第5章点的复合运动

第5章点的复合运动复合运动中的基本概念复合运动中的运动方程之间的关系复合运动中的速度之间的关系一、目的要求：1、使学生了解速度和加速度的矢量式2、理解绝对运动，相对运动和牵连运动3、使学生对合成运动问题能恰当地选择动点，动系和定系，并能较正确的判定点的绝对，相对和牵连运动4、使学生掌握速度合成定理，并能较正确应用它解点的速度合成运动问题。二、重点：绝对运动，相对运动和牵连运动的概念，速度合成定理及其应用。难点：牵连运动，牵连点，动点，动系的选择三、学时安排：4学时四、教学准备：幻灯片五、教学过程导入新课：5.1复合运动中的基本概念一、概念：1、静参考系：固定在地球上的坐标。2、动参考系：固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标，

3、复杂运动：研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动和合成运动。实例之一：小船自左岸边A向后岸边B点运动，河水以均匀速度v运动，小船最终到到右岸的D点。动系中小船对动系来说是直线运动，从静系中:动系对静系则是直线运动。小船从A—B,C—D。同时性：先假设河水不动，则小船从A划到B:在假设人不划船，小船随河水漂流到下游D处。实际上小船和水是同时运动的，小船动点的运动是上述两个简单运动的合成A\Bvy兀OvVe图5-1小船的复合运动A\Bvy兀OvVe图5-1小船的复合运动图5-2车轮轮缘上点M的复合运动实例之二:研究沿地面作直线滚动的车轮轮缘上点M的运动1)静系中:动点的轨迹是旋轮线车厢作直线运动2)动系中:M动点作圆周运动(3)运动的同时性，M点运动和平动是同时进行的，M点既跟随着动系一起平动，又在动系上作圆周运动。旋轮线就是这两个运动的合成运动的轨迹，轮缘上M点的运动就是这两个简单

运动的合成。实例3：在大梁固定不动时，卷杨小车沿大梁可作直线运动,图5-3吊重物的复合运同时将吊钩上的重物A铅垂向上提升，研究重物的运动称合成运图5-3吊重物的复合运静系中：A—B动系中：A—A同时性：点：A—A小车：A—B重物既跟随动系一起向右平动,动又在动系上从下往向运动，重物的运动是两个简单运动的合成。三种运动绝对相对牵连1、 绝对运动：动点相对于静系的运动，即人站在地面上观察点的真实运动。2、 相对运动：动点相对于动系的运动，即人站在动系上(或人站在运动的物体上)观察点的运动。3、牵连运动：动点随动系相对于静系的运动，即人站在地面上观察动点随动系的运动。由于动系上各个点的运动速度一般是不同的(动系作平动除外)，在同一瞬时，动系上与动点位置相重合的点称为牵连点，含有牵连点的动系相对于定系的运动即为牵连运动。(为平动或转动或复杂运动的动系相对于定系的运动注：绝对运动是相对运动和牵连运动的合成。4、动系、动点的选取原则：（1）动点、动系和静系必须分别选在三个物体上。静系一般固定在地面或与地固连的机架上，即静系固定在不动的物体上。（2）动点和动系不能选在同一个运动的刚体上，若选在同一个刚体上，动点对动系就不会有相对运动。（3）动点相对动系的相对运动轨迹简单、明显，如相对轨迹是直线，圆等。（4）动系的运动要容易判定，如平动和转动等。（5）对于有约束联系的系统，例如机构转动问题，动点多选取主动件与从动件的连接点，并与其中一个构件固接，而动系固定在另一运动的构件上。（6）对于没有约束联系的系统，所研究的点为动点，如雨滴矿砂，物料：动系固定在另一运动的物体上，如车辆，转送带，四、三种速度绝对速度相对速度牵连速度1、绝对速度：动点相对于定系运动的速度2、相对速度：动点相对于动系运动的速度。3、牵连速度：牵连点相对于动系运动的速度动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静

