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为了进一步讨论函数逼近问题,以及为了后续内容的需要,我们的着眼点不能再局限在一般多项式上,而要给出一类具有特殊性质的多项式,即正交多项式.第二章最佳平方逼近一、正交多项式

为了进一步讨论函数逼近问题,以及为了后续内容的需要,我们的着1(一)正交函数的概念

定义

给定函数

若满足:(1)(2)权函数的一种解释是物理上的密度函数,相应的

表示总质量.

=常量,表示质量分布是均匀的.(3)

积分

存在,n=0,1,….则称为[a,b]上的权函数(一)正交函数的概念定义给定函数若满足:(1)(2为函数f与g在[a,b]上的内积.内积具有下列简单性质:我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种度量两个向量u及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.定义

给定,是[a,b]上的权函数,称(1)(2)(3)(4)当为函数f与g在[a,b]上的内积.内积具有下列简单性质:我3定义一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空间处处有定义并满足条件:(1)最大值范数:

(2)欧氏范数(L2范数):

(1)(2)为任意常数

(3)在闭区间上连续的函数的最常见范数有:

(1.1)(1.2)

定义一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空间处4定义若内积

则称{是[a,b]上带权

的正交函数系.当

是代数多项式时,称为正交多项式.下面我们列举几个最常见的正交函数系.满足:

则称与在区间上带权

,若函数

正交定义若内积则称{是[a,b]上带权的正交函数系.5例1、三角函数系

例2、Legendre多项式1,在区间[-π,π]上两两正交,因为

例1、三角函数系例2、Legendre多项式1,6即多项式:

是[-1,1]上的正交多项式,且有

即多项式:是[-1,1]上的正交多项式,且有7事实上,设,由分部积分法得

若,则事实上,设,由分部积分法得若,则8若,则有

若,则有9于是有

例3Chebyshey多项式

即多项式

在区间[-1,1]上关于权函数

正交,且于是有例3Chebyshey多项式即多项式在10于是有

事实上,若

则有

于是有事实上,若则有11例4、Laguerre多项式

即多项式

的n次正交多项式,且

是在

上带权

例5、Hermite多项式

例4、Laguerre多项式即多项式的n次正交多项12即多项式

的n次正交多项式,且有正交关系式:是在区间

上带权

即多项式的n次正交多项式,且有正交关系式:是在区间上带13(二)、正交多项式的性质

若记

则的最高次项的系数为1,并且也是在上带权正交的次多项式。设是在上带权正交的多项式序列,其中表示次正交多项式:

性质1关于权函数的任意正交函数系都是线性无关的。(二)、正交多项式的性质若记则的14特别地有

事实上,要是则以乘等式的两边并积分,得到由此可知推论1任何次数不超过的多项式可由正交多项式线性表出,即推论2任何次数不超过

的多项式

必定同

带权正交,即

特别地有事实上,要是15其中

性质2对于最高次项系数为1的正交多项式

存在着递推关系

证明由于

次多项式,因此可由

线性表出,即存在使并积分比较

两边的系数,可见。两边乘以

其中性质2对于最高次项系数为1的正交多项式16有从而

,所以当

时,因为

是次多项式,当时

有从而而故,所以当时,因为17于是有

把这些结果代入(1.11)式,得到即证毕。

时,则有

于是有把这些结果代入(1.11)式,得到即证毕。当18其中

推论对于最高次项系数为的正交多项式,有递推关系式性质3次正交多项式

个互异的实根,并且全部位于区间内。证明:取固定的,假定

其中推论对于最高次项系数为的正交多项式19此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数使

现假设是

的重根,即

则另一方面却有

次多项式,由正交多项式的定义有

此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数使现假设20最佳平方逼近问题的提法是:设是上的连续函数,是所有次数不超过的多项式的集合,在中求逼近,使此时称为在上的最佳平方逼近多项式。我们将要研究是否存在?是否唯一?如何求得?

