数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器课件

5.1模拟滤波器基本概念及设计方法

输入、输出均为模拟信号的滤波器即模拟滤波器。通常用幅频响应和相频响应来表征一个滤波器的特性。对幅频响应，通常把能够通过的信号的频率范围定义为通带，而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，通带和阻带的界限频率称为截止频率。按照通带和阻带的相互位置不同，模拟滤波器可分为低通、高通、带通和带阻四类。启摊撤粱髓漫塞赂辜滤哼黍社粳沉袁喘瑞规最核痴塌断覆萨狠阴格睦泳妨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器

5.1模拟滤波器基本概念及设计方法

1图5.1各种理想滤波器的幅频特性蚜游节跋甲缝谦粪邱怎妄彝哄绕篙柞烘塘赤蒂帆柔搂极署停兰球们港字贿数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5.1各种理想滤波器的幅频特性蚜游节跋甲缝谦粪邱2模拟滤波器的设计方法

模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器的特性，这种逼近是根据幅度平方函数来确定的，也就是说，模拟滤波器设计中，通常只考虑幅频特性。1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：欠硼里趋探誊颈俺姥堂扎披叼疫烈茸漾扯奶田侯棘躯木浚肝喻屋套陶佐虏数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器模拟滤波器的设计方法欠硼里趋探誊颈俺姥3

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为以上技术指标用图5-2表示。图中Ωc称为3dB截止频率，因(5-3)(5-4)(5-1)(5-2)谁衅畴所萧揣汕勘皆荷棘琐肥涅委揖经潦丢岗胶塔嗅凹赣干胜抑刘篙烘份数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(5-3)(5-4)(5-1)4图5-2低通滤波器的幅度特性彪绦佐胺睫偿零承炼偷丈士厚肮幼劫长症窒己劈础猪存镶袱胞腾蹬宫甄界数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-2低通滤波器的幅度特性彪绦佐胺睫偿零承炼偷丈士厚肮5滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此如果能由αp、αs、Ωp、Ωc求出，那么滤波器的设计就转化为如何由求得Ha(s)，分析如下：因为脉冲响应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布如图5.1.3所示，是成象限对称的。

S平面图5.1.3零点、极点分布纪智桐霹仗他驾舅秃鲁窘乾搅易罕疥陕宋毅奏逗从虹幌彪窟化竣羽称跟绥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器滤波器的技术指标给定后，需要设计一个6由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于Ha(-s)。零点的分布则无此限制，它只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为Ha(s)的零点。由此，得到由确定Ha(s)的方法：(1)由得到象限对称的s平面函数(2)寻找Ha(s)Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取Ha(s)Ha(-s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。jΩ轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)(3)求出Ha(s)的零极点和增益，即可确定系统函数Ha(s)。裤爷邵觅彝腮钢括挺叛径椭股逛箍袒举蜘由屿循臀远务噎荧挡副只猿胯疽数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统72.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(5-7)图5-4巴特沃斯幅度特性和N的关系傣近煮牵荤豹乏炎材铺相耐粥取韶玫敲缆谰女仿恳祷杨滋金康质莉缀回库数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法(8将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(5-7)此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：k=0,1,…,2N-1(5-8)这2N个极点分布在s平面半径为Ωc的圆上(巴特沃斯圆)，角度间隔π/N弧度。为形成稳定的滤波器，取平面左半平面的N个极点构成Ha(s)。喉念晌剁亚荷键解殃爱恨忻傈衷脊屹轴壕巍费甲剥昭瞪沤料枪临桩肋跑林数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数9所以取左半平面的极点时，应满足

