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::E-mail:1内§1§2§3多元线性回归模型的参数估计——§4§5§6内大经济管理学院 2§1单一方程模型概线其内大经济管理学院3内大经济管理学院 4加入加入随机干扰项系统部分,+,反映自变量——随机干扰部分:因素对消费的影响。内大经济管理5样本数据的结ct=a+byt+ 其中ut表示第t内大经济管理6例2例2 内大经济管理学院 7若得到nYi=AKaLi其中ui表示对第i8线性线性lnYilnAalnKiblnLilnii1,2,...,yA*akbl 内大经济管理9其ylnklnlln内大经济管理ca0a1Qa2Q2...akQk内大经济管理线性令Xjjj1,2,...,ca0a1X1a2X2...akXk内大经济管理线统计(回归)之间的关系,消费支出与可支配收入之间的关系统计统计(回归)关系与因果强内大经济管理内大经济管理口口的个人 20003000400050006000内大经济管理中国农村用电消费量 0 内大经济管理学 变变量的叫内大经济管理线线例yabxyabxuyaxbu参数参数线例yabxuyabx2y内大经济管理§2多元线性回归模型及基本假模ytb0b1x1tb2x2t bkxktutt1,2,...,如果k1,称为一元回归模如果k1,称为多内大经济管理第t期; ut——(第t期的)内大经济管理yxx…x因变量Dependent自变量Independent被解释变量Explained解释变量Explanatory内生变量Endogenous外生变量Exogenous回归变量预测变量预测因子结果变量Effect原因变量Causal目标变量Target控制变量Controlb0b0,b1,b2,..., jjxj变化一个单位y将变化bj个单位随机随机干扰(1)包含众多微小的随机因素或者偶然因如人类行为的内在随机性、天气因素、自然等等。例如:消费=abu,人们可能在某一理论的含混不数据的不可得省略一些次要变量(基于节俭原则保留主要变量内大经济管理(3)y中的测量误差或者x的较差 变内大经济管理模型模型的矩阵表y1b0b1x11b2x21...bkxk1u1y2b0b1x12b2x22...bkxk2 ynb0b1x1nb2x2n...bkxkn内大经济管理模型的矩阵表令Y2yy1 Xn1xu1xxxk1b0k2b1b uU2xknYXb内大经济管理模型的基本假设(classical模型的基本假设(classical为什么要 u是随量,对其分布,我们知之甚少,必须对u作一些合理的假设; 假设E(ut)0,t1,2,...,假设假设Var(u),t2 同方差假cov(ut,us)E(utus)0,t内大经济管理假设Cov(Xji,ui)0,i1,2,...,内大经济管理假设假设X内大经济管理有时还进一步假uN ,t1, t2uOLS估计所必需的,但是内大经济管理例例对给定的x,y服从正态分布:yNabx,2样本数据(ytxt)t期,x的取值固定为xt时,从以上这个总体抽样的结图YX2u内大经济管理1、一元线性模型的估计(复习ytb0b1xtut,t1, ,b0b1内大经济管理数据数据拟绘制数据散点图, 中可看出y随着x而变动的趋势。希 得到均匀穿过趋势线,拟合数 点办法有二一是目测,手工绘趋势线 二是利用统计原理但必须规定一个拟 yˆbb的标准内大经济管理回归方程(直线 yˆb0b 内大经济管理例例内大经济管理残差平nt残差平nte ytyˆt2t2Qb0,b1内大经济管理残etytyˆt,t1,2,..., t 小内大经最小最小二乘即:选择b0b1,使minQb0,b1(OrdinaryLeastSquaresestimation内大经济管理得Qynbt t0Qxy x 121t内大经济管理整t nnXY 1tb1tnt tn1(XtX)(YtYn21 2Xtt (XiXn2st nt b0ybtb0yb内大经济管理YX8220518458计算aX的平均数=计算aX的平均数=Y的平均数内大经济管理计算a(XtX)(YtY)= (tX)2= 于是8b3 4内大经济管理拟合结X内大经济管理YYXYYXY-X-82205184400205198453计算计算aaˆYY2内大经济管理DataYLSYC内大经济管理2、多元线性模型的估模型ytb0b1x1tb2x2t...bkxkt内大经济管理yˆyˆtb0b1x1tb2x2t...bkn2tytt2etytb0b1x1tb2x2t...bkxkt2Qb0,b1,b2,...,bk最小最小二 