坐标系运动的速度称为动点的牵连速度。动点和牵连点是一对相伴点。图5-4牵连点牵连速度例如，直管0B以匀角速度®绕定轴0转动，小球M以速度u在直管0B中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固结在0B管上，以小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2图5-4牵连点牵连速度的牵连速度分别为v=OM•①v=OM•①el 1 e2 2五、实例简述三种运动.三种速度1、 小船过河动系、定系、动点分别在河水上、河岸上、小船。运动分析：小船(从A-B)相对于河水的运动是相对运动，其速度为相对速度v，小船随河水的漂动(即从A—C)r是牵连运动，河水的流速为牵连速度V，小船自A到D的运动是e绝对运动，其速度为绝对速度V。a2、 前进中的车轮缘上动点M：动系一车厢、定系一地、动点一轮子。旋轮线的运动是绝对运动，其速度为绝对速度v；动点

随车厢的平动为牵连运动，车在前进中的速度为牵连速度e;动e点绕轴心的转动为相对运动，其速度为e。e3、被提升的重物（向上向前运动）（1） 动系—大梁，动点—重物，定系—地面（2） 重物相对于小车的铅垂向上的运动为相对运动，其速度

为e:重物随小车的平动为牵连运动，其速度为e；重物自A到reA］的运动为绝对运动，其速度为e。a5.2复合运动中的运动方程之间的关系、用矢径表示的运动方程1、Oxyz：r=r（t）=xi+yj+zkaar 绝对矢径。是动点矢量形式的绝对运动方程；其矢端a曲线就是动点的绝对轨迹。2、 O'x'y'z':r=r(t)=x'i+y'j+z'krrrrzxrkOyOiro图5-5矢径表示rrzxrkOyOiro图5-5矢径表示yyy-O二__Mx'y' kx'图5-6直角坐标表示O^ 图5-6直角坐标表示、用直角坐标表示运动方程。\x=x'+x'cos申-y'sin申<oy=y'+x'sin申+y'cos申O

在点的绝对运动方程中消去时间t,即得点的绝对运动轨迹；在点的相对运动方程中消去时间t,即得点的相对运动轨迹。例如清华《教材》P.97例5-1。5.3复合运动中速度之间的关系一、 解析法求速度将三种运动方程之间的关系式对时间连续求导，可得三种运动中速度之间与加速度之间的关系，这就是求解点的复合运动的解析法。例如清华《教材》P.98例5-2。二、 速度合成定理1、绝对速度应是相对速度和牵连速度合成的矢量。2、推导:图5-7速度合成定理图5-7速度合成定理动点在一个任意运动的刚体K上沿弧AB相对于刚体K运动，动坐标系固结刚体K上,静坐标系固结在地面上。瞬时t，动点位于M处，At后动点运动到m/处。绝对运动轨迹1MM'，M［是瞬时t的牵连点，MM是此牵连点的轨迹。111

MW=MM+MM limMW=MM+MM lim1 1 11 AtTOAt十MM 十MMv=limiv=limiaAtT0At eAtTOAtv=v+vaer点的速度合成定理是矢量式十 MM .. MM=limi+lim11△一0Ar AtoAr十 MMv=limii

