第一章集合知识点整理

第一章集合§1.1集合基础知识点:集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。表示方法：集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。集合相等：构成两个集合的元素完全一样。常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q;实数集，记作R;5.关于集合的元素的特征⑴确定性：⑵互异性:⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑶非负奇数；⑸徐州艺校校2011级新生；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：⑵互异性:⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑶非负奇数；⑸徐州艺校校2011级新生；⑺著名的数学家；⑵我国的小河流；⑷方程X2+1=0的解；⑹血压很高的人；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于e”及“不属于W”两种）⑴若a是集合A中的元素，⑵若a不是集合A的元素，则称a属于集合A，记作agA；则称a不属于集合A，记作aWA。例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3EA，4右A，等等。(2)A={2，4，8,16}，则4eA，8eA，32冬A.典型例题例1.用隹”或“右”符号填空:⑴8—N；⑵0N；⑶-3Z；(4E2Q；如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程（x-2）（x-1）2=0的解集表示为｛1,2｝，而不是｛1,1,2｝⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国—，美国—A，印度—，英国—A。例2.巳知集合P的元素为1，m，m2-m-3,若2UP且-1史P，求实数m的值。第二课时基础知识点一、集合的表示方法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号，，｛｝，,括起来表示集合的方法叫列举法。如：第二课时1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号，，｛｝，,括起来表示集合的方法叫列举法。如：｛1,2,3,4,5｝,｛容,3x+2,5y3-x,X2+y2｝,…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时，通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集N用列举法表示为｛123,4,5,......｝例1.用列举法表示下列集合：小于5的正奇数组成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；从51到100的所有整数的集合；小于10的所有自然数组成的集合；方程x2=x的所有实数根组成的集合；⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：｛xeAP(x)｝如：｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=X2+1｝,｛x|直角三角形｝,•••；说明：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x2+3x+2｝是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：｛整数｝,即代表整数集Z。辨析：这里的｛｝巳包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。写法｛实数集｝，｛R｝也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2.用描述法表示下列集合：由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合；方程x2-2=°的所有实数根组成的集合由大于10小于20的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习:由方程x2—2x—3=0的所有实数根组成的集合;大于2且小于6的有理数；

巳知集合A={x|-3<x<3,xUZ},B={(x,y)|y=x2+1,x^A}，则集合B用列举法表示是.3、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即,9,27}二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数{4.8,7.3,3.1,-9};{xGR|0<x<3};{xWr,9,27}二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数{4.8,7.3,3.1,-9};{xGR|0<x<3};{xWr|x2+1=0}由此可以得到'有限集：含有有限个元素的集合集合的分类<无限集：含有无限个元素的集合空集：不含有任何元素的集合0(empty-set)典型例题【题型一】元素与集合的关系1、设集合A={1,-2a+3},B={1,a2}，且A=B，求实数a的值。2、巳知集合A={a+2,(a+1)2}若1UA,求实数a的值。【题型二】元素的特征1、巳知集合M={x£N|eZ}，求M巩固练习，一选择题：给出下列四个关系式：①'「3eR；②nwQ；③0eN；④0W其中正确的个数是()A.1r+_3B.2C.3D.4方程组]^y吊解组成的集合是()[x-y_1{2,1}B.{-1,2}C.(2,1)D.((2,1)}把集合{-3WxW3,xeN}用列举法表示，正确的是()A.(3,2,1}B.(3,2,1,0}C.(-2,-1,0,1,2}D.(-3,-2,-1,0,1,2,3}巳知A={x|3—3x〉0},则下列各式正确的是()A.3eA1eA0£AD.—11A二填空题：巳知集合A={1,澎},实数a不能取的值的集合是.巳知？=仅|2＜乂＜3,x^N},巳知集合P中恰有3个元素，则整数a=.集合M=（yeZ|y=,x^Z}，用列举法表示是M=。3+x巳知集合A=（2a,a2-a},则a的取值范围是。三、解答题：巳知集合A={x|ax2—3x—4=0,xeR}.