数学分析第三章-函数极限课件

§1函数极限概念第三章函数极限§1函数极限概念第三章函数极限1一、自变量趋向无穷大时函数的极限

一、自变量趋向无穷大时函数的极限2数学分析第三章--函数极限课件3数学分析第三章--函数极限课件4数学分析第三章--函数极限课件5定义１设

为定义在上的函数，Ａ为定数。若对任给的,存在正数Ｍ

,使得当时有

则称函数当时以Ａ为极限。记作.

定义１设为定义在上的函数，Ａ为定数。若对任给的,存在正数Ｍ6几点注记而不仅仅是某些表示比Ｍ大的所有实数,(1)正整数n。的邻域描述：当时，(3)(2)的几何意义：对中心线，以为宽的带形区域;，就有以Ａ为的右方，曲线全部落在这个带形区域内。在直线几点注记而不仅仅是某些表示比Ｍ大的所有实数,(1)正整数7数学分析第三章--函数极限课件82.另两种情形:

2.另两种情形:93.几何解释:3.几何解释:10例1例111证例2证例212证左半部分成立，只考察右半部分x的范围，，则有：分析证左半部分成立，只考察右半部分x的范围，13二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限14数学分析第三章--函数极限课件15时函数极限的定义

1定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对，当时，有则称函数当

（或称Ａ为时的极限），记作:

时以Ａ为极限趋于时函数极限的定义1定义２设函数在点的某个16数学分析第三章--函数极限课件172.几何解释:注意：2.几何解释:注意：18例3例319证例4证例420证例5证明

证例5证明21.例6.例622证证23几点注释1定义中的相当于数列极限中的，它与有关，但不是唯一确定。2定义中只考虑在空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在有无定义。3以上的定义可以用邻域的形式简单给出。几点注释1定义中的相当于数列极限中的24三.单侧极限:例如,三.单侧极限:例如,25数学分析第三章--函数极限课件26左极限

右极限左极限右极限27例6例628证左右极限存在但不相等,例7讨论函数在处的单侧极限。证左右极限存在但不相等,例7讨论函数在处的单侧极限。29数学分析第三章--函数极限课件30作业P471(3)(4);3;4;6(3);8作业P471(3)(4);3;4;6(3);831§２函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一

性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。§２函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。32六种极限

六种极限33一函数极限的性质

2.局部有界性1.唯一性一函数极限的性质2.局部有界性1.唯一性34推论3.局部保号性

；推论3.局部保号性；354.局部保不等性定理3.54.局部保不等性定理3.536本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。5.逼敛性定理3.5本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极376、极限运算法则

6、极限运算法则38二、求极限方法举例

例5求二、求极限方法举例例5求39数学分析第三章--函数极限课件40例3求例3求41解(消去零因子法).例4证明解(消去零因子法).例4证明42数学分析第三章--函数极限课件43数学分析第三章--函数极限课件44解左右极限存在且相等,解左右极限存在且相等,45作业P511(3)(5)(8),2(2),5,7

作业P511(3)(5)(8),2(2),5,746

§３函数极限存在的条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，其实质以及证明的基本思路。§３函数极限存在的条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西47定理3.8注：本定理有如下几点注释：

1本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。

2本定理通常用来证明函数极限的不存在性。一、归结原则(函数极限与数列极限的关系(海涅定理))1海涅(Heine)定理定理3.8注：本定理有如下几点注释：一、归结原则(函数极限48证明:(必要性)

证明:(必要性)49数学分析第三章--函数极限课件50例如,例如,51注１

这个定理把函数

的极限归结为数列

的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质。注１这个定理把函数的极限归结为数列的极限问题来讨论，所52不存在注２．从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)“若可找到一个数列

，使得不存在；”或(2)“找到两个都以为极限的数列，使都存在但不相等，则不存在。，不存在注２．从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)53例1例154二者不相等,证二者不相等,证552其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：以上4种极限有相互对应的单调有界准则。2其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：以上4种极限有相互56数学分析第三章--函数极限课件57注：定理３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（１）在上递增有下界，则存在，且；（２）在有上界，则存在，且

上递减注：定理３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（１58二Cauchy收敛准则：设函数在内有定义。存在的充要条件为：收敛函数的函数值在几乎“挤”在了一起。通常用Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。1定理3.11

二Cauchy收敛准则：设函数在59数学分析第三章--函数极限课件60数学分析第三章--函数极限课件61注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对62数学分析第三章--函数极限课件63作业P551,3(1),4综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具。作业P551,3(1),4综上所述：Heine定理和64§４两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。§４两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。65一一66数学分析第三章--函数极限课件67例1