内大经济管理QQQ01k内大经济管理ytnb0b1x1tb2x2t...bk xy1t 1txx2012xx...k1txktxy x xxkt xx...b kt2内大经济管理b0,b1,b2bk,称为参数的最小二乘估内大经济管理OLSOLSX'YX'当X' 例Y33511和2程内大经济管理学院 621311 YXX'X1555815152520X'Y762581bˆ(X'X)X'Y15558176255152520425811291091 Yˆ425X1内大经济管理Yˆ134内插值(拟合值YˆYˆ114405ˆY156257 Yˆ12413Yˆ145e34e 1050残差 eeYYˆ8750e 330 550残差平方和 RSSe(1)05051ˆ 0e1nk152内大经济管理计算计算TSS(YY)(34)(14)(84)(34)(54)R21RSS/TSS115/280R21n1(1R2)151(109464)0nk52内大经济管理DataYX1LSYCX1内大经济管理iews iews Method:LeastMethod:LeastDate:09/03/02Time:Sample:1EIncludedobservations:Std.t-C4Meandependent4AdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLogF-Durbin-WatsonProb(F- eˆ nk内大经济管理学院86420 332u随机干扰项的方差u2内大经济管理可以证明,的无偏估计为2ue2ˆ2unk分母(n-k-1)是残差平方和的自由内大经济管理 因为如此,在回归分析OLS法才会得到如内大经济管理复内大经济管理线b线bˆjj0,1k)y1y2ynjncjtt应用:由此推出bˆj0,1kjEbˆjbj,j1,2,...,最佳最佳内大经济管理全部估偏OLS估内大经济管理一致一致plimbˆjbj,j1,2,...,内大经济管理§4拟合优度(goodnessoffitytyˆtet,t1,2,...,其中yˆt是系统部分的解释,残差et是随机干内大经济管理 XXn(YtY)2 ttt(YY称为总离差平方和(totalsunofsquares),记为TSS(2)(2)(YY)ˆ(residualsumofsquares),记为反映了随机因素对Y的变动的(3)(YYˆ称为回归平方和(explainedofsquares),记为可以证明ˆY ,因此ESS就是拟合值的样本方乘以(n-1),反映了拟合值的变动对的变动的影响内大经济管理平方和分解的解 内大经济管理决定决定系R2ESS1 称为决定系数(determinationcoefficient),或复相关系数(multiplecorrelationcoefficient)R2被用来衡量回归直线的拟合优度内大经济管理R2的性(1)0R2内大经济管理EviewsEviews的回归结内大经济管理R2R2(4)R21说明拟合优度越好,反之,R2越靠近0,拟合优度越差(1)对于一元模型Yta0a1XtutR2恰好等于X和Y的相关系数(XtX)(YtYnrXY (XtX)2(YtY)nnt(2)可以证明,R2rˆ即Y和Yˆ修正修正决定系R2有一个缺点,即R2随着解释变量个数内大经济管理修正决定系定义R2RSS/(nkTSS/(n或R2nnk(1R2称为修正决定系数(adjusteddetermination内大经济管理但是,有时R但是,有时R2R2R2max0,R2内大经济管理DependentVariable:Method:LeastDate:09/10/02Time:Sample:1966Includedobservations:Std.CP--TI--H0AdjustedR-MeandependentS.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-Durbin-Watson0R2R2模型的经济解释,R2或者R2越高越好。 