统计与概率课件

让孩子“亲近”数据

——数据分析观念的培养

王晓阳

让孩子“亲近”数据

——数据分析观念的培养1统计

统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。《大美百科全书》

数据是蕴含信息的，信息是可以提取的，信息是为人们服务的统计统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。2统计在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都是有实际背景的。脱离实际问题的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。（史宁中）统计在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都3

数据分析观念了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

数据分析观念了解在现实生4

商店经理要合理地安排售货员的人数。售货员过多显然对商店是浪费，售货员太少将使一些顾客离去而减少商店收入。安排多少售货员依赖于顾客的人数，而顾客的人数是随机的，事先无法确定。商店经理有办法吗？

案例

售货员的人数商店经理要合理地安排售货员的人数。售货员过多显5

假定商店经理知道任一时刻来到k个顾客的概率p如下：

k01234567>7p0.030.100.140.190.210.190.090.040.01

尽管经理无法预料任一时刻顾客的确切人数。也不排除某一天一个顾客也没有，而另一天有上百名顾客涌入商店的极端情形。但是知道了上面的表，经理就可以知道，安排7个售货员能以99%的概率使顾客不用等待。安排6个售货员能以95%的概率使顾客不用等待。安排3个售货员顾客要等待的概率大于50%等等。这些信息无疑对经理安排售货员的决策起着根本的作用。案例

售货员的人数案例售货员的人数6

《标准》在三个阶段都提出了相应的要求，这也成为了统计内容的首要主线。在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程”；在第二学段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”。一、数据分析过程《标准》在三个阶段都提出了相应的要求，这也成为了统计7一个案例

新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。[说明]借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。一个案例新年联欢会准备买水果，调查班级同学最8一个案例

（2）鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，可以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。（3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。一个案例9大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢？请你帮我想想办法？调研结果分析大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢？请你帮我想想办法？调10史宁中

小学生知道两件事情是重要的：第一，制定标准；第二，按照标准做事。中国培养的人，缺乏制定标准的经验，我希望未来的学生开始会制定标准。这个世界最后赢的都是制定标准的。

这里可以有一个反复的过程，对开始制定的标准进行调整。一学期哪怕有一、两次，我估计经过三年，就能积累经验。

我设想的就是这两个结果。史宁中11数据中蕴涵着信息

第一学段：对全班同学的身高进行调查分析。[说明]学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。数据中蕴涵着信息12

（1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。（2）从汇总后的数据中发现信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等。在讨论过程中，括号中的有些名词并不需要出现，但是希望学生体会数据所代表的意义。数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息13数据中蕴涵着信息（第二学段）

在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。数据中蕴涵着信息（第二学段）

14统计与概率课件15统计与概率课件16统计与概率课件17掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的方法，无疑是统计课程内容的第二条主线。二、数据分析方法掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的方181.收集数据的方法在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。在第一、第二学段中，学生收集的基本都是总体数据现成的数据；需要自己调查的数据（换乳牙、看电视的时间）。常用的收集数据的方法包括：调查、试验、测量、查阅资料。1.收集数据的方法在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数191.收集数据的方法学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验。《标准》在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简单方法”；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。1.收集数据的方法学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验20注意收集数据的讨论研究表明在计划如何收集数据上花时间是值得的。注意收集数据的讨论研究表明在计划如何收集数据上花时间是值21

美国数学教师杂志向全美的中小学数学教师推荐的一节数学课为什么有的人跑得快？有的人跑得慢？师：今天我们一起讨论一个问题，大家有没有想过这样的事情，我们都有跑步的体验，为什么有的人跑得快，有的人跑得慢？有的学生说：“谁个高谁就跑得快，谁个矮谁跑得慢.”

马上就有学生提出问题：“老师，不对，我们班×××个子不高，但他跑得很快.”

随后学生又提出问题：“我们班有两个学生，他们的个子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢.”

案例美国数学教师杂志向全美的中小学数学教师推荐的一节数学22

●过程二：用100米跑的步数m1，…m6与时间t1，…t6的比可以算出每个人的步频.

步频，每个人1秒钟跨了多少步.如果跨了150步，总共用9秒8，两数一除，我就知道1秒钟跨了多少步.有了步数，有了时间就可以算出步频.

于是有的学生猜测步频越大，跑得越快，结果发现，总体的状况是这样，步频比较高的人，他跑的成绩是比较好的.

