加的有4人。这个学校参加课外兴趣小组的共有多少人？(4)【热身演练】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小例5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

分析：全班学生由两部分人组成，一部分是三个项目都没有达到优秀的4人，另一部分是至少有一项达到优秀的人，所以关键是求出至少有一个项目达到优秀的学生数。【技巧感悟】求这个班的学生人数。项目短跑游泳篮球短跑游泳短跑篮球游泳篮球短跑游泳篮球人数171815

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2例5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的【技巧感悟】