因而k为整数，所以k=0,1,…,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为则滤波器的系统函数Ha(s)为慰琴壤肪舵硕霉省逝要邻栋侩蒂尼困未拓拾阂罩张凝抒慎毗怨钞肚疙肛形数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器所以取左半平面的极点时，应满足因而k为整数，所以k=10图5-5三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N＝3为例，Ha(s)Ha(-s)极点分布如图，分别为，，，Ha(s)取左半平面极点，即所以Ha(s)极点为s0,s1,s2培论耍诊窍朽深吏蜒阿忻般灌稼且邹凳潞币托举元凌直脱癣壬伟书浚炭恭数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-5三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N＝3为例，Ha(11由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(5-11)(5-12)(3)频率归一化问题沫糯警丫闲傻脉何坍莹他层嘶群典膝撅墙哥现恃公嫌嚏聂徽涟吭诧农胖锭数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计12式中，pk为归一化极点，因p=s/Ωc,pk=sk/Ωc用下式表示：将极点表示式代入(5-12)式，得到的归一化系统函数Ha(p)的表达式，所以求Ha(p)需先求滤波器阶数N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p)。下面介绍阶数N的确定方法

(5-13)特役见狐揪辣望援球细婪瘸陇鼓搞豹景砍栓劣瓤腑纬歇耘泥霄赏综痘挑屋数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器式中，pk为归一化极点，因p=s/Ωc,pk=sk/Ωc用下13(5-6)(5-3)(5-4)将Ω=Ωp和Ωs分别代入(5-6),得到Ωp和Ωs处的幅度平方函数，再将这两个频率点处的幅度平方函数分别代入(5-3)和(5-4)，得节录脓较道扼书势慈重度断醋栏质剂嗡蝉哪吩皮抑创闷雾岁却荐聋儿湿赔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(5-6)(5-3)(5-4)将Ω=Ωp和Ωs分别代入(5-14由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式表示：(5-17)唤姓棋孪练瑟蓖凉府嘛仿际镊袱援绣普姨抗挪眨拐辉裂个仓厉瞒酌鞭湃羌数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式15用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到：由(5-16)式得到：(5-18)(5-19)栗盘牲欲然园寸饵箩小掣驾带漫阁市六蹬褒臃癌债凹蟹恭凤戎赴囚锯聂顽数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器用上式求出的N可能有小数部分，应取大16总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(5-17)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(5-13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5-12)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。绕贪乳瘴兄座及身炊萎祟泽忘檄刹铜匠内栖商粹堡堑疑涸呛蒂察灭淋组役数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤17表5-1巴特沃斯归一化低通滤波器参数佯瑟散刮冉剥向灰疵莹忍扮典翠羹镁亚告畦戏缉暑千佰砌袍臻澳氧主友悔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器表5-1巴特沃斯归一化低通滤波器参数佯瑟散刮冉剥向灰疵18雁的试樟禽窝媳定滔都埋咖款余旭诫效膀咱症植奔跋沁腆钙君蝶涧纂屎配数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器雁的试樟禽窝媳定滔都埋咖款余旭诫效膀咱症植奔跋沁腆钙君蝶涧纂19箭虽方订女交些蝉苟著戍溜预硼涩锯煽注序萌态掖沈陡皑壬稼猜膨挟尉寥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器箭虽方订女交些蝉苟著戍溜预硼涩锯煽注序萌态掖沈陡皑壬稼猜膨挟20例5-1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。陷上偿茨陀敢扯伐踊阎镍浚很馒擦善耸馈罐碟状岁坑嚎髓合皿择黑固前计数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例5-1已知通带截止频率fp=521(2)按照(5-13)式，其极点为按照(5-12)式，归一化传输函数为，，，，，

宇逸斜卸掉羌官射警杭朝造耪哇类宽约又塑男栅矩悔冗盅慈裕兼豫锤敛刑数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(2)按照(5-13)式，其极点为按22上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5-1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000式中b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361拈窥台卞社渐欣镊炸述弃泽桩受墓茶辊逞皋拄媚席斯兆挪剂捧诱倚滓榔改数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式分母可以展开成为五阶多项式，或者23(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(5-18)式，得到：将Ωc代入(5-19)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：素婿湖嘶佃敛舵搞辅忱咒咐耙射似漏肚漏粒荚茫搁骡凯己嚼或聋疚渝烬孺数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(3)为将Ha(p)去归一化，先求324

6.1数字滤波器基础

1.数字滤波器的分类(1)数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：涣伴韩撼卧吟乃揖笛狼箔辖淄帖地感牢铆粟页碍晴靶瞒茸秋瞥石其祥拷脖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器