内大经济管理学院 91内大经济管理数学期E b,j1,2,...,ˆjj内大经济管理方差方差和协方OLSbˆvarvarbˆvar(X'X var 内大经济管理内大经济管理EviewsEviews的回归结内大经济管理bbˆjvarb(X'Xˆ2 jSEbˆvarbj(X'X2juj内大经济管理学 ˆenk011.5820.025 62.5 1.1251.875sebˆ20.025sebˆ1.8751sebˆ0750DependentDependentVariable:Method:LeastDate:09/10/02Time:Sample:1966Includedobservations:CP--TI--H0MeandependentAdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-Durbin-Watson0估计量的分性组合,而Yj服从正态分布,因此OLS估bˆ~N(b 内大经济管理估计估计量的分即bˆjj~Nj但是,注意到分母中的u2eˆnkbˆjj~t(nkj内大经济管理2、参数的显著性检验(t检验ytb0b1xtut,t1,2,,其中b1反应了自变量x对y的影如果b1=0,则表明x对y没有影响否则,如果b1显著地区别于0,则表明有显著影响内大经济管理如果b如果b1=0,则称参数b1模型为:ytb0b1x1tb2x2tbkxktut,t12要检验bjH0:bj H1:bj 检验检验统计量——t统计t j~t(nkbˆj在H0下t ~t(nkjj内大经济管理原通常取0.01等小正如果H0t|>t}={|t|>t}是小件在一次抽样中b出现,说明假设 内大经济管理检验检验步(1)计算|t(2)查表求临界值t/2(n-k-如果|t|≤t/2,则接受H0,认为在显著性水平为α的意义下,bj不显著;如果|t|>t/2,则 性水平为α的意义下,bj显著。内大经济管理例Yt=7.193-1.39X1+1.47X2se(1.595)(0.205) (4.510)(- n=13,k=2,t/2(n-k-1)=tjj结论:常数项和X1的系数是显著的,X2的系数不显内大经济管理Eviews的回归结Eviews的回归结DependentVariable:YMethod:LeastDate:09/10/02Time:18:06Sample:19661992Includedobservations:CoefficienStd.Errort-Statistic简易“2倍”检验当=0.05,n-k-1>8时t/2(n-k-检验可以化简为:当估计值大1234567892标准差的2倍时,则认为参是显著的,反之是不内大经济管理学院 110CP--TI--H0MeandependentAdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-Durbin-Watson0P值检验法(P值检验法(p-valuep为了方便,将ttˆj0j计 p=P{|t|>t称为p值(p-value 如果p,/2,t0落入0t0t 如果0t0内大经济管理准内大经济管理解p-value解p-value(或观测的)显著性水p-value:零假设H0被 DependentVariable:Method:LeastDate:09/10/02Time:Sample:1966InludedobStd.t-P--0TI--HMeandependentAdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-Durbin-Watson0内大经济管理学院 pp值检验法优不将固定在某个武断的水平上是一个决定在给定的p-value,到底是否零内大经济管理参数显著性检验和建内大经济管理小小(1)|t|与临界值作内大经济管理3、方程的显著性检(F检验模型ytb0b1x1tb2x2tbkxktut,t12问题:yx’s之间的线性关系是否成立,如果各个x前的系数都等于0,那么这种线性关系只要一个x前的系数不等于0,那么这种线性关系内大经济管理方差方差分内大经济管理Eviews的回归结内大经济管理假H假H0:b1=b2=…=bk(零假设H1:b1,b2,…,bk至少有一个不等于0(备择假设FESS/RSS/(nk~F(k,nkkF ESS/kRSS/(nk1)~F(k,nkn-准(1)计算F(k,n-k-F>F,则H0,认F≤F,则接受H0,认内大经济管理例例F(k,n-k-1)=内大经济管理DependentVariable:Method:LeastDate:09/10/02Time:Sample:1966Includedobservations:Std.CP--TI--H0MeandependentAdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-0Durbin-Watsonpppvalueprob(FF当P值小于显著性水平时,方程在显著性水当P值大于显著性水平时,方程在显著性水x的值,预测y例消费函数的回归方程是如果2002年的国民收入Y=1500(亿元),那么2002年消费支出的预测值是多少?