二、最佳平方逼近问题最佳平方逼近问题的提法是:设是21(一)、最小二乘拟合多项式

例1

求电阻和温度间的关系。测得铜导线在温度时的电阻如下

k1234567温度x19.125.030.136.040.045.150.0电阻y76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10(一)、最小二乘拟合多项式例1求电阻和温度22解决这类问题通常的步骤如下

:xy(1)用一坐标将,值描于图上

(1)

(2)凭视觉知,在一条直线上的两测附近,于是可设,近似的成直线关系。上面的直线关系称为数学模型。在第次观测数据中,与实测值有误差

通常称为残差。

解决这类问题通常的步骤如下:xy(1)用一坐标将,值23它是衡量被确定的参数和(也就是近似多项式)好坏的重要标志。

确定参数,原则:,

①使残差绝对值中最大的一个达到最小,即为最小;②使残差绝对值之和达到最小,即为最小;③使残差的平方和达到最小,即为最小;①

原则③确定待定参数,从而得到近似多项式的方法,就是通常所说的最小二乘法。

它是衡量被确定的参数和(也就是近似多项式确定参数24用最小二乘法确定参数和

,应使

取最小值。因此,应有由此,得到如下线性方程组

解之有从而得近似多项式用最小二乘法确定参数和,应使取最小值。因此,应有由25一般来说,设给定一组数据

则适当选择系数后,使达到最小的多项式

称为数据的最小二乘拟合多项式,或变量之间的数学模型(经验公式)。

一般来说,设给定一组数据则适当选择系数26即或写成

由于非负,且为的二次多项式,故必有最小值,其最小值可如下求得:令:引进记号

则上述方程组成为即由于非负,且为27这是系数满足的方程组,称为正规方程组(或法方程组)。

可以证明,当

互异时,该方程组有唯一解

它们使得取最小值。如此,我

们便得

到了最小二乘拟合多项式。

这是系数满足的方程组,称为正规28例7

设已知函数的表列值为试按最小二乘法构造的二次近似多项式。0.20.50.70.8511.2211.6492.0142.3402.718解

经简单计算可得关于参数的方程组为

解之得故例7

设已知函数的表列值为29三、一般最小二乘逼近问题的提法4、小结1、广义多项式与权系数2、一般最小二乘逼近问题的提法

3、正规方程组三、一般最小二乘逼近问题的提法4、小结1、广义多项式与权系数30(一)、广义多项式与权系数(1)、广义多项式

设函数系

线性无关,则其有限项线性组合称为广义多项式。

例如

(2)、“权系数”的概念

在例6中,如果要研究低温时电阻与温度的关系,显然低温下测得的电阻值更重要一些,而另外一些电阻值的作用小些。这在数学上表现为用和(一)、广义多项式与权系数(1)、广义多项式设函数系线性31

替代右端的和式。此处是任意的正数,通常称之为权系数,而称为加权和。

(二)、一般最小二乘逼近问题的提法

(1)、离散型设给定一组数据和一组权系数,,要求广义多项式,使得最小。这时称为数据关于权系数的最小二乘拟合多项式。

(二)、一般最小二乘逼近问题的提法(1)、离散型设322、连续型设已知,权函数,并且在上只有有限个点上。要求广义多项式,使得最小。这时称为函数在区间上关于权函数的最小二乘逼近多项式。注意,可看成中且

的极限。通常,“最小”也可说成“最优”或“最佳”;“二乘”可说成“平方”或“均方”;当或时,“关于权函数”或“关于权系数”的字样,常常略而不提。

2、连续型设已知33离散情形,定义与的内积为连续情形,定义与的内积为则由此所引入的范数便给出了两个函数与之间的“距离”或接近程度的度量。所谓平方逼近正是按照这种度量方式来规定其逼近概念的。依这种度量方式,我们可将两种情形下的最小二乘逼近问题统一说成是:离散情形,定义与的内积为连34求广义多项式,使得

最小。其中

依式。我们可求得

的系数所满足的线性方程组,即所谓正规方程组。

求广义多项式,使得35据微分学可知,使取极小值的应满足条件(三)、正规方程组由于

从而据微分学可知,使取极小值的应满足条件(三)36故条件变为

或者亦即

条件可以看做是每个都与正交。

对于离散情形,若,可引进阶矩阵,并令其第行第列元素为,则的第行第列元素故条件变为对于离散情形,若,37又令

则可将式写成

从而由下列方程组所决定

可以证明,正规方程组的解存在而且唯一,且使为最小

事实上,由于线性无关,从而对于任意非零向量

,于是二次型又令则可将式写成从而由下38说明此二次型正定,故方程组的系数行列式大于零,因此方程组的解存在而且唯一。现设是任意广义多项式,,则由条件可知

故.这说明确实是使取极小值的广义多项式。说明此二次型正定,故方程组的系数行列式大于零,39注:在求最佳平方逼近函数

时,需要确定的参数是,而可以看成是的线性函数,但是有时往往要确定的函数和参数之间不具有线性关系。

通过变量替换使其线性化

记,则式变成(1)

