第3章小波分析概述2课件

第三章小波分析概述1、小波的产生及定义2、小波窗的优点3、一些常用概念4、连续小波变换5、离散小波变换1第三章小波分析概述1、小波的产生及定义1一、小波的产生及定义小波是一个快速衰减的振荡，是一个时频窗，它具有时频局部化特点，而且其窗口是自适应的。小波是针对傅立叶分析的一些不足而发展出来的，二者不能相互代替。2一、小波的产生及定义小波是一个快速衰减的振荡，是一个时频窗，傅立叶分析傅立叶变换和逆变换：傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次实现多通道图像的傅立叶变换）小波基与傅立叶变换基函数的差别？（提问）3傅立叶分析傅立叶变换和逆变换：3

小波变换基函数（时频局部化）付氏变换基函数（频域局部化时域无限）注意第三种情况：时域有限，频域无限（时域基函数为冲激函数，频域为正弦信号）；傅立叶变换的对偶性质4小波变换基函数付氏变换注意第三种情况：时域1、小波是窗函数：从中可看出，在远处f(x)必然是有界的，且比x衰减快，注意图形2、小波具有时频局部化特点，即：时域和频域窗的半径都是有限的（注：窗的中心位置和窗宽类似期望值与方差；注意这里是等效窗宽）。

测不准原理：

注：1）其它类似的还有：光学系统中空间分辨率与光阑/基带波形的界2）时频窗面积最小的是高斯函数，但它不是小波,为什么？为什么不用高斯函数作基带波形（Q）3）不等式中的常数随傅立叶变换的定义而变（差）且时频窗面积＝小波的定义51、小波是窗函数：小波的定义53、小波是振荡的：4、小波变换可重建（逆变换存在）注：并非所有小波变换都可重建由上面四个条件，可推出小波函数应满足的容许性条件(必要条件，逆变换存在的条件，容许小波）：63、小波是振荡的：6二、小波的优点——窗口自适应性小波的收缩与平移（尺度和位移变换）小波时窗中心x*b＋ax*时窗半宽度时窗范围7二、小波的优点——窗口自适应性小波的收缩与平移（尺度和位移变频窗中心：频窗半宽度：频窗范围：时频窗面积不变R问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？8频窗中心：R问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？8小波窗口的自适应性9小波窗口的自适应性9例：数字示波器采样频率提高，存贮深度不变Gabor变换与小波变换10例：10三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基Hilbert空间H中的函数族称为一个框架，若：

能量特性，回忆Parseval定理：H空间中完全规范正交系列满足紧框架：当A=B时注：框架、紧框架不是正交基，因不是线性独立的框架与规范正交基之间的联系：若A=B=1且（)则构成一组规范正交基（此时满足Parseval定理）11三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基11

Riesz基：Banach空间中的{ej}若满足（1）对任意,存在唯一的aj使（2）存在c2>c1>0,使得对任意aj有

（范数而非内积，长度）Riesz基与框架的区别？Riesz基是线性无关的/空间不同/能量与长度/Riesz基不一定正交框架--（线性无关）Riesz基---(正交）正交基12Riesz基：Banach空间中的{ej}若满足122、Lipschitz正则性（描述函数的光滑程度）称函数f(t)在t₀有Lipschitz指数，若存在常数K>0和

m次多项式，使：

助记：f(t)相当于m次多项式的程度

一致Lipschitz指数：对所有都成立，且K与t₀无关Lipschitz正则性：f(x)有一致Lipschitz指数a正则性阶数：a的上确界讨论：若

，则Lipschitz条件变为：若a=0,则f(x)在该点有界但不连续若，则f(x)在该点连续但不可微（例如：第一类不连续间断点）132、Lipschitz正则性（描述函数的光滑程度）13从频域的角度求正则性，若：则称函数f(x)有界且有一致的Lipschitz指数a(注意a越大，频域衰减越快，正则性阶数越高，时域越光滑，且此时的a刻画了整体正则性强弱，为什么？）3、消失矩（描述函数时域的衰减快慢，注意与Lipschitz指数频域定义的相似性和区别）

的k

阶矩：

若，而则称具有p

阶消失矩。(回忆k阶导数与傅立叶变换的关系）14从频域的角度求正则性，若：3、消失矩（描述函数时域的四、连续小波变换定义函数f(x)

的小波变换为：这是一个加窗的过程，从f(x)中提取出由a,b决定位置、形状的窗内信息。（注意与卷积、相关、内积、积分算子的关系）15四、连续小波变换定义函数f(x)的小波变换为：15反演公式逆变换：注意存在条件：容许小波类似傅立叶逆变换，可看成是对f(x)的一种分解（不同的是这种分解有一个多尺度的思想）16反演公式逆变换：16五、离散小波变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的基函数是离散的，而离散小波变换的基函数是连续的17五、离散小波变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的基函数是离散的以划分频域二进离散的含意：对频域以形式划分。这正是小波引入a因子并对a二进取值的原因。18以划分频域二进离散的含意：对频域以形式问题：上图为离散小波变换对频域的划分情况，请指出图中哪种情况与Riesz基和正交基分别对应。离散后小波的窗口情况（频域）离散后的频窗中心和半径:19问题：上图为离散小波变换对频域的划分情况，请指出图中哪种情况离散小波变换后能重建原信号的小波若基小波满足稳定性条件（重构条件），则它二进离散后的窗可覆盖整个正频域:意义：用这组窗对信号滤波后，信号无损失，不管有多少冗余，总有方法可重构。

20离散小波变换后能重建原信号的小波若基小波满足稳定性条件（重构小波级数：对信号f(x)用稳定性条件下的离散小波做分解（展开），总能找到办法重建。

是相对于的重构小波注意:

1.正交与双正交的情况、对偶2.从积分到离散和的变化（冗余度的变化）21小波级数：对信号f(x)用稳定性条件下的离散小波做分解（展开回顾：1、各种小波的关系（a,b的取值类型不同）。2、小波是一种窗，是自适应的窗，小波变换是对信号加窗，是傅立叶分析的补充。22回顾：1、各种小波的关系（a,b的取值类型不同）。22习题1.请指出Riesz基与框架的不同之处（提示：线性相关性/空间）2.指出框架与正交基之间的关系3.简述各种小波的关系和特点（提示：根据a,b的取值类型进行讨论）。4.在小波变换中，b的物理意义是什么？5.从频域与时域的角度说明消失矩与正则性之间的联系。23习题1.请指出Riesz基与框架的不同之处（提示：线性相关第三章小波分析概述1、小波的产生及定义2、小波窗的优点3、一些常用概念4、连续小波变换5、离散小波变换24第三章小波分析概述1、小波的产生及定义1一、小波的产生及定义小波是一个快速衰减的振荡，是一个时频窗，它具有时频局部化特点，而且其窗口是自适应的。小波是针对傅立叶分析的一些不足而发展出来的，二者不能相互代替。25一、小波的产生及定义小波是一个快速衰减的振荡，是一个时频窗，傅立叶分析傅立叶变换和逆变换：傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次实现多通道图像的傅立叶变换）小波基与傅立叶变换基函数的差别？（提问）26傅立叶分析傅立叶变换和逆变换：3

小波变换基函数（时频局部化）付氏变换基函数（频域局部化时域无限）注意第三种情况：时域有限，频域无限（时域基函数为冲激函数，频域为正弦信号）；傅立叶变换的对偶性质27小波变换基函数付氏变换注意第三种情况：时域1、小波是窗函数：从中可看出，在远处f(x)必然是有界的，且比x衰减快，注意图形2、小波具有时频局部化特点，即：时域和频域窗的半径都是有限的（注：窗的中心位置和窗宽类似期望值与方差；注意这里是等效窗宽）。

测不准原理：

注：1）其它类似的还有：光学系统中空间分辨率与光阑/基带波形的界2）时频窗面积最小的是高斯函数，但它不是小波,为什么？为什么不用高斯函数作基带波形（Q）3）不等式中的常数随傅立叶变换的定义而变（差）且时频窗面积＝小波的定义281、小波是窗函数：小波的定义53、小波是振荡的：4、小波变换可重建（逆变换存在）注：并非所有小波变换都可重建由上面四个条件，可推出小波函数应满足的容许性条件(必要条件，逆变换存在的条件，容许小波）：293、小波是振荡的：6二、小波的优点——窗口自适应性小波的收缩与平移（尺度和位移变换）小波时窗中心x*b＋ax*时窗半宽度时窗范围30二、小波的优点——窗口自适应性小波的收缩与平移（尺度和位移变频窗中心：频窗半宽度：频窗范围：时频窗面积不变R问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？31频窗中心：R问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？8小波窗口的自适应性32小波窗口的自适应性9例：数字示波器采样频率提高，存贮深度不变Gabor变换与小波变换33例：10三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基Hilbert空间H中的函数族称为一个框架，若：

能量特性，回忆Parseval定理：H空间中完全规范正交系列满足紧框架：当A=B时注：框架、紧框架不是正交基，因不是线性独立的框架与规范正交基之间的联系：若A=B=1且（)则构成一组规范正交基（此时满足Parseval定理）34三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基11

Riesz基：Banach空间中的{ej}若满足（1）对任意,存在唯一的aj使（2）存在c2>c1>0,使得对任意aj有

（范数而非内积，长度）Riesz基与框架的区别？Riesz基是线性无关的/空间不同/能量与长度/Riesz基不一定正交框架--（线性无关）Riesz基---(正交）正交基35Riesz基：Banach空间中的{ej}若满足122、Lipschitz正则性（描述函数的光滑程度）称函数f(t)在t₀有Lipschitz指数，若存在常数K>0和

m次多项式，使：

助记：f(t)相当于m次多项式的程度

一致Lipschitz指数：对所有都成立，且K与t₀无关Lipschitz正则性：f(x)有一致Lipschitz指数a正则性阶数：a的上确界讨论：若

，则Lipschitz条件变为：若a=0,则f(x)在该点有界但不连续若，则f(x)在该点连续但不可微（例如：第一类不连续间断点）362、Lipschitz正则性（描述函数的光滑程度）13从频域的角度求正则性，若：则称函数f(x)有界且有一致的Lipschitz指数a(注意a越大，频域衰减越快，正则性阶数越高，时域越光滑，且此时的a刻画了整体正则性强弱，为什么？）3、消失矩（描述函数时域的衰减快慢，注意与Lipschitz指数频域定义的相似性和区别）

的k

阶矩：

若，而则称具有p

阶消失矩。(回忆k阶导数与傅立叶变换的关系）37从频域的角度求正则性，若：3、消失矩（描述函数时域的四、连续小波变换定义函数f(x)

的小波变换为：这是一个加窗的过程，从f(x)中提取出由a,b决定位置、形状的窗内信息。（注意与卷积、相关、内积、积分算子的关系）38四、连续小波变换定义函数f(x)的小波变换为：15反演公式逆变换：注意存在条件：容许小波类似傅立叶逆变换，可看成是对f(x)的一种分解（不同的是这种分解有一个多尺度的思想）39反演公式逆变换：16五、离散小波变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的基函数是离散的，而离散小波变换的基函数是连续的40五、离散小波变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的基函数是离散的以划分频域二进离散的含意：对频域以形式划分。这正是小波引入