答案:C2000.8*15001400需求函数的回归方程是:Q=20-如果预计价格P=10,收入I=12内大经济管理点预ytb0b1x1tb2x2tbkxktut,t1,2,...,yˆbˆb1xb2xbkx t1,2,...,给定X0(1,x10,x20,,xk0 ,预测性质:最佳线性无偏bkk X内大经济管理区间区间预y0的100(1-α)%置信区(yˆ0tae,y0e)其yˆ0是点预t/2=t/2(n-k-1)t分布的临界是预测误差的标准内大经济管理ˆ2u1X(X'X)X00其ˆ2e2unk内大经济管理yyˆ0/u1(xx2 (xx02例回归方程:Ŷ24.45+X0点预测:Ŷ0=24.45+0.509(100)=ˆ=2u={42.16[1+1/10+(100-170)/33,000]}==.05,df=n-k-1=8,t/2X0=100y0的9575.36即(58.635内大经济管理学 yyˆ=24.45+YY0 X内大经济管理预测精度的影响因un——(xtx越 x0——x0x的平均数越近,预测误差2——x内大经济管理内插内插预测和外推预内大经济管理内插预X0跑遍自变量在样本期内的观测内大经济管理误误etytyˆt,t1,2,...,reteytt residual/Graphor转折转折点预单从该图就可以看出,我们更应选择产生实线C型,因为虽然它的模拟误差均方根很大,但它很好地反映了变量X的显著变化。内大经济管理外推预X0取实际值以外的其他一内大经济管理Eviews内大经济管理ˆEViews预测结果显示和评内大经济管理内大经内大经济管理内大经济管理局东南局(SoutheasternTransportationAuthority,STA)是负责向东部一个大城市提供铁路通勤服务的公共机构,它在1993年初全系统经营赤字上升的问题。另外,由于政府和州同时实行财政紧缩计划,致使得到额外补贴支持的希STA的董事会要求系统经理提出方案以减缓系统的财政状况。经理人员作出的第一个建议是对服务进行重大削减调整,将导致在下午7时之后和周末不提供服务,从周一至周五的服务时间也要减少。STA董事会 这个方案在政治上不可能被接受,只能作为最后的办法来考虑。董事会建议鉴于5年多来持续基本票价一直在上涨,所以应该考虑把票价从当前1的水平长到1.50的新水平,因此,董事会经理人员进行一次票价拟议上调的可能影响研究。此系统的经理们收集了有关对STA乘客需求有涉及过去的24年,包括下列变量:1.每个乘客的价格(美分)—在下表中这个变量标2.此都市地区中由STA提供服务的人口—预期这个3.人均可支配收入—这个变量开始被认为对STA乘4.市区每小时停车费(美分)—预期这个变量对S内大经济管理学 此此内大经济管理1.1.在此需求研究中什么是因变量2.3.对S号4利用计算机中的多元回归程序,对表1给出的数据所形成的需5.对计算出来的回归方程中每一个系数给予一个经济解释6.可决系数的值是多少?你如何解释这个结7.用19928.用1992系统乘坐情况有影响的各个变量可能会有什么9此回归方程的德宾-10.根据自变量的相关矩阵分析,你对模型中存在的多重共线性11.如果票价提高到1.5 ,其他所有变量都保持在179统计量是多少?它对数据中存在的年水平上不变,那么对 统的每周收益的预期影响是什么内大经济管理学 DependentVariable:Method:LeastDate:09/10/02Time:Sample:1966Includedobservations:Std.CP--TI--H0MeandependentAdjustedR-S.D.dependentS.E.ofAkaikeinfoSumsquaredSchwarzLog-Durbin-Watson01.因变量是每周的乘客1.因变量是每周的乘客 2(P),人口(T),人均可支配收入(I),市区每小时停车费(H). PTI-(富人更可能开自己的车H
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