若用函数去近似一个已给定的列表函数,其中是待定的两个参数。

在式两端取对数,得到这是一个一次多项式,其系数和可由最小二乘法求得。注:在求最佳平方逼近函数时,需要确定的参数是40(2)

若用函数

去近似一个已给定的列表函数,其中是待定的两个参数。这时,我们可在的两端取对数:记,则式变成这样,仍可用最小二乘法定出(从而也就定出了),得到近似函数

(2)

若用函数411、一般最小二乘逼近

基本概念:广义多项式“权系数”一般最小二乘逼近问题的提法

离散型连续型2、正规方程组(四)、小结1、一般最小二乘逼近基本概念:广义多项式“权系数”一般最小42为了进一步讨论函数逼近问题,以及为了后续内容的需要,我们的着眼点不能再局限在一般多项式上,而要给出一类具有特殊性质的多项式,即正交多项式.第二章最佳平方逼近一、正交多项式

为了进一步讨论函数逼近问题,以及为了后续内容的需要,我们的着43(一)正交函数的概念

定义

给定函数

若满足:(1)(2)权函数的一种解释是物理上的密度函数,相应的

表示总质量.

=常量,表示质量分布是均匀的.(3)

积分

存在,n=0,1,….则称为[a,b]上的权函数(一)正交函数的概念定义给定函数若满足:(1)(44为函数f与g在[a,b]上的内积.内积具有下列简单性质:我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种度量两个向量u及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.定义

给定,是[a,b]上的权函数,称(1)(2)(3)(4)当为函数f与g在[a,b]上的内积.内积具有下列简单性质:我45定义一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空间处处有定义并满足条件:(1)最大值范数:

(2)欧氏范数(L2范数):

(1)(2)为任意常数

(3)在闭区间上连续的函数的最常见范数有:

(1.1)(1.2)

定义一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空间处46定义若内积

则称{是[a,b]上带权

的正交函数系.当

是代数多项式时,称为正交多项式.下面我们列举几个最常见的正交函数系.满足:

则称与在区间上带权

,若函数

正交定义若内积则称{是[a,b]上带权的正交函数系.47例1、三角函数系

例2、Legendre多项式1,在区间[-π,π]上两两正交,因为

例1、三角函数系例2、Legendre多项式1,48即多项式:

是[-1,1]上的正交多项式,且有

即多项式:是[-1,1]上的正交多项式,且有49事实上,设,由分部积分法得

若,则事实上,设,由分部积分法得若,则50若,则有

若,则有51于是有

例3Chebyshey多项式

即多项式

在区间[-1,1]上关于权函数

正交,且于是有例3Chebyshey多项式即多项式在52于是有

事实上,若

则有

于是有事实上,若则有53例4、Laguerre多项式

即多项式

的n次正交多项式,且

是在

上带权

例5、Hermite多项式

例4、Laguerre多项式即多项式的n次正交多项54即多项式

的n次正交多项式,且有正交关系式:是在区间

上带权

即多项式的n次正交多项式,且有正交关系式:是在区间上带55(二)、正交多项式的性质

若记

则的最高次项的系数为1,并且也是在上带权正交的次多项式。设是在上带权正交的多项式序列,其中表示次正交多项式:

性质1关于权函数的任意正交函数系都是线性无关的。(二)、正交多项式的性质若记则的56特别地有

事实上,要是则以乘等式的两边并积分,得到由此可知推论1任何次数不超过的多项式可由正交多项式线性表出,即推论2任何次数不超过

的多项式

必定同

带权正交,即

特别地有事实上,要是57其中

性质2对于最高次项系数为1的正交多项式

存在着递推关系

证明由于

次多项式,因此可由

线性表出,即存在使并积分比较

两边的系数,可见。两边乘以

其中性质2对于最高次项系数为1的正交多项式58有从而

,所以当

时,因为

是次多项式,当时

有从而而故,所以当时,因为59于是有

把这些结果代入(1.11)式,得到即证毕。

时,则有

于是有把这些结果代入(1.11)式,得到即证毕。当60其中

推论对于最高次项系数为的正交多项式,有递推关系式性质3次正交多项式

个互异的实根,并且全部位于区间内。证明:取固定的,假定

其中推论对于最高次项系数为的正交多项式61此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数使

现假设是

的重根,即

则另一方面却有

次多项式,由正交多项式的定义有

此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数使现假设62最佳平方逼近问题的提法是:设是上的连续函数,是所有次数不超过的多项式的集合,在中求逼近,使此时称为在上的最佳平方逼近多项式。我们将要研究是否存在?是否唯一?如何求得?