rAtTOAt有两个投影方程，可求解2个未知量，3个速度矢量共6个量大小方向），若知道其中任意4个量，即求出其余两个量。2）矢量证明v=v+®xr v=v+veo' r aer（1） 当牵连运动为平动®=O,动系上各点速度相同，故v=veo'（2） 当牵连运动为定轴转动，v=0,故v=®xr。o' e r三、运用点的速度合成定理解题的方法步骤1、分析题意，确定动点，动系和定系。2、分析三种运动，三种速度。（1）凡速度大小可以算出的求出其值，凡方向已知的画出其方向。（2）作速度平行四边形求解未知量，v是v、v为邻边的对aer角线，利用合矢量投影定理或解三角形求未知量。例5-1如图所示，车厢以速度v沿水平轨道行驶，雨点垂1直下落，现测得雨点对车厢的相对速度的方向与铅垂线成角，且偏向车厢运动相反的方向，试求雨点相对于地面的速度。r图r图5-8雨点的运动分析运动分析：雨点为动点，动系固连在小车上，如图所示。动点的绝对运动是铅垂向下的直线运动：动点的相对运动为与铅垂线成(P角的直线运动；牵连运动是车厢的平动与车厢牵连点的平动;(2)速度分析：速度平行四边形表示(2)速度分析：速度平行四边形表示。、av、v的关系r evv= —=vctan申atan申 1例5-2:有常接触点：已知：e、u水平向右°DE杆沿滑槽上下运动，求DE杆的速度。y^777777777777777777777777y^777777777777777777777777图5-9有常接触点的运动分析之一〈1〉运动分析：从动杆下端D为常接触点，取其为动点，动点的绝对运动为铅垂向上的直线运动，相对运动为沿斜面向上的直线运动，牵连运动为尖辟的平动。2〉速度分析：速度平行四边形见图。3〉求DE杆的速度：大小：v=vtan0=utan0,ae方向：铅垂向上，ve为牵连点的平动速度。e例5-3:有常接触点已知：OC=e,r=43e，轮以匀角速度®绕轴O转动，求当OC与AC垂直时从动杆AB的速度。0（1） 三选动系与轮固定，随轮绕O转动，（2） 运动分析：动点的绝对运动是铅垂向上的直线运动动点的相对运动是绕的几何中心C的圆周运动,牵连运动为绕O的定轴转动，即牵连点绕O的圆周运动，方法一：（3） 速度分析：速度平行四边形，v为牵连点绕O的圆周e图5-10有常接触点的运动分析之二

方法二：（1）动系为过C点的平行坐标系，不与轮固接，相当于过C点的平行的无限大的平板（2）运动分析：牵连运动为平板的平动，而动系平动，其上各点的速度是相同的。v=v即牵连点随板平动。eC（3）速度平行四边形Je2+Je2+（护e）_2爲eo03v- =eeo_acose x..-'3e讨论：动系不同v讨论：动系不同v、v则不同,er但v不变。

a例5-4：有常接触点已知：曲柄OA以r、o，匀速转动。带动摇杆的转动。求：当e-30摇杆的角速度o图求：当e-30摇杆的角速度o图5-11有常接触点的运动分析之三分析：（1）三选：取曲柄OA的端点A（即滑块A）常接触点为动点。机座上固连定系O切摆杆OB上固连动系Ox'y'。运动分析：滑块A的绝对运动是以0为圆心，厂为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿0B的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动(绕02)即牵连点随动系的转动速度分析：作速度平行四边形，v为动系上的牵连点的e速度v=vsin0A•①=r®sin=Sinea 2 1 1r/sin9例5-5无常接触点图形凸轮的半径r，偏心距e，以及绕0转动，杆AB能在滑槽上下平动，杆的下端A紧贴在凸轮上，试求：AB杆与凸轮圆心在一直线上时，杆AB的速度。图5-12无常接触点的运动分析之四(1)三选：两构件上均无常接触点。可任取凸轮上的接触点或杆AB上的接触点为动点。因为AB杆为平动，各点速度均相同，求出其上任意一点的速度即可。故取AB杆的下端接触点M为动点，动系，定系。