一个人跑得快，都受哪些因素影响呢？是由2个因素影响的，步距与步频.这就是美国小学六年级讨论的问题.●过程二：用100米跑的步数m1，…m6与时间t123实际问题中收集数据的有趣案例

对种群的估计对敏感性问题的调查实际问题中收集数据的有趣案例242.整理、描述、分析数据的方法在第一学段，学生将学习分类的方法，分类是整理数据和描述数据的开始。在此基础上，能用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，而不学习正式的统计图表或统计量。有研究表明，早期经验的多样化，有助于儿童建立进一步学习的经验和兴趣。2.整理、描述、分析数据的方法在第一学段，学生将学习分类的方25分组全班同学的身高情况单位：厘米分组全班同学的身高情况单位：厘米26“点线”图

“点线”图272.整理、描述、分析数据的方法在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量——平均数。2.整理、描述、分析数据的方法在第二学段，学生将学习条形统计28案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五年级学生的情况有什么不同？能尝试解释原因吗？一年级、五年级学生睡眠情况统计图案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五年级学生的情况有什么29张思明、史宁中的看法张：最大的差别；差别的原因和合理性；指标有问题，能否合并；人均睡眠时间也许更好史：目标；变化趋势；注意到人数不同；经验的积累张思明、史宁中的看法张：最大的差别；差别的原因和合理30三个水平Curcio(1987)把学生对数据的读取分为三个水平：（1）数据本身的读取（readingthedata），包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。(2)数据之间的读取（readingbetweenthedata）。这包括做比较(例如比较好、最好，最高、最小等)和对数据进行操作(例如加减乘除)。(3)超越数据本身的读取（readingbeyondthedata），包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。三个水平Curcio(1987)把学生对数据31读图的建议要读统计图中能看见到或推理能得到的信息。包括：统计图的名字和图标，单个数据，数据的比较（多少、倍数、百分比等），数据的整体变化（最大、最小、平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。

读图的建议要读统计图中能看见到或推理能得到32读图的建议统计数据能否回答开始提出的问题，能否解决其他问题，能否进行预测，思考为什么数据会呈现这种情况等。读图的建议统计数据能否回答开始提出的问题，33小婷身高统计图小婷身高统计图34小婷身高统计图小婷身高统计图35统计与概率课件36北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计37北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计38读图的建议更进一步的层次，就是评价的意识。不仅要去阅读图，还要对统计图中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道理等进行一些评价。

读图的建议更进一步的层次，就是评价的意识39

某工厂有5个股东，100个工人。工人的工资总额与工厂的股东总利润见下：

年度工人工资总额股东总利润1990年10万元5万元1991年12.5万元7.5万元1992年15万元10万元该工厂老板根据表中数据，作出了右图，并声称股东和工人“有福共享、有难同当”，你如何看待他的说法？

案例

“有福同享,有难同当”吗?案例“有福同享,有难同当”吗?40案例

“有福同享,有难同当”吗?案例“有福同享,有难同当”吗?41统计量

最多、最少平均数、中位数、众数极差、方差、标准差……

42

平均数的三个角度：算法理解、概念理解、统计理解。注重平均数的理解

43概念理解平均數介於最小值和最大值之間。資料與平均數之間的差，其和為零。平均數易受平均以外的資料的影響。平均數未必是資料中的一個值。平均數可能是非整數且無實物可以對照。計算平均數時不可刪去零值的資料。平均數代表被平均的所有資料。概念理解44平均数意义及价值的学习

案例：北京大学附属实验小学王杰平均数意义及价值的学习案例：北京大学附属实验小学王杰45平均数案例1．利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师：我这也有条信息，我们一起看看。（1）出示：节约用水图。师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。（2）出示：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？（学生可能产生疑问：水并不少，世界100多个国家，我们排第四名。）平均数案例1．利用节约用水信息深入理解平均数的意义。46平均数案例（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的理解。“贫乏”这个词是什么意思？有那么多水，怎么用贫乏来形容我们国家了呢？）总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。平均数案例（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资47平均数案例2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。师：你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？没错，就是这条线，我们来看看（图略）。经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童1.1米乘车免票线提高到了1.2米。师：为什么要提高？（学生自然会想到：孩子们都长高了。）师：我们怎么去确定这个标准的呢？（学生可能会回答：我们可以调查一下。）平均数案例2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。48平均数案例2师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。）师：总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前我市6岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市6岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。平均数案例2师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处49平均数案例3.那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多你们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？（学生建议教师走2号桥，但偶尔也不一定快）总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。平均数案例3.那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？50统计与概率课件51平均数与中位数、众数的关系