二、最佳平方逼近问题最佳平方逼近问题的提法是:设是63(一)、最小二乘拟合多项式

例1

求电阻和温度间的关系。测得铜导线在温度时的电阻如下

k1234567温度x19.125.030.136.040.045.150.0电阻y76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10(一)、最小二乘拟合多项式例1求电阻和温度64解决这类问题通常的步骤如下

:xy(1)用一坐标将,值描于图上

(1)

(2)凭视觉知,在一条直线上的两测附近,于是可设,近似的成直线关系。上面的直线关系称为数学模型。在第次观测数据中,与实测值有误差

通常称为残差。

解决这类问题通常的步骤如下:xy(1)用一坐标将,值65它是衡量被确定的参数和(也就是近似多项式)好坏的重要标志。

确定参数,原则:,

①使残差绝对值中最大的一个达到最小,即为最小;②使残差绝对值之和达到最小,即为最小;③使残差的平方和达到最小,即为最小;①

原则③确定待定参数,从而得到近似多项式的方法,就是通常所说的最小二乘法。

它是衡量被确定的参数和(也就是近似多项式确定参数66用最小二乘法确定参数和

,应使

取最小值。因此,应有由此,得到如下线性方程组

解之有从而得近似多项式用最小二乘法确定参数和,应使取最小值。因此,应有由67一般来说,设给定一组数据

则适当选择系数后,使达到最小的多项式

称为数据的最小二乘拟合多项式,或变量之间的数学模型(经验公式)。

一般来说,设给定一组数据则适当选择系数68即或写成

由于非负,且为的二次多项式,故必有最小值,其最小值可如下求得:令:引进记号

则上述方程组成为即由于非负,且为69这是系数满足的方程组,称为正规方程组(或法方程组)。

可以证明,当

互异时,该方程组有唯一解

它们使得取最小值。如此,我

们便得

到了最小二乘拟合多项式。

这是系数满足的方程组,称为正规70例7

设已知函数的表列值为试按最小二乘法构造的二次近似多项式。0.20.50.70.8511.2211.6492.0142.3402.718解

经简单计算可得关于参数的方程组为

解之得故例7

设已知函数的表列值为71三、一般最小二乘逼近问题的提法4、小结1、广义多项式与权系数2、一般最小二乘逼近问题的提法

3、正规方程组三、一般最小二乘逼近问题的提法4、小结1、广义多项式与权系数72(一)、广义多项式与权系数(1)、广义多项式

设函数系

线性无关,则其有限项线性组合称为广义多项式。

例如

(2)、“权系数”的概念

在例6中,如果要研究低温时电阻与温度的关系,显然低温下测得的电阻值更重要一些,而另外一些电阻值的作用小些。这在数学上表现为用和(一)、广义多项式与权系数(1)、广义多项式设函数系线性73

替代右端的和式。此处是任意的正数,通常称之为权系数,而称为加权和。

(二)、一般最小二乘逼近问题的提法

(1)、离散型设给定一组数据和一组权系数,,要求广义多项式,使得最小。这时称为数据关于权系数的最小二乘拟合多项式。

(二)、一般最小二乘逼近问题的提法(1)、离散型设742、连续型设已知,权函数,并且在上只有有限个点上。要求广义多项式,使得最小。这时称为函数在区间上关于权函数的最小二乘逼近多项式。注意,可看成中且

的极限。通常,“最小”也可说成“最优”或“最佳”;“二乘”可说成“平方”或“均方”;当或时,“关于权函数”或“关于权系数”的字样,常常略而不提。

2、连续型设已知75离散情形,定义与的内积为连续情形,定义与的内积为则由此所引入的范数便给出了两个函数与之间的“距离”或接近程度的度量。所谓平方逼近正是按照这种度量方式来规定其逼近概念的。依这种度量方式,我们可将两种情形下的最小二乘逼近问题统一说成是:离散情形,定义与的内积为连76求广义多项式,使得

最小。其中

依式。我们可求得

的系数所满足的线性方程组,即所谓正规方程组。

求广义多项式,使得77据微分学可知,使取极小值的

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