质量常用的统计技术

质量常用统计技术方差分析回归分析试验设计上海质量教育培训中心2005年第一节方差分析

一、几个概念二、单因子方差分析

一、几个概念

在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C、…等表示。因子在试验中所处的状态称为因子的水平。用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…，Ak。试验中所考察的指标（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变量。单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。[例2.1-1]现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？

工厂量件强度

甲

乙

丙

10310198110

113107108116

82928486三个工厂的零件强度

在这一例子中，考察一个因子：因子A：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度这是一个单因子试验的问题。每一水平下的试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来解决。二、单因子方差分析

假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从正态分布，其均值为，方差为，i=1,2,…,r。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如下假设是否为真：当不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。方差分析的三个基本假定1.在水平下，指标服从正态分布；2.在不同水平下，各方差相等；3.各数据相互独立。设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用表示，i=1,2,…,r。常常把数据列成如下表格形式：单因子试验数据表记第i水平下的数据均值为，总均值为。此时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示记第i水平下的数据和为Ti，；引起数据波波动（差异异）的原因因不外如下下两个：一是由于因因子A的水水平不同，，当假设H0不真时，各各个水平下下指标的均均值不同，，这必然会会使试验结结果不同，，我们可以以用组间离离差平方和和来表示，，也称因子子A的离差差平方和：：这里乘以m是因为每每一水平下下进行了m次试验。。二是由于存存在随机误误差，即使使在同一水水平下获得得的数据间间也有差异异，这是除除了因子A的水平外外的一切原原因引起的的，我们将将它们归结结为随机误误差，可以以用组内离离差平方和和表示：Se：也称为误误差的离差差平方和可以证明有有如下平方方和分解式式：ST、SA、Se的自由度分别用、、表示，它们也有分解式：，其中：因子或误差差的离差平平方和与相相应的自由由度之比称称为因子或或误差的均均方和，并并分别记为为：两者的比记为：当时认为在显著性水平上因子A是显著的。其中是自由度为的F分布的1-α分位数。单因子方差差分析表各个离差平平方和的计计算：其中是第i个水平下的数据和；T表示所有n=rm个数据的总和。

进行方差分分析的步骤骤如下：（1）计算算因子A的的每一水平平下数据的的和T1，T2，…，Tr及总和T；（2）计算各类数据的平方和；

（3）依次计计算ST，SA，Se；（4）填写方方差分析表；；（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F值与F分布表中的临界值比较，当时认为因子A是显著的，否则认为因子A是不显著的。

对上例例的分分析（1））计算算各类类和：：每一水水平下下的数数据和和为：：数据的的总和和为T=1200（2））计算算各类类平方方和：：原始数据的平方和为：

每一水平下数据和的平方和为

（3））计算算各离离差平平方和和：ST=121492-12002/12=1492，，fT=3××4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9（4））列方方差分分析表表：[例2.1-1]的的方差差分析析表（5）如果给定=0.05，从F分布表查得

由于F>4.26，所以在=0.05水平上结论是因子A是显著的。这表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。

当因子子A是是显著著时，，我们们还可可以给给出每每一水水平下下指标标均值值的估估计，，以便便找出出最好好的水水平。。在单单因子子试验验的场场合，，第i个水水平指指标均均值的的估计计为：：，

在本本例例中中，，三三个个工工厂厂生生产产的的零零件件的的平平均均强强度度的的的的估估计计分分别别为为：：由此此可可见见，，乙乙厂厂生生产产的的零零件件的的强强度度的的均均值值最最大大，，如如果果我我们们需需要要强强度度大大的的零零件件，，那那么么购购买买乙乙厂厂的的为为好好；；而而从从工工厂厂来来讲讲，，甲甲厂厂与与丙丙厂厂应应该该设设法法提提高高零零件件的的强强度度。。误差方差的估计：这里方差的估计是MSe。在本例中：的估计是20.9。

的估计是

[例例2.1-2]略略（（见见教教材材P92））三、、重重复复数数不不等等的的情情况况若在每一水平下重复试验次数不同，假定在Ai水平下进行次试验，那么进行方差分析的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：

