计算点面距离的方法

九。计算点面距离的方法1。在棱长为a的正方体E人中,E、f分别为棱AB和BC的中点,G为上底面，'|R'r|D|的中心.⑴求AD与BG所成角的余弦值；’1"求二面角厂；/'饥"的大小；求点D到平面1'\上1的距离.2。已知四棱锥P里乂工，中,底面ABCD是矩形，H一平面ABCD,」产’AQ1,宜-,E>F分别是AB、PD的中点.(1)求证：-'」•"'平面PEC;⑵求二面角,厂)的大小.九。计算点面距离的方法1。答案解:建立如图所示的空间直角坐标系”.则&Q.O.O)B"。)C(o,0,0)型色土。)口弓&。)，，~a—*口K—/Q皿\（i）「m:.顼"，「*「,广Lf\令AD与BG所成角为,,AD-~BGV6挪。册=_一一-=飞-\AD\-\BG\".二」1）与BG所成角的余弦值为「."仁设平面几"的法向量为-京=[—勺扣前=（勇,0）&—4,>_、则.0；-nr”，：.•.••z；".faaJ~2t1质q]、凝=（〕取"',则/"1.二可取•'”—；，显然"」平面史'％'[.「.可取平面「〃t?的法向量■■'•''|lLL"-.m云2•••'"""""•,<-■-所求二面角的大小为.由'/巳求平面R的法向量1!，-■-■「，又>DB\=（a,a,a）…点D到平面的距离’十l二■,点D到平面七'的距离为a.解析⑴以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出AD与BG的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出AD与BG所成角的余弦值；(II)分别求出平面的法向量和平面“"打'的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角”'的大小；由'中结论，平面"的法向量”,又由—_.祁I应FI.代入-，即可求出点D到平面心'的距离.本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，点到平面之间的距离，其中(I)的关键是求出AD与BG的方向向量，门的关键是求出平面占I的法向量和平面「"打的法向量，'")的关键是求出平面-■■■'■■'的法向量1:，及D与平面0"」'任一点连线―!—>的方向向量，如"申'*'3").2。解法一：(1)证明:取PC的中点O,连结OF、OE.，且*'「""•""/.又，•是AB的中点，且AB=DC，,「E•目.一四边形AEOF是平行四边形，•-"'E•-(5分)又。土二平面PEC，"平面PEC,平面JW'-一(7分)(2)解:作A」U(1,交ce延长线于M,连结PM.由三垂线定理，得".「HE是二面角尸。的平面角.…(11分)由，以,可得一」^.IrrtanZPMA=~2-一,二面角厂上厂D的大小为….(14分)解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系.则71(0,0,0)5(2,0,0)C(2,1,D)D(0}l,0)P(0,0,1)加打),,,,,,"""L….(2分)⑴证明：取PC的中点O,连结OE.则11>11>11O(L-).AF=(D.-).EO=(0：-,-),云局—-,•,"1.一(5分)又。"二平面PEC,"」平面PEC,山平面「"二...(7分)⑵解:设平面PEC的法向量为"'八俱「.;屈=(1,0.-1).瓦=(1,撰)ITlt-PE=flJ卫一启=0,\|ntEC=0—r”曰］'工+#="由L，可得1人丁一|m??t—(—1,1,—1)...■令，则(11分)~*由题意可得平面ABCD的法向量是厂」"I〉1).TOC\o"1-5"\h\z—777布，FA1..cos<m,rA>=—————\o"CurrentDocument"\rii\\PA\寸$'.arccos….八•,二面角1L，-□的大小为：，(14分)解析解法一：(1)取PC的中点O,连结OF、OE,证明•"('〃•,利用线面平行的判定定理，即可证明AL//平面PEC;⑵作-口1一(「匚,交CE延长线于M,连结PM,证明1是二面角卜-■°的平面角，即可求二面角。顼'D的大小.解法二:(1)建立空间直角坐标系，证明!'';/',即可证明平面PEC;(2)确定平面