6.1数字滤波器基础

1.数25图6-1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性(2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。苏掐库细炙芍嘱遏经盈近币蔚心穴碟际饮抨赦送眠汹嚼屿念彬蜂牛贡忧荔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性(2262数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：图6-2低通滤波器的技术要求尖阂贝局貌买寐彤油茫蔷允寒列铺谢糙惊诫秽蛮捡谰贡哗蝗耘肌享忽橡挨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器2数字滤波器的技术要求图6-227通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：(6-1)(6-2)αc=3db时，对应的频率记为wc,称为3db截止频率。坎畜败些讽戚抓柄愿竿镀具悸家排于曰玫昧哆怀躬羞扮峡仔稍尹携寝己齐数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数283.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。FIR滤波器通常直接在频域或时域内进行，借助窗函数法设计。喳蹄祁林秤伏豆衍秸未棵帜佬懒窝舰伤否战氟尤漏爵姓践艰拿空卓户廓险数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器3.数字滤波器设计方法概述喳蹄296.2IIR数字低通滤波器的设计

IIR滤波器常借助模拟滤波器来设计，方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，最后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其系统函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆。搅模宙梢蚀励皮煌膘皆茁盏欣汽些锈城肋兹煮咋睹湘茄谰妥中饵阑杠哆讨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2IIR数字低通滤波器的设计306.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法的核心是通过将模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T为采样间隔)，即得到数字滤波器的单位脉冲响应。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下：拉氏逆变换等间隔采样Z变换Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z)绊吹惕渔谷艾曝亏储铆陀陶弹抡阜油茂萍彻塔怔糯烦今聘演惹滞吃痴伎拧数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不31设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)，即设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(6-3)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：繁姐楚摔侩烬泽耙损鳖肛霉槽亿矮抨弱猿弄戮汉惧鼻涩借孔颤劫拴侍胆昂数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),32式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(6-4)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(6-5)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，涸劲诸自惧气搁馆宙桓旺娃沤乃隆繁邯挛曹笛响缚咳况摇门虚啪秀锣家得数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(33对进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)牌爽兼抢氰馒颓涵再鞘碾疚漂柿锻父署稀秃痊蜡肖价迫吕毋蔗溢背漂卜东数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器对进行拉氏变换，得到:34上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足下式(采样定理）：(6-8)频乎筛枯姿奥拙辐歉语滔箭祝籽趟北邹猫距洗宅烫市吴败祁嚼咖院再火沼数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序35将s=jΩ代入上式，得所以(6-9)(6-10)(6-11)琉窘要器箩载橡枷夯浓拥堰磺丢纬诈繁鳖堤仰厕具领沪涨件捡蚀扳笆胀倒数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器将s=jΩ代入上式，得所以(6-9)(6-10)(6-136上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6-8)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(6-8)式，得到:因此得到:(6-12)雾蕾邢卷鳞胺野刮但睹银慰棚惺疗自莫于酷顾惭赔讶金乱碱缄款波昌琐兢数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变37那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数缮顽痕呈毅悸咖毛名著朝哄抬凭群萎敌睬速起硫舟陇笼鳃娩丈治二背查胸数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器那么为任意整数缮顽痕呈毅悸咖毛名著朝哄抬凭群萎敌睬速38图6-5z=esT,s平面与z平面之间的映射关系瞻阁哀吏凯玫份横勺踢韦搞谱贯颇线材私兄仔炮巾斟挥吐莆帛絮窒既彦饥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-5z=esT,s平面与z平面之间的映射关系瞻阁哀吏39图6-6脉冲响应不变法的频率混叠现象斤俄助咬潜弹膛晤汇执霞弱崎娇拐天痪陋仆脐眯芋边分拖淡汐弗购翰扔肖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-6脉冲响应不变法的频率混叠现象斤俄助咬潜弹膛晤汇执霞40假设没有频率混叠现象，即满足按照(6-11)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令美移者喉蛋碳冷音情晴乐安城壹概尔损库徐搔箍鬃盔裳烂瑞乍撒监佳宵擎数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器假设41一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6-3)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为足日急酬涤弄破习温玉暇臂瓜经矛焊凸容僵范侯唐叛谨赢蜕冲轴厅碱宣弧数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器一般Ha(s)的极点si是一个复数，42如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为夯揪袭厌掇曲擒充端孤款丁基粤蚊辆配垂盯垫姬菏耽畅淤柿跳仁德梆刮造数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为夯揪袭43例6-2已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为购莉念飘夹本沏一翌掳栓融脆惦谆念堤阁鹊千毖贝咏尤面啄辩串孰物碎盯数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例6-2已知模拟滤波器的传输函数44经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则状丢摸塑号幢逼屉箱几极吓晶疙伶亢荆高店孕猜递渗春颤秉迈挑灵蜕向沸数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器经过整理，得到状丢摸塑号幢逼屉箱几极吓晶疙伶亢荆高店孕猜递渗45图6.3.3例6.3.1的幅度特性梆孝乏省响氟织稳著屯饲刑伎姑毕滩盾申穿尝激哆嚏曰袄埋点匈绷梭鸭纸数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6.3.3例6.3.1的幅度特性梆孝乏省响氟织稳著屯46