例2.1-3某某型型号号化化油油器器原原中中小小喉喉管管的的结结构构使使油油耗耗较较大大，，为为节节约约能能源源，，设设想想了了两两种种改改进进方方案案以以降降低低油油耗耗。。油油耗耗的的多多少少用用比比油油耗耗进进行行度度量量，，现现在在对对用用各各种种结结构构的的中中小小喉喉管管制制造造的的化化油油器器分分别别测测定定其其比比油油耗耗，，数数据据如如表表所所列列，，试试问问中中小小喉喉管管的的结结构构（（记记为为因因子子A））对对平平均均比比油油油油耗耗的的影影响响是是否否显显著著。。（（这这里里假假定定每每一一种种结结构构下下的的油油耗耗服服从从等等方方差差的的正正态态分分布布））[例2.1-3]的试试验结果果水平试验结果（比油耗-220）A1：原结构11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改进方案12.84.5-1.50.2A3：改进方案24.36.11.43.6（为简化化计算，，这里一一切数据据均减去去220，不影影响F比比的计算算及最后后分析因因子的显显著性））（1）各各水平下下的重复复试验次次数及数数据和分分别为：：A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4总的试验次数数n=16，，数据的总和和为T=90.9（2）计算各各类平方和：：（3）计算各各离差平方和和：ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=13（4）列方差差分析表：[例2.1-3]方差分分析表（5）如果给定=0.05，从F分布表查得

由于F>3.81，所以以在α=0.05水水平上我们的的结论是因子子A是显著的的。这表明不不同的中小喉喉管结构生产产的化油器的的平均比油耗耗有明显的差差异。我们还可以给给出不同结构构生产的化油油器的平均比比油耗的估计计：这里加上220是因因为在原数数据中减去去了220的缘故。。由此可见，，从比油耗耗的角度看看，两种改改进结构都都比原来的的好，特别别是改进结结构1。在本例中误误差方差的的估计为6.56，，标准差的的估计为2.56。。第二节回回归归分析例2.2-1合合金的强强度y与合合金中的碳碳含量x有有关。为了了生产出强强度满足顾顾客需要的的合金，在在冶炼时应应该如何控控制碳含量量？如果在在冶炼过程程中通过化化验得到了了碳含量，，能否预测测合金的强强度？这时需要研研究两个变变量间的关关系。首先先是收集数数据(xi,yi)，i=1,2,……,n。。现从生产产中收集到到表2.2-1所示示的数据。。表2.2-1数数据表表一、散布图图6050400.150.200.10xy[例2.2-1]的的散布图二、相关系系数1．相关系系数的定义义在散布图上上n个个点在一条条直线附近近，但又不不全在一条条直线上，，称为两个个变量有线线性相关关关系，可以以用相关系系数r去去描述它它们线性关关系的密切切程度其中性质：

表示n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。

r>0表示示当x增加加时y也增增大，称为为正相关r<0表示示当x增加加时y减小小，称为负负相关r=0表示示两个变量量间没有线线性相关关关系，但并并不排斥两两者间有其其它函数关关系。2．相关系系数的检验验若记两个变变量x和y理论的相相关系数为为，，其其中x为一一般变量，，y服从等等方差的正正态分布，，则对给定的显著性水平，当可以认为两者间存在一定的线性相关关系，可以从表2.2-2中查出。（其中n为样本量）。

3．具体计计算求上例的相相关系数：：步骤如下：：（1）计算算变量x与与y的数据据和：Tx==1.90,Ty==590.5

（2）计算算各变量的的平方和与与乘积和：：（3））计计算算Lxx,Lyy,Lxy：Lxy=95.9250-1.90××590.5/12=2.4292Lxx=0.3194-1.902/12=0.0186Lyy=29392.75-590.52/12=335.2292（4）计算r：在=0.05时，，由于r>0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。

四、、一一元元线线性性回回归归方方程程1.一一元元线线性性回回归归方方程程的的求求法法：：一元线性回归方程的表达式为

其中中a与与b使使下下列列离离差差平平方方和和达达到到最最小小：：通过过微微分分学学原原理理，，可可知知，

称这这种种估估计计为为最最小小二二乘乘估估计计。。b称称为为回回归归系系数数；；a一一般般称称为为常常数数项项。。求一一元元线线性性回回归归方方程程的的步步骤骤如如下下：：（1））计计算算变变量量x与与y的的数数据据和和Tx，Ty；；（2））计计算算各各变变量量的的平平方方和和与与乘乘积积和和；；（3）计算Lxx,Lxy；（4）求出b与a；利用前面的数数据，可得：：b=2.4392/0.0186=130.6022a=590.5/12-130.6022××1.90/12=28.5297（5）写出回回归方程：画出的回归直线一定通过（0，a）与两点

上例：或2.回归归方程的显著著性检验有两种方法：：一是用上述的的相关系数；；二是用方差分分析方法（为为便于推广到到多元线性回回归的场合）），将总的离离差平方和分分解成两个部部分：回归平平方和与离差差平方和。总的离差平方和：

回归平方和：

离差平方和：

且有ST=SR+SE，其中

它们的自由度度分别为：fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR计算F比，对给定的显著性水平，当时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。

对上面的例子子，作方差分分析的步骤如如下：根据前面的计计算（1）计算各各类平方和：：ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=10（2）列方差差分析表：[例2.2-1]的方差差分析表对给定的显著性水平=0.05，有