我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。

小学阶段不要求中位数、众数

平均数与中位数、众数的关系我们现在处理的数据，大部52平均数与中位数、众数的关系

只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。平均数与中位数、众数的关系只有在数据分布偏态（不对53一个例子11名男同学100米跑的成绩如下：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。学生能计算出这组数据的平均数是：15秒6；这组数据的中位数是：16秒6。在此基础上让学生利用数据分析如下问题：

（1）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以参加，选择哪个成绩作为标准？

（2）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？

（3）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？一个例子11名男同学100米跑的成绩如下：542.整理、描述、分析数据的方法教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法等的掌握。需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏’”，而不是“对错”。

2.整理、描述、分析数据的方法教学中应鼓励学生运用所学习的方55三、数据的随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。两个案例：摸球、上学时间三、数据的随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对56三、数据的随机性

概率也是研究随机现象的，那么为什么又提出数据的随机性呢？

实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机

。鼓励学生运用数据来体会随机，更能体会随机的特点。三、数据的随机性概率也是研究随机现象的，那么为什么又57史校长的采访

我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先都不知道，但是摸多了能够帮助我们做一些判断。这样一来，学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息，我想这种类似于“猜谜”的活动学生也会很有兴趣”。史校长的采访我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这58三、数据的随机性

实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在《标准》案例40的说明中给出了这种推断背后的科学依据，也就是虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定实验次数下，估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。

实际上，如果袋中装有4个红球和1个白球，可以知道摸到红球的概率为4/5（也就是8/10）。通过计算可以得到：保证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸27次以上；保证有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸60次以上。三、数据的随机性实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在59

习惯于从统计规律看问题的人在思想上不拘执一端：他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外。

——陈希孺习惯于从统计规律看问题的人在思想上不拘执一端60“摸球”活动的总结第一类：验证类（淡化）第二类：体会随机类第三类：体会推断类第四类：运用频率估计概率类第五类：体会频率与概率的关系类“摸球”活动的总结第一类：验证类（淡化）61验证类(淡化)老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？(学生略做思考后交流。)

生1：可能摸到白球，也可能是黄球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因为有10个球，其中9个是白球。（大家都表示同意）师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。验证类(淡化)老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、162体会随机类组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么?

活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举手。)

师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢?(此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。)

体会随机类63体会随机类

生1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样!

师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见识一下!

生1:(摸出一球，没看前猜测)黄色!(拿出后是白色，生1低头坐了下去。)

师:怎么不试了?

生1：没有信心了。

师:怎么就没有信心了?

生1:摸在手里分辨不出来.体会随机类64体会随机类生2:我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球，是交错出现的。师:你刚才就是这样猜的，结果都对了吗?

生2连连点头。师(半信半疑地)：还有这个规律?摸1个!(生2摸出1个白球，放回。)

生2:第二次一定是黄球。(第二次生2果真摸出一个黄球。)体会随机类65体会随机类师：看来，下次……生2:第三次该是白球了!(第三次生2摸出个黄球。)师:这个规律还成立么?学生们直摇头。师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么?生:盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球.体会随机类66问题——试验——数据——推断。两种骰子，一个均匀，一个不均匀，怎么办？体会推断问题——试验——数据——推断。体会推断67袋子里有除颜色外完全相同的黄色球和蓝色球，共10个。不打开，能否有办法知道袋子里哪种颜色的球多，各有多少个。师：摸几次？生：10次？师：能不能多些？生：20次。体会推断袋子里有除颜色外完全相同的黄色球和蓝色球，共10个。不打开，68运用频率估计概率类父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。（学生纷纷举手表示认可。）生：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，爸爸的机遇也是二分之一。做实验估计概率