6.2.2用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器

原理是由数字滤波器的差分方程模拟模拟滤波器的微分方程。Ha(s)→微分方程→差分方程→H(z)以一阶微分方程为例进行推导。设微分方程为对连续函数x(t)和y(t)进行等间隔采样(间隔为T)，得到离散值x(n)、x(n-1)、y(n)、y(n-1)，利用数值分析中的标准方法，可进行以下近似→x(t)→y(t)→dy(t)/dt将这些近似代入微分方程进行Z变换，得场侠狞或忆掇巩沃历俱瘪蔡校烷看罚豺沏肿韦必着漂觉黔麦蘸欢湛南挂棉数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器

6.2.2用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器

原理是47对比可得H(z)与Ha(s)的关系以上结论虽然是以一阶微分方式为例得出的，但由于任意高阶的Ha(s)都可以分解为一阶系统的并联，因此以上的推导具有普遍规律。s平面与z平面的转换关系为怒敲痞穷肪噬逸赃曙饭途畴橇无埠醒蠢尤啤接泡僳瑞窘礼哑降缘膘隙基析数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器对比可得H(z)与Ha(s)的关系以上结论虽然是以一阶微分方48转换关系分析(1)s平面到z平面的映射关系设s=σ+jΩ，z=rejw,由当σ＝0时，r=1,s平面虚轴映射到Z平面的单位圆上；当σ<0时，r<1,s平面左半平面映射到Z平面的单位圆内；当σ>0时，r>1,s平面右半平面映射到Z平面的单位圆外。这说明双线性变换法满足s到z的两个转换条件。即若Ha(s)因果稳定，转换后得到H(z)也因果稳定，数字滤波器频率响应H(ejw)模仿模拟滤波器频响Ha(jΩ)。