F0.95(1,10)=4.96由于F>4.96，所以以在0.05水平上认为为回归方程是是显著的（有有意义的）。。3．利用回归归方程进行预预测对给定的，y的预测值为

概率为的y的预测区间是

其中当n较大，与相差不大，那么可给出近似的预测区间，此时

进行预测的步步骤如下：（1）对给出出的x0求预测值上例，设x0=0.16，，则（2）求的估计

上例有

（3）求上例n=12，如果求概概率为95%的预测区间间，那么t0.975(10)=2.228，，所以（4）写出预测区间

上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)由于u0.975=1.96，，故概率为0.95的近近似的预测区区间为：∵∴所求区间：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，，52.06）相差较大的原原因总n较小小。四、可化为一一元线性回归归的曲线回归归在两个重复的的散布图上，，n个点的散散布不一定都都在一条直线线附近波动，，有时可能在在某条曲线附附近波动，这这时以建立曲曲线回方程为为好。1.确定定曲线回归方方程形式2.曲线线回归方程中中参数的估计计通过适当的变变换，化为一一元线性回归归的形式，再再利用一元线线性回归中的的最小二乘估估计方法获得得。回归曲线的形形式：（1），，（a>0，，b>0）（2），，（b>0））（3），，（b>0））（4），，（（b>0）3.曲曲线回回归方方程的的比较较常用的的比较较准则则：（1））要求求相关关指数数R大大，其其平方方也称称为决决定系系数，，它被被定义义为：：（2））要求求剩余余标准准差s小，，它被被定义义为：：第三节节试试验验设计计一、试试验设设计的的基本本概念念与正正交表表（一））试验验设计计多因素素试验验遇到到的最最大困困难是是试验验次数数太多多，若若十个个因素素对产产品质质量有有影响响，每每个因因素取取两个个不同同状态态进行行比较较，有有210=1024、如如果每每个因因素取取三个个不同同状态态310=59049个个不同同的试试验条条件选择部部分条条件进进行试试验，，再通通过数数据分分析来来寻找找好的的条件件，这这便是是试验验设计计问题题。通通过少少量的的试验验获得得较多多的信信息，，达到到试验验的目目的。。利用正正交表表进行行试验验设计计的方方法就就是正正交试试验设设计。。（二））正交交表“L””表示示正交交表，，“9”是是表的的行数数，在在试验验中表表示试试验的的条件件数，，“4”是是列数数，在在试验验中表表示可可以安安排的的因子子的最最多个个数，，“3”是是表的的主体体只有有三个个不同同数字字，在在试验验中表表示每每一因因子可可以取取的水水平数数。正交表表具有有正交交性，，这是是指它它有如如下两两个特特点：：（1））每列列中每每个数数字重重复次次数相相同。。在表L9(34)中，，每列列有3个不不同数数字：：1,2,3，，每一一个出出现3次。。（2））将任任意两两列的的同行行数字字看成成一个个数对对，那那么一切切可能能数对对重复复次数数相同同。在表L9(34)中，，任意意两列列有9种可可能的的数对对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一一对出出现一一次。。常用的的正交交表有有两大大类（1））一一类正正交表表的行行数n，列列数p，水水平数数q间有如如下关关系：：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，，可以以考察察因子子间的的交互互作用用。（2））另一一类正正交表表的行行数，，列数数，水水平数数之间间不满足上上述的两两个关系系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等这类正交交表不能能用来考考察因子子间的交交互作用用常用正交交表见附附录二、无交交互作用用的正交交设计与与数据分分析试验设计计一般有有四个步步骤：1.试试验设设计2.进进行试试验获得得试验结结果3.数数据分分析4.验验证试试验例2.3-1磁磁鼓鼓电机是是彩色录录像机磁磁鼓组件件的关键键部件之之一，按按质量要要求其输输出力矩矩应大于于210g.cm。某某生产厂厂过去这这项指标标的合格格率较低低，从而而希望通通过试验验找出好好的条件件，以提提高磁鼓鼓电机的的输出力力矩。（一）试试验的设设计在安排试试验时，，一般应应考虑如如下几步步：（1）明明确试验验目的（2）明明确试验验指标（3）确确定因子子与水平平（4）选选用合适适的正交交表,进进行表头头设计，，列出试试验计划划在本例中中：试验目的的：提高高磁鼓电电机的输输出力矩矩试验指标标：输出出力矩确定因子子与水平平：经分分析影响响输出力力矩的可可能因子及水平平见表2.3-2表2.3-2因因子水水平表选表：首首先根据据因子的的水平数数，找出出一类正正交表再根据因因子的个个数确定定具体的的表把因子放放到表的的列上去去，称为为表头设设计把放放因子的的列中的的数字改改为因子子的真实实水平，，便成为为一张试试验计划划表，每每一行便便是一个个试验条条件。在在正交设设计中n个试验验条件是是一起给给出的的的，称为为“整体设计计”，并且均均匀分布布在试验验空间中中。表头设计ABC列号