例168解解69数学分析第三章--函数极限课件70数学分析第三章--函数极限课件71数学分析第三章--函数极限课件72数学分析第三章--函数极限课件73例4例474例5解例5解75解解76数学分析第三章--函数极限课件77三、小结

1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则

.三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界78作业P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作业P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(79§５无穷小量和无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。§５无穷小量和无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的80一、无穷小量

一、无穷小量81例如,注5:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;例如,注5:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;822.无穷小与函数极限的关系:2.无穷小与函数极限的关系:83意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:

两个(或有限个)无穷小量（相同类型的）之和、差、积仍为无穷小量。

意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷84注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.85(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小.(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小.86证证87结论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.结论2常数与无穷小的乘积是无穷小.结论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小结论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的结论2常数88二、无穷小量阶的比较

例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.二、无穷小量阶的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“89定义:

定义:90数学分析第三章--函数极限课件91数学分析第三章--函数极限课件92例1

例193例2解例2解94解解95常用等价无穷小:

常用等价无穷小:96数学分析第三章--函数极限课件97(4)等价无穷小替换定理(4)等价无穷小替换定理98例3

例399解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4

解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.100解解错解解错101三、无穷大

绝对值无限增大的变量称为无穷大.1．非正常极限三、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.1．非正常极限102数学分析第三章--函数极限课件1032．无穷大量的定义

定义３．对于自变量的某种趋向（或所有以（包括数列），都称为无穷大量。），为非正常极限的函数1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;2.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.注意2．无穷大量的定义定义３．对于自变量的某种趋向（或所有以（104不是无穷大．无界，不是无穷大．无界，105数学分析第三章--函数极限课件106数学分析第三章--函数极限课件107证证108数学分析第三章--函数极限课件1093、无穷小与无穷大的关系

意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.3、无穷小与无穷大的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为110证证111数学分析第三章--函数极限课件112四、曲线的渐近线1．曲线的渐近线定义定义４若曲线Ｃ上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。四、曲线的渐近线1．曲线的渐近线定义定义４若曲线Ｃ上的动点113数学分析第三章--函数极限课件1142.曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程?

假设曲线有斜渐近线，曲线上到渐近线的距离为

（１）斜渐近线动点依渐近线定义，当时（类似），，即有，——③或2.曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程?假设曲线有115又由—④又由—④116由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与反之，若由④和③求得与，则可知（），从而为曲线的渐近线。可相继由④和③式求出；由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与反之，若由④和③求117（２）垂直渐近线若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴的渐近线，称为垂直渐近线。（２）垂直渐近线若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴118数学分析第三章--函数极限课件119数学分析第三章--函数极限课件120五、小结

几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）

无穷小（

大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）

无界变量未必是无穷大.作业

P661(3)(4),2(2),4(3),5(4),6(1)五、小结几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）121

§1函数极限概念第三章函数极限§1函数极限概念第三章函数极限122一、自变量趋向无穷大时函数的极限

一、自变量趋向无穷大时函数的极限123数学分析第三章--函数极限课件124数学分析第三章--函数极限课件125数学分析第三章--函数极限课件126定义１设

为定义在上的函数，Ａ为定数。若对任给的,存在正数Ｍ

,使得当时有

则称函数当时以Ａ为极限。记作.

定义１设为定义在上的函数，Ａ为定数。若对任给的,存在正数Ｍ127几点注记而不仅仅是某些表示比Ｍ大的所有实数,(1)正整数n。的邻域描述：当时，(3)(2)的几何意义：对中心线，以为宽的带形区域;，就有以Ａ为的右方，曲线全部落在这个带形区域内。在直线几点注记而不仅仅是某些表示比Ｍ大的所有实数,(1)正整数128数学分析第三章--函数极限课件1292.另两种情形:

2.另两种情形:1303.几何解释:3.几何解释:131例1例1132证例2证例2133证左半部分成立，只考察右半部分x的范围，，则有：分析证左半部分成立，只考察右半部分x的范围，134二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限135数学分析第三章--函数极限课件136时函数极限的定义

1定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对，当时，有则称函数当

（或称Ａ为时的极限），记作:

时以Ａ为极限趋于时函数极限的定义1定义２设函数在点的某个137数学分析第三章--函数极限课件1382.几何解释:注意：2.几何解释:注意：139例3例3140证例4证例4141证例5证明