（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.1.2集合间的基本关系基础知识点比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}；（2）C={北京一中高一一班全体女生},D={北京一中高一一班全体学生}；观察可得:子集：对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）o表示:记作：A^B（或BoA）读作：A包含于B,或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作AQB（或B豚）用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：表示:集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若aoB且BoA，则A=B。如:A={x|x=2m+1,m^Z},B={x|x=2n-1,n^Z},此时有A=B。真子集定义：若集合AoB，但存在元素xeB,且x冬A，则称集合A是集合B的真子集。记作：A巨B（或启A）读作：A真包含于B（或B真包含A）几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有8OAo⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A,B,C,如果AoB，且BoC，那么AoCo练习：填空：⑴2_；{2}—N；8A;⑵巳知集合A={x|x2—3x+2=0},B={1,2},C={x|x＜8,xeN}，则AB；AC；{2}C；2C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。典型例题【题型1】集合的子集问题写出集合（a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。巳知集合M满足（2,3}oMo（1,2,3,4,5}求满足条件的集合M。巳知集合A=（x|x2-2x-3=0},B=（x|ax=1},若B巨A，则实数a的值构成的集合是（）

1A.{-1,0,-}B.1A.{-1,0,-}B.{-1,0}-2<x<5},B=4.巳知集合A=11C.{-1,-}D.{-,0}X-m+1<x<2m-1}且AoB,求实数m的取值范围。巩固练习1、判断下列集合的关系.NZ;(2)NQ;(3)RZ;(4)RQ;A={x|(x-1)2=0},B={y|y2-3y+2=0};A={1,3},B={x|x2-3x+2=0};A={-1,1},B={x|x2-1=0};2、设A={0,1},B={-1,0,1,2,3}，问A与B什么关系?3、巳知集合A={x|a<x<5},B={xIxN2}，且满足AoB，求实数a的取值范围。4、xx2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0}，且MoN,求实数a的值.4、1.1.3集合间的基本运算基础知识点考察下列集合，说出集合C与集合A,B之间的关系：（1）A={1,3,5}，B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}；（2）A={尤卜是有理数},B={尤卜是无理数},C={x|x是实数};并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，即A与B的所有部分，记作AUB,Venn图表示:读作：A并B即AUB={x|x£A或x^B}。记作AUB,Venn图表示:说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：AUB与集合A、B有什么特殊的关系？AUA=,AUe=,AUBBUAAUB=An,AUB=Bn巩固练习（口答）：.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8}，则AUB=一;•设A={锐角三角形}，B={钝角三角形},IJAUB=..A={x|x>3},B={x|x<6},则AUB=。2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset）,记作：AAB读作：A记作：AAB读作：A交B即：ACB={x|xUA,且x^B}Venn图表示:（阴影部分即为A与B的交集）常见的五种交集的情况:说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集讨论：AAB与A、B、BAA的关系？AAA=AA4=AABBAAAAB=说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集讨论：AAB与A、B、BAA的关系？AAA=AA4=AABBAAAAB=A习AAB=B习巩固练习（口答）：.A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，则AAB=一;.A={等腰三角形}，B={直角三角形}，则AAB=;.A={x|x>3}，B={x|x<6}，则AAB=。3.一些特殊结论⑴若AUB，则AAB=A；⑵若BUA，则ADB=A；⑶若A，B两集合中，B=4，，则AA。=4,AD。=A。典型例题【题型一】并集与交集的运算【例1】设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},匕解：AUB={x|T<x<2}U{x|1<x<3T=B。-1【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求AAB。解：在数轴上作出A、B对应部分如图AAB={x|x>-2}A{x|x<3}={x|-2<x<3}。-23【例3】已知集合A={y|y=x2-2x-3,x^R},B={y|y=-x2+2x+13,x^R}求AAB、AUB【题型二】并集、交集的应用例：.巳知{3,4，m2-3m-1}A{2m，-3}={-3}，则m=巩固练习1、设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则AAB=2、设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则AUB=3、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则AUB=。4、巳知集合M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则MAN等于。5、设A={不大于20的质数}，B={x|x=2n+1,nUN*}，用列举法写出集合AAB=。6、若集合A={1，3，x},B={1,x2},AUB={1，3，x}，则满足条件的实数x=7、满足条件MU{1}={1，2,3}的集合M的个数是。8、巳知集合A={x|-1WxW2},B={x|2a<x<a+3}，且满足AAB=4，则实数a的取值范围是集合的基本运算㈡基础知识占思考1.U=｛全班同学｝、A=｛全班参加足球队的同学｝、B=｛全班没有参加足球队的同学｝,则U、A、B有何关系？