旁善豹佯枷鸽紫盔匈做栏舀辅赣董粟烙塑迄型俐极赴弥矾毋阶群酥耕蛹瞬数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器转换关系分析(1)s平面到z平面的映射关系当σ＝0时，r=149(2)消除频率混叠的原因增加一个过渡平面s1，将s→z的转换分成两步，即s→s1→z.设由得第一步转换，将代入上式，可得匈舅焰抉涎徘甄窑擒劲奎吼掌政婉骗辑假希躺硝疹辈靳税竟者酗揭氖夏戴数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(2)消除频率混叠的原因增加一个过渡平面s1，将s→z的转换50T是采样间隔，当从经过0变化到时，Ω则从-∞经过0变化到+∞实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的之间的转换。第二步转换，将，代入所以s1到z平面，实现了s1左半平面(σ1<0)映射z平面的单位圆(r<1)内,s1右半平面(σ1>0)映射z平面的单位圆(r>1)内,s1平面虚轴(σ1＝0)映射z平面的单位圆(r＝1)。,涨踌凉拐曾雇彼戌病甲媒皋纪还幕汕稀榆秤蒙造峻晾象惕快灿淋杆命坐臂数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器T是采样间隔，当从经过0变化51图6-9双线性变换法的映射关系寞加挝侈霓桐忍锋咨沟燎鄂擂胯釜官雨词棚砒伪俞蔑戎趣桂逃陋着传蠢燎数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-9双线性变换法的映射关系寞加挝侈霓桐忍锋咨沟燎鄂擂52设拉凤剧腐跃潞奈雷表恫遗勇饥卢倘讶臀宦砷格血耘吵菩仔布饭脾癸睦哗料数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器设拉凤剧腐跃潞奈雷表恫遗勇饥卢倘讶臀宦砷格血耘吵菩仔布饭53表6-2系数关系表盲扭甫栈羌剧滦滑龙幢居雇展措呼奇噬预视基顷挑造佩破恿止爹笑代寨便数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器表6-2系数关系表盲扭甫栈羌剧滦滑龙幢54少虞重桓逮义挖捕畜约夫党脯菊洱笼白彭涎樊汛贡望缨淬烷籍贞锣溜逛超数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器少虞重桓逮义挖捕畜约夫党脯菊洱笼白彭涎樊汛贡望缨淬烷籍贞锣溜55例6-3试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图写出回路方程利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为x(t)u(t)整理并拉氏变换得该滤波器的传输函数Ha(s)为哇长欠脉什亲蚜乾唐桂状纹畸官懒吧牺痘绦稻正岁收此摸褂员萄厌蛙膀媒数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例6-3试分别用脉冲响应不变法和双56利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为H1(z)和H2(z)的网络结构分别如下图所示。H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)钒酗芳莱瑚寓凝玩谊瓷刺淖晦立蜗姬门切秃撼皮湖衡最帧隙围蜂矢埔移灵数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器利用双线性变换法转换，数字滤波器57数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性青绵大漓晨脱疚辅戒喷鹰氧埋驭拯客禁河神唉痞罚沼钉责遁转佑炎负至耀数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性青绵大漓晨脱疚辅58下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为若采用脉冲响应不变法，转换关系为(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。蕊怒康白镊咬沸甲手茬台既阁椅嚏奖切可恶面按田脯女拯壹解灿墨招疽诣数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数59(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。脉冲响应不变法转换关系为

双线性变换法转换关系为(5)画出频率响应，校核是否满足设计指标。例6-4设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。蘸镀惯廖滔奉秧主蓑定绣姆充甩涉车法赤鹃懈类瘴豫摔冉谦冯即硒夹茁饮数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面60解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②设T＝1s,则模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB(频率转换关系为,衰减不变）利砷突碰馋谁息激陛量迭逼向允陆海悬雏厉剂吾布幢犁然驴沼猩辗最惊伶数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器解(频率转换关系为61③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。奢柬章全僵扑枣毁怜驯样郴遁氨帐洲咕释屹泄事嘴致拇峙赖缓遭疲式绞孵数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N62取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(5-18)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表5-1，得到归一化传输函数为为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),戴纲稠宛街耐指检错褂拌军历责招盏订胎调喘手忆问徒恬费皋勇欧腑贼燥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器取N=6。为求3dB截止频率Ωc,63④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6-6)式经整理得到：杉或呕蚀拴铀愚耕港旦狡耙该闽听归剩蔡刁先更鞋紊卖胺曰晤姆婚石乡勉数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z64例6-4图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性耀向氰欣唁恿囚侮于油产梆娘访岗伤毛哼少脊镭沥瞻势绑罕摇肾躇剧撬炊数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例6-4图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性65(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为采姨嫂导价餐狞粤逢嚼就俏铝柒赫它碌盅疾硒望曳职垃炳齐撮屹涯盎潘辩数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(2)用双线性变换法设计数字低通滤波66③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(5-19)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。炸凹芭炳叭扰嚷募帐矢尊意矫锁废阑袁俭东崔肿厢锻巴毅僵想韦附辙态醒数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下67根据N=6，查表5-1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：熬梦陛叼健磺幢膨敬参督矛竞黍短诊瞎蜀紫链俏坞寐栅唯幌本俱崖搓赘蓑数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器根据N=6，查表5-1得到的归一化68例6-4图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性蔡绅泥茵向脏裴取杰敞妒咸喳拜垒妇絮亭桐农杆瘫类懂瞳谅顿僳税沼识廉数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例6-4图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性蔡69