（2）运动分析：M点的直线运动为绝对运动，M点相对于动系的运动轨迹是圆，绕C点的几何中心定轴转动；牵连点的运动即凸轮绕O点圆周运动为牵连运动。3）速度分析：v为动系上牵连点0的圆周运动速度ecos=-v=vcos申=r®cos=r^-=e®（向上）rae r练习1：有常接触点正弦机构的曲柄0A绕固定轴0匀速转动，通过滑块带动槽杆BC作水平往复平动。（P。杆BC作水平往复平动。（P。求BC杆的速度。已知：r、 （D、1）三选：常接触点为动点。2）动点绕0的定轴转动为绝对运动，动点相对于槽的直线运动为相对运动；动系牵连点的运动为牵连运动。（3）作速度平行四边形，v丄0A，v沿导槽向上，v沿水A r e平方向v=vsin^=r®sin申，v为牵连点缩导槽的平动速度。eae练习2：对下列各图进行运动分析x动点M的运动分析平移杆ABC的速度图5-15图5-16求OA杆的角速度图5-17v=v co=v/l=osin^/lae图5-18求OB、OC杆的角速度小结：三选动点动系定系（刚体运动）运动动系上与动I重点重合的点作业：P.1095-6、75.4复合运动中加速度之间的关系5.4.1牵连运动为平动时的加速度合成定理5.4.2牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理一、目的要求：使学生掌握加速度合成定理。并能较正确应用它解点的加速度合成运动问题。二、重点：加速度合成定理及其运用。难点：加速度合成定理的运用与计算；牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。三、学时：2学时四、教学准备：幻灯片五、教学过程导入新课：5.4复合运动中加速度之间的关系一、牵连运动为平动时的加速度合成定理1、三种加速度：绝对加速度a：动点相对定系的加速度。a相对加速度a：动点相对动系的加速度。r牵连加速度a：牵连点相对定系的加速度。e2、牵连运动为平动时点的加速度合成定理：（三种运动的轨迹可能都是曲线）（1）矢量表达：

动系xAyz平动，因此，v动系xAyz平动，因此，v=v,av=xi+yj+zk,a=xi+yj+zkr rdvdvdv

—— a=e+r.dtdtdtdvd/厶+ (xi+yi+zk)dtdtdt'=v+xi+yj+zk—a=a+aaA或a=a+aaer牵连运动：相对运动：v=v+vaedv J图5-19动系平动时的加速度合成定理推导动点的绝对加速度a是相对加速度a、牵连加速度a的矢量are和。绝对加速度a是合矢量，a、a是a的分量。a reaa=a+a——ae=a；〔a?,a厂年ia<_-a^+an=a^+an+a^+anaer a=aT+a? aaeerraaa（2）投影式：可以将加速度合成定理的矢量表达式的等号左右部分向某轴投影，可得到合矢量a在某轴上的投影等于a、a在同一轴上的a re投影的代数和。在平面问题中，加速度合成定理的矢量表达式中，各矢量有大小和方向两个因素，可向两个互不平行的两个坐标轴投影，得两个代数方程，求解两个未知量。加速度与速度合成公式一样均为二维矢量方程，每个量均有大小、方向两个因素，只有当方程中未知因素的个数不超过两个时，可以解出需求的未知量。矢量方程可通过解三角形的办法求解，或者在一组线性无关的轴上投影得到代数方程组的方法求解。①三个法向加速度6个要素，三个法向加速度的方向可以确定，大小通过速度分析可以求解出来：v2v2v2a=a-、a= —、a=r_aP ep rpaer②三个切向加速度6个要素，若知到其中4个因素，余下的2个因素就完全可以求解出来。3、解题步骤（1）三选；（2）运动分析；（3）速度分析；（4）加速度分析，画加速度矢量图。加速度矢量图注意：只能求解两个未知量例5-6已知：R、®、a00求：曲柄与导杆轴线夹角。时，杆a滑块A为动点分析：（1）三选：动系与导杆固接，定系与机架固接。（2）运动分析：绕O轴的定轴转动为绝对运动，在导槽的直线运动为相对运动，牵连运动为到导杆的水平直线平动。（3） 速度分析：动点有绕0点匀速圆周运动的角速度®⑴0（4） 加速度分析：、仇只有沿法线分量仇=仇，方向由A指向0；a an因相对运动是直线运动，a沿铅垂直槽；因动参考系为平动，各r点轨迹为水平直线，故a是沿水平方向。共有四个要素已知，可作出加速度平行四边形如图：由图中三角形关系得：a) (b)图5-20牵连运动为平动时的加速度合成实例之一(b)a=(b)a=an=a+aaaer(b)a=ancos0=rw2cos0