集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。（一）.全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A,由全集U集合的基本运算㈡基础知识占思考1.U=｛全班同学｝、A=｛全班参加足球队的同学｝、B=｛全班没有参加足球队的同学｝,则U、A、B有何关系？集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。（一）.全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：cA,读作：A在U中的补集，即CA=lx|xeU,且X史A）Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与CuA之间有什么关系？一借助Venn图分析AcCA=0,CU=0,巩固练习（口答）：AuCA=U,

Cu0=UCu(CA)=ACB=①.U=｛2,3,4｝,A=｛4,3｝,B=e，则CuA=②.设U=｛x|x<8，且x^N｝,A=｛x|（x-2）（x-4）（x-5）=0｝，则CUA—③.设U=｛三角形｝，A=｛锐角三角形｝,则CUA=。典型例题【题型1】求补集【例1】.设全集U=|x是小于9的正整数｝,A=｛1，2,3），B=｛3,4,5,6），求CUA,CB.【例2】设全集U={x|x<4},集合A={x\AcB，AuB,C(AcB),(CA)c(CB),(CA)u(CB),C(AuB)。(结论：C〃(AcB)=CA)u(CuB),Cu(AuB)=七〃A)茶匕8，x2+px+12=0},B=-2<X<3},B={X|-3<X<3}，求C^A，x2-5x+q=0}，若(CuA)cB={2},Ac(CuB)={4}，求AuB。(答案：{2,3,4})【例3】设全集U为R,A=巩固练习TOC\o"1-5"\h\z若S={2,3,4},A={4,3},则CA=；S若S={三角形}，B={锐角三角形},则CsB=-若S={1,2,4,8},A=0,则CA=；S若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CA={5},则a=；U巳知全集U=R,集合A={x|0<x-1<5},求C世=;巳知集合MG{4,7,8},且M中至多有一个偶数，则这样的集合为提高内容：A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且AB={3,7},求B.巳知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x^M,y£N},B={(x,y)|x^N,y^M}，求APB,AUB.高一数学必修集合单元综合练习（I）一、填空题（本大题包括14小题；每小题5分，满分70分）1、U={1,2,3,4,5},若APB={2},（*）准={4},（*）6（腭）={1,5},则下列结论正确的是错误!未指定书签。①、3A且3B；②、3A且3B；③、3A且3B；④、3A且3B。2、设集合M={x|—1Wx<2},N={x|x—kW0}，若MPNN员，则k的取值范围是3、巳知全集I={x|xR},集合A={x|xW1或xN3},集合B={x|k<x<k+1,kR},且（qA）PB=务，则实数k的取值范围是4、巳知全集U=Z,A={—1,0,1,2},B={xIx2=x},则ACUB为5、设a,beR，集合{1，a+b,a}=\o,-,b],则b一^=、a‘6、设集合M={xIx=2+4,keZ},N={xIx=|+*keZ}，则M。（选填、、、^、=M*N7、设集合A=^114x—M-9,xe"},B="|—>0,xeR],则APB=x+38、设P和Q是两个集合，定义集合P—Q={xlxeP,且x冬。},如果P={xllog2x<1},Q=lxI|x-2|<l},那么P—Q等于.9、巳知集合A={x|x—a|W1},B=lxx2—5x+4五0}.若AB=0，则实数a的取值范围是10、设集合S={A,A,A,A},在S上定义运算金为：A金A=A，其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=(x金x)金A=A01231b20的x(xeS)的个数为11、集合A={(x,j)Ij>lx—2I,x>0},B={(x,j)lj<—x+b},AcB。0,b的取值范围是12、定义集合运算：A*B=L|z=叫xeA,Jeb}.设A=l1,2},B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为13、设集合A={x|0<x<3且工en}的真子集的个数是♦♦♦14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，巳知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有―人。二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！求实数的a,b值。15、(13分)巳知全集比Z,3,a2+2a一3},若入=lb，2}，十=l5}，16、（14分）若集合S={3,a2},T=lx10Vx+aV3,xeZ}且SnT=l1},P=SuT，求集合P的所有子集17、(16分)巳知集合入=lx\3<x<7}，B={x|2<x<10},C={x|x<a}，全集为实数集R.求实数的a,b值。17、求AUB,(CRA)nB；⑵如果AnCN@，求a的取值范围。18、(18分)巳知集合A的元素全为实数，且满足：若aeA，则^扫eA。1一a若a=—3，求出A中其它所有元素；0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aeA，再求出A中的所有元素?根据(1)(2)，你能得出什么结论19、（14分）集合A={xIx2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={xIx2+2x-8=0}满足Ab壬e,,ac=e,求实数a19、高一数学必修1集合单元综合练习（ii）一、填空题（本大题包括14小题；每小题5分，满分一、填空题（本大题包括14小题；每小题5分，满分70分）1、集合｛a，b，c｝的真子集共有个2、以下六个关系式：0e^0｝，｛0｝目0，0.3WQ,0eN,{a,b}u{b,a}，{xIx2-2=0,xeZ}是空集中，错误的个数是3、若A={—2,2,3,4}，B={x|x=技/eA}，用列举法表示b4、集合A={x|X2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若Bu入，则a=5、设全集U={2,3,a2+2a—3，