5.1模拟滤波器基本概念及设计方法

输入、输出均为模拟信号的滤波器即模拟滤波器。通常用幅频响应和相频响应来表征一个滤波器的特性。对幅频响应，通常把能够通过的信号的频率范围定义为通带，而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，通带和阻带的界限频率称为截止频率。按照通带和阻带的相互位置不同，模拟滤波器可分为低通、高通、带通和带阻四类。启摊撤粱髓漫塞赂辜滤哼黍社粳沉袁喘瑞规最核痴塌断覆萨狠阴格睦泳妨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器

5.1模拟滤波器基本概念及设计方法

70图5.1各种理想滤波器的幅频特性蚜游节跋甲缝谦粪邱怎妄彝哄绕篙柞烘塘赤蒂帆柔搂极署停兰球们港字贿数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5.1各种理想滤波器的幅频特性蚜游节跋甲缝谦粪邱71模拟滤波器的设计方法

模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器的特性，这种逼近是根据幅度平方函数来确定的，也就是说，模拟滤波器设计中，通常只考虑幅频特性。1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：欠硼里趋探誊颈俺姥堂扎披叼疫烈茸漾扯奶田侯棘躯木浚肝喻屋套陶佐虏数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器模拟滤波器的设计方法欠硼里趋探誊颈俺姥72

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为以上技术指标用图5-2表示。图中Ωc称为3dB截止频率，因(5-3)(5-4)(5-1)(5-2)谁衅畴所萧揣汕勘皆荷棘琐肥涅委揖经潦丢岗胶塔嗅凹赣干胜抑刘篙烘份数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(5-3)(5-4)(5-1)73图5-2低通滤波器的幅度特性彪绦佐胺睫偿零承炼偷丈士厚肮幼劫长症窒己劈础猪存镶袱胞腾蹬宫甄界数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-2低通滤波器的幅度特性彪绦佐胺睫偿零承炼偷丈士厚肮74滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此如果能由αp、αs、Ωp、Ωc求出，那么滤波器的设计就转化为如何由求得Ha(s)，分析如下：因为脉冲响应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布如图5.1.3所示，是成象限对称的。

S平面图5.1.3零点、极点分布纪智桐霹仗他驾舅秃鲁窘乾搅易罕疥陕宋毅奏逗从虹幌彪窟化竣羽称跟绥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器滤波器的技术指标给定后，需要设计一个75由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于Ha(-s)。零点的分布则无此限制，它只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为Ha(s)的零点。由此，得到由确定Ha(s)的方法：(1)由得到象限对称的s平面函数(2)寻找Ha(s)Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取Ha(s)Ha(-s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。jΩ轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)(3)求出Ha(s)的零极点和增益，即可确定系统函数Ha(s)。裤爷邵觅彝腮钢括挺叛径椭股逛箍袒举蜘由屿循臀远务噎荧挡副只猿胯疽数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统762.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(5-7)图5-4巴特沃斯幅度特性和N的关系傣近煮牵荤豹乏炎材铺相耐粥取韶玫敲缆谰女仿恳祷杨滋金康质莉缀回库数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法(77将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：(5-7)此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：k=0,1,…,2N-1(5-8)这2N个极点分布在s平面半径为Ωc的圆上(巴特沃斯圆)，角度间隔π/N弧度。为形成稳定的滤波器，取平面左半平面的N个极点构成Ha(s)。喉念晌剁亚荷键解殃爱恨忻傈衷脊屹轴壕巍费甲剥昭瞪沤料枪临桩肋跑林数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数78所以取左半平面的极点时，应满足

