【圆锥曲线的方程与基本性质和解题技巧（论文5600字）】

圆锥曲线的方程与基本性质和解题技巧目录3303_WPSOffice_Level1一、引言 116102_WPSOffice_Level1二、圆锥曲线的定义 227175_WPSOffice_Level2（一）圆锥曲线的第一定义 211353_WPSOffice_Level2（二）圆锥曲线的第二定义 27033_WPSOffice_Level1三、圆锥曲线的方程与基本性质 21782_WPSOffice_Level2（一）圆锥曲线的方程 225519_WPSOffice_Level31、椭圆的方程 2873_WPSOffice_Level32、抛物线的方程 32105_WPSOffice_Level33、双曲线的方程 531934_WPSOffice_Level2（二）圆锥曲线的基本性质 618820_WPSOffice_Level31、椭圆的基本性质 62717_WPSOffice_Level33、双曲线的基本性质 77616_WPSOffice_Level1四、巧用圆锥曲线定义解题 815102_WPSOffice_Level2（一）巧用圆锥曲线定义解决最值问题 811447_WPSOffice_Level2（二）巧用圆锥曲线定义解决焦点问题 928192_WPSOffice_Level2（三）巧用圆锥曲线定义解决轨迹问题 115664_WPSOffice_Level2（四）巧用圆锥曲线定义解决方程问题 127447_WPSOffice_Level1五、总结 1325176_WPSOffice_Level1[参考文献] 14一、引言在平面解析几何的知识体系中，圆锥曲线占据着重要地位。它还是高考中检验学生学习能力和学习成果的关键部分，是高中教学的重难点。而理解圆锥曲线的定义是学习圆锥曲线的敲砖石和金宝典，熟识圆锥曲线的定义，可以更加高效地解关于圆锥曲线的各种问题。高中老师和学生以及国内外学者一直在探索和挖掘如何巧用圆锥曲线的定义解题，不同的学者有不同的研究方向，然而还是缺乏对如何巧用圆锥曲线定义解决问题的系统研究。用圆锥曲线定义解题是高中数学考试内容中的常客，系统而详尽的文献或书籍可以给予高中生很好的帮助。然而国内外相关文献有时过于晦涩难懂，有时过于抽象，很难帮助真正的初学者。本文对圆锥曲线总结出了简单清晰的定义、方程和性质，并举例说明了如何巧用圆锥曲线定义解决各种问题，可以很好地帮助到学生解决圆锥曲线有关的问题。国内外学者关于圆锥曲线的研究主要包括以下内容：钱珮玲在《数学思想方法与中学数学》一书中，在第七章第三节明确指出了在圆锥曲线教学中蕴涵的数学思想非常丰富，主要有以下几种：运动与变化、化归、参数等思想方法。在第四节以椭圆的第二定义为例来进行教学案例设计，以此来说明在圆锥曲线教学中如何来体现上述的思想方法。通过上述教学案例的设计，让学生通过对方程变形，将动点的轨迹由“到两定点的距离和等于定长”转变成“到定点和定直线距离的比是一个常数”，学生经历从形→方程→形的变形，为圆锥曲线的教学起了很好地指导作用，为教学案例的设计提供参考。任成竹在《APOS理论下的圆锥曲线教学探究》一文中对圆锥曲线的概念教学、几何性质教学等作了系统的分析和实践，指出了这部分教学中常见问题和原因分析，针对这些问题提出了一些建设性的意见，对改善这一部分教学有很好的示范作用。洪秀满、孔玉珍在《在圆锥曲线教学中培养学生的思维品质》中指出，深刻理解圆锥曲线的定义可以增强学生思维的深刻性，围绕定义而形成的统一性有助于学生形成思维的广阔性，通过对概念的应用，可以提升学生思维的敏捷性，通过对比分析能够提升学生思维的批判性。徐燕在《高中生对圆锥曲线的理解》中从高中生对圆锥曲线概念的理解水平、高中生对圆锥曲线统一性的理解、高中生解决与圆锥曲线有关的综合问题的能力与高中生年级对圆锥曲线的学习影响四个方面进行了研究，并对结论进行了分析；柏宗玲在《高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究》一文中对学生在圆锥曲线学习中存在的理解困难的地方，从定义、方程、性质以及运用四个角度进行分析并找出原因，最后有针对性地提出了解决方案；刘亚慧在《高中生解决圆锥曲线问题审题环节的案例分析》中通过进行案例分析，总结出学生在审题过程中的易错点和原因，得出成功审题的必备条件，进而从教师和学生两个角度提出针对性的建议；张卓炎在《高中生椭圆理解水平的调查研究》中得出高中生对于椭圆理解困难的主要原因是对定义不够重视、数形结合能力较差、对知识的理解太过于表面化，建议教学时应注重定义的教学以及数学思维和方法的培养。圆锥曲线的定义到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线的第一定义下面分别介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的第一定义：椭圆的第一定义是指在一个平面内到F1、F2两个定点的距离之和是常数2a的所有点的轨迹，且要求这个常数2a>。同理，双曲线的第一定义则是指满足同一个平面内到F1、F2两个定点的距离之差的绝对值是常数2a的所有点的轨迹,且要求2a<。