运用频率估计概率类69案例:蒙特卡罗方法案例:蒙特卡罗方法70频率与概率的关系

模拟试验频率与概率的关系71统计与概率课件72学生在第一学段中将不再学习概率，主要理由是在基础教育阶段统计的重要性是大于概率的，发展学生的数据分析观念是这部分内容的核心。即使对于随机的学习，如前所述，《标准》中也提出运用数据分析来体会随机性。四、随机现象及简单随机事件发生的概率学生在第一学段中将不再学习概率，主要理由是在基础教育阶段统计73从第二学段开始，《标准》安排了概率的学习，并且根据学生年龄特点，第二学段称为“随机现象发生的可能性”，第三学段称为“事件的概率”。四、随机现象及简单随机事件发生的概率从第二学段开始，《标准》安排了概率的学习，并且根据学生年龄特74在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。在第二学段，要求学生“在具体情境中，通过实例如感受简单的随机现象，能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果”，并“能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述”。四、随机现象及简单随机事件发生的概率在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在义务教育阶段，75案例公共汽车门的高度汽车设计手册中指出：人的身高服从正态分布N（μ,σ2）。根据各国统计资料，可以得到各国男子身高的μ和σ2。对于中国人，μ=1.75，σ=0.05。现要求上下车要低头的男子的概率不超过0.5%，车门需要有多高。

案例公共汽车门的高度汽车设计手册中指出：人的身高服76统计与概率的应用实例（1）工程系统设计（2）博彩业的监督（3）劳动保护（4）社情分析：读图时代、民意测验（5）工业质量控制（6）犯罪学：检查足迹（7）数理语言学（8）金融学（9）文学著作权（10）天王星光环的发现

统计与概率的应用实例（1）工程系统设计77（11）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效（12）耶稣的裹尸布之谜（13）挑战者号的爆炸（14）生物资源的测定（15）体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比赛开始的抛币游戏（16）天气预报降水概率。（17）求职策略（18）敏感性问题的调查

统计与概率的应用实例（11）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效统78机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，2000统计与真理—怎样运用偶然性，C.R.Rao著，石坚等译，九章出版社，1998百家讲坛系列丛书，相识数学，中国人民大学出版社，一门应用广泛的学科—应用统计，2006数学之旅，概率论和统计学，约翰﹒塔巴克著。上午印书馆，2007

书籍机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，2000书籍79在终级的分析中，

一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里， 所有的判断都是统计学。

——著名统计学家C.R.Rao结语在终级的分析中，结语80谢谢！谢谢！81

让孩子“亲近”数据

——数据分析观念的培养

王晓阳

让孩子“亲近”数据

——数据分析观念的培养82统计

统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。《大美百科全书》

数据是蕴含信息的，信息是可以提取的，信息是为人们服务的统计统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。83统计在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都是有实际背景的。脱离实际问题的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。（史宁中）统计在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都84

数据分析观念了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

数据分析观念了解在现实生85

商店经理要合理地安排售货员的人数。售货员过多显然对商店是浪费，售货员太少将使一些顾客离去而减少商店收入。安排多少售货员依赖于顾客的人数，而顾客的人数是随机的，事先无法确定。商店经理有办法吗？

案例

售货员的人数商店经理要合理地安排售货员的人数。售货员过多显86

假定商店经理知道任一时刻来到k个顾客的概率p如下：

k01234567>7p0.030.100.140.190.210.190.090.040.01

尽管经理无法预料任一时刻顾客的确切人数。也不排除某一天一个顾客也没有，而另一天有上百名顾客涌入商店的极端情形。但是知道了上面的表，经理就可以知道，安排7个售货员能以99%的概率使顾客不用等待。安排6个售货员能以95%的概率使顾客不用等待。安排3个售货员顾客要等待的概率大于50%等等。这些信息无疑对经理安排售货员的决策起着根本的作用。案例

售货员的人数案例售货员的人数87

《标准》在三个阶段都提出了相应的要求，这也成为了统计内容的首要主线。在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程”；在第二学段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”。一、数据分析过程《标准》在三个阶段都提出了相应的要求，这也成为了统计88一个案例

新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。[说明]借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。一个案例新年联欢会准备买水果，调查班级同学最89一个案例

（2）鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，可以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。（3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。一个案例90大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢？请你帮我想想办法？调研结果分析大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢？请你帮我想想办法？调91史宁中

小学生知道两件事情是重要的：第一，制定标准；第二，按照标准做事。中国培养的人，缺乏制定标准的经验，我希望未来的学生开始会制定标准。这个世界最后赢的都是制定标准的。

这里可以有一个反复的过程，对开始制定的标准进行调整。一学期哪怕有一、两次，我估计经过三年，就能积累经验。

我设想的就是这两个结果。史宁中92数据中蕴涵着信息

第一学段：对全班同学的身高进行调查分析。[说明]学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。数据中蕴涵着信息93