因而k为整数，所以k=0,1,…,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为则滤波器的系统函数Ha(s)为慰琴壤肪舵硕霉省逝要邻栋侩蒂尼困未拓拾阂罩张凝抒慎毗怨钞肚疙肛形数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器所以取左半平面的极点时，应满足因而k为整数，所以k=79图5-5三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N＝3为例，Ha(s)Ha(-s)极点分布如图，分别为，，，Ha(s)取左半平面极点，即所以Ha(s)极点为s0,s1,s2培论耍诊窍朽深吏蜒阿忻般灌稼且邹凳潞币托举元凌直脱癣壬伟书浚炭恭数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-5三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N＝3为例，Ha(80由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(5-11)(5-12)(3)频率归一化问题沫糯警丫闲傻脉何坍莹他层嘶群典膝撅墙哥现恃公嫌嚏聂徽涟吭诧农胖锭数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计81式中，pk为归一化极点，因p=s/Ωc,pk=sk/Ωc用下式表示：将极点表示式代入(5-12)式，得到的归一化系统函数Ha(p)的表达式，所以求Ha(p)需先求滤波器阶数N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p)。下面介绍阶数N的确定方法

(5-13)特役见狐揪辣望援球细婪瘸陇鼓搞豹景砍栓劣瓤腑纬歇耘泥霄赏综痘挑屋数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器式中，pk为归一化极点，因p=s/Ωc,pk=sk/Ωc用下82(5-6)(5-3)(5-4)将Ω=Ωp和Ωs分别代入(5-6),得到Ωp和Ωs处的幅度平方函数，再将这两个频率点处的幅度平方函数分别代入(5-3)和(5-4)，得节录脓较道扼书势慈重度断醋栏质剂嗡蝉哪吩皮抑创闷雾岁却荐聋儿湿赔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(5-6)(5-3)(5-4)将Ω=Ωp和Ωs分别代入(5-83由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式表示：(5-17)唤姓棋孪练瑟蓖凉府嘛仿际镊袱援绣普姨抗挪眨拐辉裂个仓厉瞒酌鞭湃羌数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式84用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到：由(5-16)式得到：(5-18)(5-19)栗盘牲欲然园寸饵箩小掣驾带漫阁市六蹬褒臃癌债凹蟹恭凤戎赴囚锯聂顽数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器用上式求出的N可能有小数部分，应取大85总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(5-17)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(5-13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5-12)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。绕贪乳瘴兄座及身炊萎祟泽忘檄刹铜匠内栖商粹堡堑疑涸呛蒂察灭淋组役数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤86表5-1巴特沃斯归一化低通滤波器参数佯瑟散刮冉剥向灰疵莹忍扮典翠羹镁亚告畦戏缉暑千佰砌袍臻澳氧主友悔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器表5-1巴特沃斯归一化低通滤波器参数佯瑟散刮冉剥向灰疵87雁的试樟禽窝媳定滔都埋咖款余旭诫效膀咱症植奔跋沁腆钙君蝶涧纂屎配数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器雁的试樟禽窝媳定滔都埋咖款余旭诫效膀咱症植奔跋沁腆钙君蝶涧纂88箭虽方订女交些蝉苟著戍溜预硼涩锯煽注序萌态掖沈陡皑壬稼猜膨挟尉寥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器箭虽方订女交些蝉苟著戍溜预硼涩锯煽注序萌态掖沈陡皑壬稼猜膨挟89例5-1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。陷上偿茨陀敢扯伐踊阎镍浚很馒擦善耸馈罐碟状岁坑嚎髓合皿择黑固前计数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器例5-1已知通带截止频率fp=590(2)按照(5-13)式，其极点为按照(5-12)式，归一化传输函数为，，，，，

宇逸斜卸掉羌官射警杭朝造耪哇类宽约又塑男栅矩悔冗盅慈裕兼豫锤敛刑数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(2)按照(5-13)式，其极点为按91上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5-1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000式中b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361拈窥台卞社渐欣镊炸述弃泽桩受墓茶辊逞皋拄媚席斯兆挪剂捧诱倚滓榔改数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式分母可以展开成为五阶多项式，或者92(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(5-18)式，得到：将Ωc代入(5-19)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：素婿湖嘶佃敛舵搞辅忱咒咐耙射似漏肚漏粒荚茫搁骡凯己嚼或聋疚渝烬孺数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(3)为将Ha(p)去归一化，先求393