抛物线的第一定义则是指在同一个平面中到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的所有点的轨迹。圆锥曲线的第二定义与第一定义不同的是，我们用离心率e来定义圆锥曲线第二定义。e为常数，指在一个平面内到一个定点F和一条定直线L的距离的比值。根据e的大小范围来定义不同形式的圆锥曲线。具体如下：（1）当0<e<1时，轨迹为椭圆；（2）当e>1时，轨迹为双曲线；（3）当e=1时，轨迹为抛物线。三、圆锥曲线的方程与基本性质（一）圆锥曲线的方程1、椭圆的方程如图1，给定椭圆，Fl是椭圆的左焦点、F2是椭圆的右焦点，=2c(c>0)，A(x,y)是椭圆上的一个动点，A点满足+=2a(a>c)。将点F1和点F2连接成一条直线，并将此直线作为x轴；在直线F1F2的中点处作一条F1F2的垂线作为Y轴，建立如图所示的直角坐标系。此时，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c,0)。再设点A(x,y)是椭圆上的一个动点。则由椭圆的定义可知+=2a，即有:化简上式可得，两边同除以得，由a>c得，设，则有（a>b>0）。此式即为椭圆的方程。同样地，我们还可以推导出当焦点在y轴时的椭圆的标准方程为（a>b>0）。图1.椭圆2、抛物线的方程根据抛物线上点的几何特征求抛物线的方程时，为了使得推导的过程尽可能的简单，建立平面直角坐标系。以抛物线的定义为依据，建立如图所示的坐标系，其中L为准线，F为焦点，O为坐标原点。焦点到准线距离为p(p>0)，可知焦点F的坐标为(，0)。设点M(x,y)为抛物线上任一点，那么，令点M到直线L的距离为d，则有。根据抛物线的定义可知，即。将上式两边平方并且化简，可以得到。就被称为抛物线的标准方程。此式描述的抛物线的开口朝向x轴的正方向，焦点F的坐标为，准线L的方程为。图2.抛物线根据抛物线方向的不同，抛物线共有四种形式，下表对四种抛物线进行了比较。表1.抛物线四种形式比较标准方程图像焦点坐标准线方程3、双曲线的方程如图3所示的双曲线，F1、F2为双曲线的两个焦点，焦距(c>0)，双曲线上任一点均满足该点到F1、F2两点的距离之差等于2a，其中0<a<c。将点F1和点F2连接成一条直线，并将此直线作为x轴；在直线F1F2的中点处作一条F1F2的垂线作为Y轴，建立如图所示的直角坐标系。可知焦点F1，F2的坐标为F1(-c,0)，F2(c，0)。设M(x，y)是双曲线上任意一点。根据双曲线的定义可知点M满足，也就是；也即：；化简整理可得，即，令，可得双曲线的标准方程：。图3.双曲线当焦点在y轴时，同样运用焦点在x轴时的推导方法，我们可以得到焦点在y轴的标准方程为，其中，焦点坐标分别是F1（0，-c）,F2（0，c)。（二）圆锥曲线的基本性质椭圆的基本性质（1）范围观察图1，我们令y=0,并将其带入到方程中可得，因此椭圆上任一点的横坐标范围均在[-a,a]之间；令x=0,并将其带入到方程中可得，因此椭圆上任一点的纵坐标范围均在[-b,b]之间。（2）对称性观察图1,可以看出椭圆既关于x轴、y轴轴对称，而且关于坐标原点中心对称。在椭圆中以-y代y，方程并不改变。这说明当点P（x,y）在椭圆上时，它关于x轴的对称点p(x，-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代x，以-y代y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称。（3）顶点研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程里，令x=0，得，这说明B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，令y=0，得，这说明A1(一a,0)、A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个顶点。（4）离心率根据定义可知，椭圆的离心率e=。根据a>c>0可得0<e<1。随着e向1靠近，c也越来越接近于a，从而b=越来越小，椭圆也随之越来越扁；相反，当e无限向0靠近，c也越来越接近于0，b越来越接近于a,此时椭圆越来越圆。当且仅当a=b时，c=0时，椭圆变为圆，它的方程为。抛物线的基本性质（以为例）（1）范围由可知，故这条抛物线在y轴的右侧。(2)对称性以方程为例，用-Y代Y，仍然在抛物线上，所以这条抛物线关于x轴对称。其他方向的抛物线与之类似。(3)顶点抛物线与坐标轴的交点被称作抛物线的顶点。在方程中，当x=0时，y=0时，因此抛物线的顶点就是坐标原点。（4）离心率根据抛物线的定义可知，离心率e=1。双曲线的基本性质（1）范围由可得：，所有，双曲线上的点（x,y）都满足，即，说明双曲线在不等式与所表示的范围内。（2）对称性与椭圆类似，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的。原点是双曲线的对称中心，也被称为双曲线的中心。（3）顶点令y=0，得，因此双曲线和z轴有两个交点A1(-a,0)、A2(a,0)。也即双曲线的顶点。