（1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。（2）从汇总后的数据中发现信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等。在讨论过程中，括号中的有些名词并不需要出现，但是希望学生体会数据所代表的意义。数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息94数据中蕴涵着信息（第二学段）

在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。数据中蕴涵着信息（第二学段）

95统计与概率课件96统计与概率课件97统计与概率课件98掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的方法，无疑是统计课程内容的第二条主线。二、数据分析方法掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的方991.收集数据的方法在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。在第一、第二学段中，学生收集的基本都是总体数据现成的数据；需要自己调查的数据（换乳牙、看电视的时间）。常用的收集数据的方法包括：调查、试验、测量、查阅资料。1.收集数据的方法在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数1001.收集数据的方法学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验。《标准》在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简单方法”；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。1.收集数据的方法学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验101注意收集数据的讨论研究表明在计划如何收集数据上花时间是值得的。注意收集数据的讨论研究表明在计划如何收集数据上花时间是值102

美国数学教师杂志向全美的中小学数学教师推荐的一节数学课为什么有的人跑得快？有的人跑得慢？师：今天我们一起讨论一个问题，大家有没有想过这样的事情，我们都有跑步的体验，为什么有的人跑得快，有的人跑得慢？有的学生说：“谁个高谁就跑得快，谁个矮谁跑得慢.”

马上就有学生提出问题：“老师，不对，我们班×××个子不高，但他跑得很快.”

随后学生又提出问题：“我们班有两个学生，他们的个子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢.”

案例美国数学教师杂志向全美的中小学数学教师推荐的一节数学103

●过程二：用100米跑的步数m1，…m6与时间t1，…t6的比可以算出每个人的步频.

步频，每个人1秒钟跨了多少步.如果跨了150步，总共用9秒8，两数一除，我就知道1秒钟跨了多少步.有了步数，有了时间就可以算出步频.

于是有的学生猜测步频越大，跑得越快，结果发现，总体的状况是这样，步频比较高的人，他跑的成绩是比较好的.

一个人跑得快，都受哪些因素影响呢？是由2个因素影响的，步距与步频.这就是美国小学六年级讨论的问题.●过程二：用100米跑的步数m1，…m6与时间t1104实际问题中收集数据的有趣案例

对种群的估计对敏感性问题的调查实际问题中收集数据的有趣案例1052.整理、描述、分析数据的方法在第一学段，学生将学习分类的方法，分类是整理数据和描述数据的开始。在此基础上，能用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，而不学习正式的统计图表或统计量。有研究表明，早期经验的多样化，有助于儿童建立进一步学习的经验和兴趣。2.整理、描述、分析数据的方法在第一学段，学生将学习分类的方106分组全班同学的身高情况单位：厘米分组全班同学的身高情况单位：厘米107“点线”图

“点线”图1082.整理、描述、分析数据的方法在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量——平均数。2.整理、描述、分析数据的方法在第二学段，学生将学习条形统计109案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五年级学生的情况有什么不同？能尝试解释原因吗？一年级、五年级学生睡眠情况统计图案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五年级学生的情况有什么110张思明、史宁中的看法张：最大的差别；差别的原因和合理性；指标有问题，能否合并；人均睡眠时间也许更好史：目标；变化趋势；注意到人数不同；经验的积累张思明、史宁中的看法张：最大的差别；差别的原因和合理111三个水平Curcio(1987)把学生对数据的读取分为三个水平：（1）数据本身的读取（readingthedata），包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。(2)数据之间的读取（readingbetweenthedata）。这包括做比较(例如比较好、最好，最高、最小等)和对数据进行操作(例如加减乘除)。(3)超越数据本身的读取（readingbeyondthedata），包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。三个水平Curcio(1987)把学生对数据112读图的建议要读统计图中能看见到或推理能得到的信息。包括：统计图的名字和图标，单个数据，数据的比较（多少、倍数、百分比等），数据的整体变化（最大、最小、平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。

读图的建议要读统计图中能看见到或推理能得到113读图的建议统计数据能否回答开始提出的问题，能否解决其他问题，能否进行预测，思考为什么数据会呈现这种情况等。读图的建议统计数据能否回答开始提出的问题，114小婷身高统计图小婷身高统计图115小婷身高统计图小婷身高统计图116统计与概率课件117北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计118北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计119读图的建议更进一步的层次，就是评价的意识。不仅要去阅读图，还要对统计图中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道理等进行一些评价。