证例5证明142.例6.例6143证证144几点注释1定义中的相当于数列极限中的，它与有关，但不是唯一确定。2定义中只考虑在空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在有无定义。3以上的定义可以用邻域的形式简单给出。几点注释1定义中的相当于数列极限中的145三.单侧极限:例如,三.单侧极限:例如,146数学分析第三章--函数极限课件147左极限

右极限左极限右极限148例6例6149证左右极限存在但不相等,例7讨论函数在处的单侧极限。证左右极限存在但不相等,例7讨论函数在处的单侧极限。150数学分析第三章--函数极限课件151作业P471(3)(4);3;4;6(3);8作业P471(3)(4);3;4;6(3);8152§２函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一

性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。§２函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。153六种极限

六种极限154一函数极限的性质

2.局部有界性1.唯一性一函数极限的性质2.局部有界性1.唯一性155推论3.局部保号性

；推论3.局部保号性；1564.局部保不等性定理3.54.局部保不等性定理3.5157本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。5.逼敛性定理3.5本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极1586、极限运算法则

6、极限运算法则159二、求极限方法举例

例5求二、求极限方法举例例5求160数学分析第三章--函数极限课件161例3求例3求162解(消去零因子法).例4证明解(消去零因子法).例4证明163数学分析第三章--函数极限课件164数学分析第三章--函数极限课件165解左右极限存在且相等,解左右极限存在且相等,166作业P511(3)(5)(8),2(2),5,7

作业P511(3)(5)(8),2(2),5,7167

§３函数极限存在的条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，其实质以及证明的基本思路。§３函数极限存在的条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西168定理3.8注：本定理有如下几点注释：

1本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。

2本定理通常用来证明函数极限的不存在性。一、归结原则(函数极限与数列极限的关系(海涅定理))1海涅(Heine)定理定理3.8注：本定理有如下几点注释：一、归结原则(函数极限169证明:(必要性)

证明:(必要性)170数学分析第三章--函数极限课件171例如,例如,172注１

这个定理把函数

的极限归结为数列

的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质。注１这个定理把函数的极限归结为数列的极限问题来讨论，所173不存在注２．从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)“若可找到一个数列

，使得不存在；”或(2)“找到两个都以为极限的数列，使都存在但不相等，则不存在。，不存在注２．从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)174例1例1175二者不相等,证二者不相等,证1762其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：以上4种极限有相互对应的单调有界准则。2其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：以上4种极限有相互177数学分析第三章--函数极限课件178注：定理３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（１）在上递增有下界，则存在，且；（２）在有上界，则存在，且

上递减注：定理３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（１179二Cauchy收敛准则：设函数在内有定义。存在的充要条件为：收敛函数的函数值在几乎“挤”在了一起。通常用Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。1定理3.11

二Cauchy收敛准则：设函数在180数学分析第三章--函数极限课件181数学分析第三章--函数极限课件182注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对183数学分析第三章--函数极限课件184作业P551,3(1),4综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具。作业P551,3(1),4综上所述：Heine定理和185§４两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。§４两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。186一一187数学分析第三章--函数极限课件188例1

例1189解解190数学分析第三章--函数极限课件191数学分析第三章--函数极限课件192数学分析第三章--函数极限课件193数学分析第三章--函数极限课件194例4例4195例5解例5解196解解197数学分析第三章--函数极限课件198三、小结

1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则

.三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界199作业P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作业P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(200§５无穷小量和无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。§５无穷小量和无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的201一、无穷小量

一、无穷小量202例如,注5:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;例如,注5:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2032.无穷小与函数极限的关系:2.无穷小与函数极限的关系:204意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:

两个(或有限个)无穷小量（相同类型的）之和、差、积仍为无穷小量。

意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷205注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.206(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小.(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小.207证证208结论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.结论2常数与无穷小的乘积是无穷小.结论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小结论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的结论2常数209二、无穷小量阶的比较

例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.二、无穷小量阶的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“210定义:

定义:211数学分析第三章--函数极限课件212数学分析第三章--函数极限课件213例1

例1214例2解例2解215解解216常用等价无穷小:

常用等价无穷小:217数学分析第三章--函数极限课件218(4)等价无穷小替换定理(4)等价无穷小替换定理219例3

例3220解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4

解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.221解解错解解错222三、无穷大

绝对值无限增大的变量称为无穷大.1．非正常极限三、无穷大绝对值无限增大的变量