（4）渐近线经过A1(-a,0)、A2(a,0)作y轴的平行线，经过B1（0，-b）、B2(0,b)作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形，连接矩形的两条对角线，即。则双曲线上的各点与这两条直线永不相交，且点的横坐标的绝对值越大，与这两条直线越接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。四、巧用圆锥曲线定义解题了解圆锥曲线的定义是学习圆锥曲线的根本，在学习和教学过程中只有彻底领悟圆锥曲线定义的深刻内涵，掌握运用定义解题的各种方法，才能灵活高效地解决圆锥曲线的各类问题、才能在中学考试或高考中占据优势、才能在生活和工程建设过程中遇到此类问题时游刃有余。下面将用举例论证的方式演示如何巧用圆锥曲线定义解题。（一）巧用圆锥曲线定义解决最值问题我们经常运用圆锥曲线的定义去解最值问题，解决这类问题需要有一个强有力的代数运算和数形结合能力，能综合这些能力，注重思维的严谨性，在操作过程中要保证结果的完整性。在研究变量的最值问题时，通常先建立目标函数，然后求解函数或不等式，或者用“数字组合”和“几何方法”来解决问题。下面以两个例题来展示椭圆的第二定义在求最值问题中的应用。例1已知椭圆，直线l:。问椭圆上是否有一点到直线l的距离最小。解：我们设直线m平行于l，则l可写成：。由方程组消去y，得，由，得，解得，由图可知k=25。所以直线m为，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。且，。yxyx图4例2给出的双曲线方程，双曲线的右焦点为F2，M是双曲线右支上的一点，定点A（9,2），求的最小值。则：根据定义可知：，（d为M到右准线的距离），即即。所以因此。（二）巧用圆锥曲线定义解决焦点问题以两个例题来展示如何运用圆锥曲线定义来解决焦点问题。例3已知双曲线方程为，过左焦点的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且，求的周长。解：由双曲线方程，可得a=3。根据双曲线的定义有：①②由①+②得，又因为所以所以的周长=图5例4已知P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，且，求的面积。图6解：由椭圆方程可得a=7，因为所以③由③式中上面式子的平方减下面的式子得：所以有故：（三）巧用圆锥曲线定义解决轨迹问题以三个例题来展示如何运用圆锥曲线定义来解决轨迹问题。例5求经过点M（-1,2），以y轴为准线，离心率e=的点P（x，y）的轨迹方程。解：根据题意，所求的点P的轨迹是以y轴为准线的一个椭圆，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的第二定义有，即，所以椭圆右焦点为又因为M（-1，2）在椭圆上，由定义，有，即，化简得P的轨迹方程为：。例6在ABC中，让BC边固定，A为一个动点，设，当时，求A点的运动轨迹。解：我们取BC边的中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，这时点B，C的坐标分别为。由及正弦定理可得c-b=a，即，又，由双曲线定义知：A点的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为a的双曲线的右支（顶点除外），方程为：。图7例7假设有一个动圆和一个固定圆O1：外部相切，与圆O2：内部相切，要求求该动圆圆心的轨迹方程。解：设动圆圆心为P，可以得出根据椭圆的定义可知：点P在以为焦点的椭圆上，且a=6，c=3，所以=27。所以，该动圆的轨迹为：。（四）巧用圆锥曲线定义解决方程问题下面用例题演示如何用圆锥曲线的定义解决方程问题。例8如图，直线相交于M，，点N，以A，B为端点的曲线C上任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，，，且=6，求曲线C的方程。图8解：由曲线段C上任一点到的距离与到N的距离相等，可知曲线C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段。因此，以为x轴，MN的平分线为y轴，建立直角坐标系，使得，，，则所以，=3+1=4即p=4又所以，曲线段C的方程为：总结本文首先归纳了圆锥曲线的定义，再在定义的基础上分析了圆锥曲线的方程和基本性质，最后举例说明了巧用圆锥曲线定义如何解题。根据文章脉络我们可以清晰地看到理解圆锥曲线定义的重要作用。圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线方程的依据，又是解决解析几何题的一把钥匙，解析几何中凡是与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线有关的问题，常用定义求解.巧用圆锥曲线定义解题，恰当地运用定义去挖掘参数间的数量关系，不仅能得到较简捷的解法，而且能避免许多复杂的运算，提高解题的效率。当然，关于圆锥曲线模块的教学研究是一个长期的过程，随着时代发展、科技进步，为了实