1234试验计划划与试验验结果9个试验验点的分分布3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3（二）进进行试验验，并记记录试验验结果在进行试试验时，，要注意意几点：：1.除除了所所考察的的因子外外的其它它条件，，尽可能能保持相相同2.试试验次次序最好好要随机机化3.必必要时时可以设设置区组组因子（三）数数据分析析1.数数据的的直观分分析（1）寻找最最好的试验条条件在A1水平下进行了了三次试验：：#1，#2，#3，而而在这三次试试验中因子B的三个水平平各进行了一一次试验，因因子C的三个个水平也各进进行了一次试试验。在A2水平下进行了了三次试验：：#4，#5，#6，在在这三次试验验中因子B与与C的三个水水平各进行了了一次试验。。在A3水平下进行了了三次试验：：#7，#8，#9，在在这三次试验验中因子B与与C的三个水水平各进行了了一次试验。。将全部试验分分成三个组，，那么这三组组数据间的差差异就反映了了因子A的三三个水平的差差异，为此计计算各组数据据的和与平均均：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555=T1/3=185

T2=y4+y5+y6=168+236+190=594=T2/3=198

T3=y7+y8+y9=157+205+140=502=T3/3=167.3

同理对因子B与C将数据分成成三组分别比比较所有计算列在在下面的计算算表中例2.3-1直观分析计计算表（2）各因子子对指标影响响程度大小的的分析极差的大小反反映了因子水水平改变时对对试验结果的的影响大小。。这里因子的的极差是指各各水平平均值值的最大值与与最小值之差差，譬如对因因子A来讲：：RA=198－167.3=30.7其它的结果也也列在上表中中。从三个因因子的极差可可知因子B的的影响最大，，其次是因子子A，而因子子C的影响最最小。（3）各因子子不同水平对对指标的影响响图从图上可以明明显地看出每每一因子的最最好水平A2，B2，C3，也可以看出出每个因子对对指标影响的的大小RB>RA>RC。CBA22020519017516090011001300101112708090RARBRC图2.3-2因因子各水平对对输出力矩的的影响由于正交表的的特点，使试试验条件均匀匀分布在试验验空间中，因因此使数据间间具有整齐可可比性，上述述的直观分析析可以进行。。但是极差大大到什么程度度可以认为水水平的差异确确实是有影响响的呢？2.数据据的方差分析析要把引起数据据波动的原因因进行分解，，数据的波动动可以用离差差平方和来表表示。正交表中第j列的离差平平方和的计算算公式：其中Tij为第j列第i水平的数据据和，T为数数据总和，n为正交表的的行数，q为为该列的水平平数该列表头是哪哪个因子，则则该Sj即为该因子的的离差平方和和，譬如SA=S1正交表总的离离差平方和为为：在这里有：[例2.3-1]的方差差分析计算表表第4列上没有有放因子，称称为空白列。。S4仅反映由误差差造成的数据据波动，称为为误差平方和和。Se=S4利用可可以验证证平方和的计计算是否正确确。[例2.3-1]的方差差分析表因子A与B在在显著性0.10与0.05上都是是显著的，而而因子C不显显著。3.最佳佳条件的选择择对显著因子应应该取最好的的水平；对不显著因子子的水平可以以任意选取，，在实际中通通常从降低成成本、操作方方便等角度加加以选择。上面的例子中中对因子A与与B应该选择择A2B2，因子C可以以任选，譬如如为节约材料料可选择C1。4.贡献率率分析方法当试验指标不不服从正态分分布时,进行行方差分析的的依据就不够够充足,此时时可通过比较较各因子的““贡献率”来来衡量因子作作用的大小。。由于S因中除因子的效效应外，还包包含误差，从从而称S因-f因Ve为因子的纯离离差平方和，，将因子的纯纯离差平方和和与ST的比称为因子子的贡献率。。（四）验证试试验对A2B2C1进行三次试验验，结果为：：234，240，220，平均值值为231.3此结果是是满意的三、有交互作作用的正交设设计与数据分分析例2.3-2为为提高某种农农药的收率，，需要进行试试验。（一）试验的的设计明确试验目的的明确试验指标标确定试验中所所考虑的因子子与水平，并并确定可能存存在并要考察察的交互作用用选用用合合适适的的正正交交表表。。在本本例例中中：：试验验目目的的：：提提高高农农药药的的收收率率试验验指指标标：：收收率率确定定因因子子与与水水平平以以及及所所要要考考察察的的交交互互作作用用