微积分三大中值定理详解课件

微积分三大中值定理详解聪明出于勤奋，天才在于积累微积分三大中值定理详解聪明出于勤奋，天才在于积累1微积分(-)calculus第四章中值定理及导数的应用§41{分中值定理§42洛必达法则§43用导数研究函数的单调性、极值、和最值44函数曲线的凹向及拐点§4曲线的渐近线与函数作图§46导数在经济学中的应用微积分(-)calculus2微积分(-)calculus§4.1微分中值定理、引言二、微分中值定理、罗尔(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西Cauchy)定理小结微积分(-)calculus3微积分(-)calculus、引言(ntroduction导数刻划函数在一点处的变化率,它反映函数在一点处的局部变化性态;但在理论研究和实际应用中,还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型,又是解决微分学自身发展的理论基石。微积分(-)calculus4微积分(-)calculus微分中值定理TheMeanvalueTheorem在微分中值定理的三个定理中,拉格朗日①lagrange)中值定理是核心定理,罗尔中值定理是它的特例,柯西中值定理是它的推广。下面我们逐一介绍微分中值定理。微积分(-)calculus5微积分(-)calculus1、罗尔(Rolle)定理(R-Th)1)在闭区间[a,b上连续;若函数f(x)满足:2)在开区间(a,b)内可导;3)f(a)=f(b则在(a,b)内至少有一点占(a<<b,使f(5)=0y=f(x)Bb微积分(-)calculus6微积分(-)calculus几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的或者说切线与端点的连线AB平行y=f(r)B微积分(-)calculus7微积分(-)calculus证明∵f(x)∈C[a,b]∴彐max(min)f(x)=M(m)∈[a,b]1)若M=m,即f(x)恒为常数,f'(x)=0,可取(a,b)内任一点作为9;=(,B2)若M≠m,由f(a)=f(b)知,M,m至少有一个要在(a,b)内取得不妨设M在(a,b)内点处取得,qa即f()=M≠f(a)→∫(5+△r)≤f(5)∫Ax)-f(2≥0,Ar<0、J(22A≤0Ax>0[f(2所以,f()=0.证毕微积分(-)calculus8微积分(-)calculus注意:罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件,任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组,则不一定有罗尔定理的结论。例如y=x在-1l端点的函数值不相等,即f(-1)≠∫(1,但存在=0,使得f"(O)=0微积分(-)calculus9微积分(-)calculusI≤x<1再如,∫(x)==1在右端点不连续,但存在=0,使得f(O)=0微积分(-)calculus10微积分(-)calculus然而,y=x,x∈[,在x=0处不可导也不存在结论中的点5,使得r(5)=0.01x◆注意:零值定理求函数的零点(函数方程的实根,罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。题型1:验证定理的正确性。定理结论中的ξ客观存在,且可能不唯一,但未给出其具体位置。令导数为零,求解方程的根,可确定其具体位置。题型2:找区间(比较复杂);◆题型3:找函数(由结论入手,求解微分方程)微积分(-)calculus11微积分三大中值定理详解课件12微积分三大中值定理详解课件13微积分三大中值定理详解课件14微积分三大中值定理详解课件15微积分三大中值定理详解课件16微积分三大中值定理详解课件17微积分三大中值定理详解课件18微积分三大中值定理详解课件19微积分三大中值定理详解课件20微积分三大中值定理详解课件21微积分三大中值定理详解课件22微积分三大中值定理详解课件23微积分三大中值定理详解课件24微积分三大中值定理详解课件25微积分三大中值定理详解课件26微积分三大中值定理详解课件27微积分三大中值定理详解课件28微积分三大中值定理详解课件29微积分三大中值定理详解课件30微积分三大中值定理详解课件31微积分三大中值定理详解课件32微积分三大中值定理详解课件33微积分三大中值定理详解课件34微积分三大中值定理详解课件35微积分三大中值定理详解课件36微积分三大中值定理详解课件37微积分三大中值定理详解课件38微积分三大中值定理详解课件39微积分三大中值定理详解课件40微积分三大中值定理详解课件41微积分三大中值定理详解课件42微积分三大中值定理详解课件43微积分三大中值定理详解课件44微积分三大中值定理详解课件45微积分三大中值定理详解课件46微积分三大中值定理详解课件47微积分三大中值定理详解课件48微积分三大中值定理详解课件49微积分三大中值定理详解课件50微积分三大中值定理详解课件51微积分三大中值定理详解课件52微积分三大中值定理详解课件5326、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰

28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子

29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇

30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华谢谢！5426、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必微积分三大中值定理详解聪明出于勤奋，天才在于积累微积分三大中值定理详解聪明出于勤奋，天才在于积累55微积分(-)calculus第四章中值定理及导数的应用§41{分中值定理§42洛必达法则§43用导数研究函数的单调性、极值、和最值44函数曲线的凹向及拐点§4曲线的渐近线与函数作图§46导数在经济学中的应用微积分(-)calculus56微积分(-)calculus§4.1微分中值定理、引言二、微分中值定理、罗尔(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西Cauchy)定理小结微积分(-)calculus57微积分(-)calculus、引言(ntroduction导数刻划函数在一点处的变化率,它反映函数在一点处的局部变化性态;但在理论研究和实际应用中,还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型,又是解决微分学自身发展的理论基石。微积分(-)calculus58微积分(-)calculus微分中值定理TheMeanvalueTheorem在微分中值定理的三个定理中,拉格朗日①lagrange)中值定理是核心定理,罗尔中值定理是它的特例,柯西中值定理是它的推广。下面我们逐一介绍微分中值定理。微积分(-)calculus59微积分(-)calculus1、罗尔(Rolle)定理(R-Th)1)在闭区间[a,b上连续;若函数f(x)满足:2)在开区间(a,b)内可导;3)f(a)=f(b则在(a,b)内至少有一点占(a<<b,使f(5)=0y=f(x)Bb微积分(-)calculus60微积分(-)calculus几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的或者说切线与端点的连线AB平行y=f(r)B微积分(-)calculus61微积分(-)calculus证明∵f(x)∈C[a,b]∴彐max(min)f(x)=M(m)∈[a,b]1)若M=m,即f(x)恒为常数,f'(x)=0,可取(a,b)内任一点作为9;=(,B2)若M≠m,由f(a)=f(b)知,M,m至少有一个要在(a,b)内取得不妨设M在(a,b)内点处取得,qa即f()=M≠f(a)→∫(5+△r)≤f(5)∫Ax)-f(2≥0,Ar<0、J(22A≤0Ax>0[f(2所以,f()=0.证毕微积分(-)calculus62微积分(-)calculus注意:罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件,任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组,则不一定有罗尔定理的结论。例如y=x在-1l端点的函数值不相等,即f(-1)≠∫(1,但存在=0,使得f"(O)=0微积分(-)calculus63微积分(-)calculusI≤x<1再如,∫(x)==1在右端点不连续,但存在=0,使得f(O)=0微积分(-)calculus64微积分(-)calculus然而,y=x,x∈[,在x=0处不可导也不存在结论中的点5,使得r(5)=0.01x◆注意:零值定理求函数的零点(函数方程的实根,罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。题型1:验证定理的正确性。定理结论中的ξ客观存在,且可能不唯一,但未给出其具体位置。令导数为零,求解方程的根,可确定其具体位置。题型2:找区间(比较复杂);◆题型3:找函数(由结论入手,求解微分方程)微积分(-)calculus65微积分三大中值定理详解课件66微积分三大中值定理详解课件67微积分三大中值定理详解课件68微积分三大中值定理详解课件69微积分三大中值定理详解课件70微积分三大中值定理详解课件71微积分三大中值定理详解课件72微积分三大中值定理详解课件73微积分三大中值定理详解课件74微积分三大中值定理详解课件75微积分三大中值定理详解课件76微积分三大中值定理详解课件77微积分三大中值定理详解课件78微积分三大中值定理详解课件79微积分三大中值定理详解课件80微积分三大中值定理详解课件81微积分三大中值定理详解课件82微积分三大中值定理详解课件83微积分三大中值定理详解课件84微积分三大中值定理详解课件85微积分三大中值定理详解课件86微积分三大中值定理详解课件87微积分三大中值定理详解课件88微积分三大中值定理详解课件89微积分三大中值定理详解课件90微积分三大中值定理详解课件91微积分三大中值定理详解课件92微积分三大中值定理详解课件93微积分三大中值定理详解课件94微积分三大中值定理详解课件95微积分三大中值定理详解课件96微积分三大中值定理详解课件97微积分三大中值定理详解课件98微积分三大中值定理详解课件99微积分三大中值定理详解课件100微积分三大中值定理详解课件101微积分三大中值定理详解课件102微积分三大中值定理详解课件103微积分三大中值定理详解课件104微积分三大中值定理详解课件105微积分三大中值定理详解课件106微积分三大中值