读图的建议更进一步的层次，就是评价的意识120

某工厂有5个股东，100个工人。工人的工资总额与工厂的股东总利润见下：

年度工人工资总额股东总利润1990年10万元5万元1991年12.5万元7.5万元1992年15万元10万元该工厂老板根据表中数据，作出了右图，并声称股东和工人“有福共享、有难同当”，你如何看待他的说法？

案例

“有福同享,有难同当”吗?案例“有福同享,有难同当”吗?121案例

“有福同享,有难同当”吗?案例“有福同享,有难同当”吗?122统计量

最多、最少平均数、中位数、众数极差、方差、标准差……

123

平均数的三个角度：算法理解、概念理解、统计理解。注重平均数的理解

124概念理解平均數介於最小值和最大值之間。資料與平均數之間的差，其和為零。平均數易受平均以外的資料的影響。平均數未必是資料中的一個值。平均數可能是非整數且無實物可以對照。計算平均數時不可刪去零值的資料。平均數代表被平均的所有資料。概念理解125平均数意义及价值的学习

案例：北京大学附属实验小学王杰平均数意义及价值的学习案例：北京大学附属实验小学王杰126平均数案例1．利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师：我这也有条信息，我们一起看看。（1）出示：节约用水图。师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。（2）出示：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？（学生可能产生疑问：水并不少，世界100多个国家，我们排第四名。）平均数案例1．利用节约用水信息深入理解平均数的意义。127平均数案例（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的理解。“贫乏”这个词是什么意思？有那么多水，怎么用贫乏来形容我们国家了呢？）总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。平均数案例（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资128平均数案例2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。师：你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？没错，就是这条线，我们来看看（图略）。经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童1.1米乘车免票线提高到了1.2米。师：为什么要提高？（学生自然会想到：孩子们都长高了。）师：我们怎么去确定这个标准的呢？（学生可能会回答：我们可以调查一下。）平均数案例2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。129平均数案例2师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。）师：总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前我市6岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市6岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。平均数案例2师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处130平均数案例3.那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多你们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？（学生建议教师走2号桥，但偶尔也不一定快）总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。平均数案例3.那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？131统计与概率课件132平均数与中位数、众数的关系

我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。

小学阶段不要求中位数、众数

平均数与中位数、众数的关系我们现在处理的数据，大部133平均数与中位数、众数的关系

只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。平均数与中位数、众数的关系只有在数据分布偏态（不对134一个例子11名男同学100米跑的成绩如下：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。学生能计算出这组数据的平均数是：15秒6；这组数据的中位数是：16秒6。在此基础上让学生利用数据分析如下问题：

（1）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以参加，选择哪个成绩作为标准？

（2）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？

（3）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？一个例子11名男同学100米跑的成绩如下：1352.整理、描述、分析数据的方法教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法等的掌握。需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏’”，而不是“对错”。

2.整理、描述、分析数据的方法教学中应鼓励学生运用所学习的方136三、数据的随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。两个案例：摸球、上学时间三、数据的随机性数据的随机主要有两层涵义：一方面对137三、数据的随机性

概率也是研究随机现象的，那么为什么又提出数据的随机性呢？

实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机

。鼓励学生运用数据来体会随机，更能体会随机的特点。三、数据的随机性概率也是研究随机现象的，那么为什么又138史校长的采访

我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先都不知道，但是摸多了能够帮助我们做一些判断。这样一来，学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息，我想这种类似于“猜谜”的活动学生也会很有兴趣”。史校长的采访我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这139三、数据的随机性

实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在《标准》案例40的说明中给出了这种推断背后的科学依据，也就是虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定实验次数下，估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。

实际上，如果袋中装有4个红球和1个白球，可以知道摸到红球的概率为4/5（也就是8/10）。通过计算可以得到：保证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸27次以上；保证有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸60次以上。三、数据的随机性实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在140

习惯于从统计规律看问题的人在思想上不拘执一端：他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外。

——陈希孺习惯于从统计规律看问题的人在思想上不拘执一端141“摸球”活动的总结第一类：验证类（淡化）第二类：体会随机类第三类：体会推断类第四类：运用频率估计概率类第五类：体会频率与概率的关系类“摸球”活动的总结第一类：验证类（淡化）142验证类(淡化)老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？(学生略做思考后交流。)

生1：可能摸到白球，也可能是黄球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因为有10个球，其中9个是白球。（大家都表示同意）师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。验证类(淡化)老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1143体会随机类组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么?

活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举手。)

师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢?(此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。)

体会随机