eaa= +a=a+anaaaerax=—ancos0+arsin0=—a

aa a e—rw2cos0+rasin0=—ae例5-6:已知：凸轮向右作减速直线运动，r、ua.9。已知:求导杆AB在图示位置时的加速度.vr=u/sin(vr=u/sin(p图5-21牵连运动为平动时的加速度合成实例之二分析：(1)三选：动点为导杆AB上的A点，动系与凸轮固接,定系与地面固接。运动分析：A点随导杆AB沿铅垂导槽做的上下直线为绝对运动，A在凸轮上的圆周运动为相对运动，牵连运动为凸轮的水平向右的减速直线运动。速度分析：A点随导杆的上下直线速度为绝对速度，A在凸轮上的圆周运动速度为相对速度，牵连速度即为凸轮的平动速度。(4)加速度分析：、只有相对加速度才有切向和法向之分，作出加速度矢量如图。法向加速度可通过o2/r_v2-a_a+a_a+an+—ar^-f一>一耳方向投影>asin9_acos9+an+0aererra_a a e reu2 u2tasin9_acos9+ ta_actan9+——a rsin29a rsin399<90°,a>0Q)；9>90°,a<0(T)aa例5-7：平面机构中’曲柄OAF30匀速转动’套简A可沿BC杆滑动。已知：BC=l。求图示位置吋，杆BD的a和角速度3。图5-21牵连运动为平动时的加速度合成实例之三分析：(1)三选(2)运动分析(3)速度分析：画速度平行四边形

TOC\o"1-5"\h\zv=v=v=roI roera0>to二——0-v=lo I elee 丿（4）加速度分析：牵连加速度与B点的加速度相同。a=a+a=a^+an+a其中有两个未知量，但a不用求解。aereer r将上式两端向y轴投影：asin30=a^cos30—aasin30=a^cos30—ancos60+0 aa=ro2 >a e e an=lo2，町=laro2sin30=lacos30—lo2cos60ta=0ro2+lo2例6-3平行四连杆机构的上连杆BC与一固定铅直杆EF相接触，在两者接触处套上一小环M，当BC杆运动时，小环M同时在BC.EF杆上滑动。曲柄AB=CD=r,连杆BC=AD=l,若曲柄转至图示炉0图5-22牵连运动为平动时的加速度合成实例之四角位置时的角速度为s,角加速度为a,试求小环M的加速度。解:动点：小环M动系：固连在连杆BC上静系：固连在地面上动点绝对运动沿EF的直线运动，aa方向沿EF。相对运动沿BC的直线运动，ar方向沿BC。at=raeat丄AB,an=ro2,e e牵连运动是连杆BC的平移an与AB平行ea=—ansin申+atcos申+0将加速度合成定理的矢量方程a e e

向y‘轴投影a二r£cos申—r®2sin申方向如图所示。a9-4牵连运动为定轴转动时点的a合成定理一、加速度合成定理：1、对动系作定轴转动情况，在任一瞬时。动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。a—a+a+a—a^+an— +an+a^+an+aaerc aaeerrca—2mxvcer2、a—2、a—2mxv称为科氏加速度。cer—2mxver—2gvsin0er南图南图5-23牵连运动为定轴转动m丄v,0—90,a—2gv,m、v、a两两垂直（右手螺旋定er c er erc则）。m//v,0—0°或180°,a—0e r c3、a—a+a+a有两个独立的投影方程，可以求解两个未知aerc二、解题方法步骤三选运动分析速度分析加速度分析求解例1.某河流在北半球经度时的加速度合成实例之一为P处沿经线自南向北以速度P流动。考虑地球自转的影响,r求河水的科氏加速度。分析：（1）三选：p处的河水水滴为动点M。动系与地球固连，定系固连于地球的自转轴，动系固连于经线所在的平面。（该面与赤道平面、经线平面均垂直）（2）运动分析：水滴既沿经线向北运动——相对运动，而经线又绕z轴转动——牵连运动。（3）速度分析：°沿经线的切线方向向上，而卬又为自由矢re量，向上沿z轴。（4）加速度分析：a=2®xv大小：c e ra=2®xv=2eosinpc er er方向：a与®、v所在的经线平面垂直， 故a丄O'M,c er c沿M处纬线切线方向。讨论：a向左一原因>河流右岸对水流必有向左的力c—作用与反作用T水流对右岸必有向右的反作用力—>右岸受冲刷而塌陷，河岸向右扩张，从而造成河床向东移动的现象。例2已知：①、r、1、e。求«。12