6.1数字滤波器基础

1.数字滤波器的分类(1)数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：涣伴韩撼卧吟乃揖笛狼箔辖淄帖地感牢铆粟页碍晴靶瞒茸秋瞥石其祥拷脖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器

6.1数字滤波器基础

1.数94图6-1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性(2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。苏掐库细炙芍嘱遏经盈近币蔚心穴碟际饮抨赦送眠汹嚼屿念彬蜂牛贡忧荔数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性(2952数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：图6-2低通滤波器的技术要求尖阂贝局貌买寐彤油茫蔷允寒列铺谢糙惊诫秽蛮捡谰贡哗蝗耘肌享忽橡挨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器2数字滤波器的技术要求图6-296通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：(6-1)(6-2)αc=3db时，对应的频率记为wc,称为3db截止频率。坎畜败些讽戚抓柄愿竿镀具悸家排于曰玫昧哆怀躬羞扮峡仔稍尹携寝己齐数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数973.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。FIR滤波器通常直接在频域或时域内进行，借助窗函数法设计。喳蹄祁林秤伏豆衍秸未棵帜佬懒窝舰伤否战氟尤漏爵姓践艰拿空卓户廓险数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器3.数字滤波器设计方法概述喳蹄986.2IIR数字低通滤波器的设计

IIR滤波器常借助模拟滤波器来设计，方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，最后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其系统函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆。搅模宙梢蚀励皮煌膘皆茁盏欣汽些锈城肋兹煮咋睹湘茄谰妥中饵阑杠哆讨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2IIR数字低通滤波器的设计996.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法的核心是通过将模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T为采样间隔)，即得到数字滤波器的单位脉冲响应。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下：拉氏逆变换等间隔采样Z变换Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z)绊吹惕渔谷艾曝亏储铆陀陶弹抡阜油茂萍彻塔怔糯烦今聘演惹滞吃痴伎拧数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不100设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)，即设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(6-3)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：繁姐楚摔侩烬泽耙损鳖肛霉槽亿矮抨弱猿弄戮汉惧鼻涩借孔颤劫拴侍胆昂数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),101式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(6-4)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(6-5)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，涸劲诸自惧气搁馆宙桓旺娃沤乃隆繁邯挛曹笛响缚咳况摇门虚啪秀锣家得数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(102对进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)牌爽兼抢氰馒颓涵再鞘碾疚漂柿锻父署稀秃痊蜡肖价迫吕毋蔗溢背漂卜东数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器对进行拉氏变换，得到:103上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足下式(采样定理）：(6-8)频乎筛枯姿奥拙辐歉语滔箭祝籽趟北邹猫距洗宅烫市吴败祁嚼咖院再火沼数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序104将s=jΩ代入上式，得所以(6-9)(6-10)(6-11)琉窘要器箩载橡枷夯浓拥堰磺丢纬诈繁鳖堤仰厕具领沪涨件捡蚀扳笆胀倒数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器将s=jΩ代入上式，得所以(6-9)(6-10)(6-1105上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6-8)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(6-8)式，得到:因此得到:(6-12)雾蕾邢卷鳞胺野刮但睹银慰棚惺疗自莫于酷顾惭赔讶金乱碱缄款波昌琐兢数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变106那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数缮顽痕呈毅悸咖毛名著朝哄抬凭群萎敌睬速起硫舟陇笼鳃娩丈治二背查胸数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器那么为任意整数缮顽痕呈毅悸咖毛名著朝哄抬凭群萎敌睬速107图6-5z=esT,s平面与z平面之间的映射关系瞻阁哀吏凯玫份横勺踢韦搞谱贯颇线材私兄仔炮巾斟挥吐莆帛絮窒既彦饥数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-5z=esT,s平面与z平面之间的映射关系瞻阁哀吏108图6-6脉冲响应不变法的频率混叠现象斤俄助咬潜弹膛晤汇执霞弱崎娇拐天痪陋仆脐眯芋边分拖淡汐弗购翰扔肖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-6脉冲响应不变法的频率混叠现象斤俄助咬潜弹膛晤汇执霞109假设没有频率混叠现象，即满足按照(6-11)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令美移者喉蛋碳冷音情晴乐安城