图5-23图5-23牵连运动为定轴转动时的加速度合成实例之二分析：（1）三选3）速度分析：v3）速度分析：v沿摇摆杆向下。ro=o2e1=2ro=2vsin30°=roTOC\o"1-5"\h\z2 a 2=vcos30°=3roa 2 14）加速度分析：a=am=a^+an+a+aaaeerca=ro2=an,a=2ra,an=2ro2,a未矢口a 1ae 2e 2ra=2co-v=2ox空ro=43rooc er 2 2 1 1 2将合矢量和分矢量向耳轴投影：acos9=axaT—ro2cos30=2ra—\：'3rooa ec 1 2 1 23roo一ro2cos30 、；‘3ro(2o—o)Ta= 1―2 1 = 1 2 —2 2r 4r正负号的含义。

例64图中，偏心圆凸轮的偏心距OC二e，半径r»3e，设凸轮以匀角速度3°绕轴O转动，试求OC与CA垂直的瞬时，杆AB的加速度。解：A为动点，动坐标an=OA-①2=2e®2v2 16e®2an=—= Orr3p3系固结在凸轮上绝对运动：沿AB方向的直线运动 a=a/方向已a A知，沿AB相对运动：以C为圆心的圆周运动图5-24牵连运动为定轴转垂直于AC方向 动时的加速度合成实例牵连运动动坐标系以O为定轴转 之三动动坐标系为转动a=2①v,v=2ee2根据加速度合成定理C 0rr3 0a=at+an+an+aa ee r C-acosa=ancosa-acosa=ancosa+an-aa e rC(16ee2 f= o-yj3ee2+Oee2O丿8-2eea为负值，说明9oaa的方向与图假设的方向相反。在此瞬时，aa的实际方向铅直向下。例65半径为R的圆盘，绕通过边缘上一点O垂直于圆盘平i图5-25牵连运动为定轴转动时的加速度合成实例之四面的轴转动。AB杆的B端用固定铰链支座支承，当圆盘转动时AB杆始终与圆盘外缘相接触。在图示瞬时，已知圆盘的角速度为s,角加速度为a,尺寸如图示。求该瞬时AB杆的角速o a0度及角加速度。解：动点：0点；动系：与AB相固接；定系：与机架相固接。不选接触点为动点，相对轨迹不明显。绝对运动：圆心为01的圆周运动；相对运动：动点0相对于AB杆作直线运动；牵连运动：AB杆作定轴转动。速度分析速度合成定理为耳=V+vrva大小为roaer0方向垂直于00；1v平行于AB,其大小未知；rv的大小未知,方向垂直于0B。ev=vtan0=Rotan0ea 0作速度平行四边形，解得 v Ro 则AB杆在V= a—= 0-rcos0cos0图示瞬时的角速度:加速度分析牵连运动为定轴转动，则加速度合成定理为a=a+a+aan+at=an+at+a+aaerCaaeerCvRotan0RR R2oO=—= 0 =O =—o-OBll°\.l2-R2人12-R2

an二R®2,方向指Oa 0 1at=Re方向丄OOa 0, 1an=OB®2,方向指向Beat大小未知,方向丄OBea大小未知,方向平行于ABra=2®v,方向丄ABTOC\o"1-5"\h\zC raTa选取O切坐标如图，对yaTa-ancos0-atsin0=ansin0+atcos0+0-aa a e e C-R®2cos0-Resin0=l®2sin0+