第4章解线性方程组直接法课件

第4章解线性代数方程组的直接方法

§0

引言§1向量和矩阵的范数§2Gauss消去法§3

高斯主元素消去法§4高斯消去法的变形－三角分解法

§5误差分析§6本章小结第4章解线性代数方程组的直接方法

§0引言§1向§0引言§0引言

解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）解线性方程组的两类方法：§1向量和矩阵的范数4.1向量范数定义：n维向量，对应非负实数

满足：

（1）非负性，当且仅当x＝0时，

（2）齐次性

（3）三角不等式§1向量和矩阵的范数4.1向量范数定义：n维向量常用的向量范数，（1）向量的1-范数（2）向量的2-范数（3）向量的

-范数常用的向量范数，（1）向量的1-范数（2）向量的2-范数（34.2矩阵范数与向量范数类似，定义n阶方阵A的范数。定义：设A为n阶方阵，对应的非负实数满足：4.2矩阵范数与向量范数类似，定义n阶方阵A的范数。常用的矩阵范数：（1）方阵A的行范数（无穷范数）（2）方阵A的列范数（1-范数）常用的矩阵范数：（1）方阵A的行范数（无穷范数）（2）方阵A（3）方阵A的谱范数（2-范数）（4）算子范数（3）方阵A的谱范数（2-范数）（4）算子范数§2Gauss消去法转化为等价（同解）的三角形方程组§2Gauss消去法转化为等价（同解）的三角形方程组2.1Gauss消去法计算过程2.1Gauss消去法计算过程从而得到其等价方程组从而得到其等价方程组第4章解线性方程组直接法课件从而得到其等价方程组从而得到其等价方程组如此计算下去，进行n-1步消元过程后得到的等价方程组如此计算下去，进行n-1步消元过程后得到的等价方程组系数矩阵与常数项为：系数矩阵与常数项为：2.2消去过程算法2.2消去过程算法2.3回代过程算法2.3回代过程算法第4章解线性方程组直接法课件消去第一列的n-1

个系数要计算n×(n-1)个乘法。2.4Gauss消去法乘法计算量消去第一列的n-1个系数要计算n×(n-1)个乘法。4.3三角分解法4.3三角分解法20第4章解线性方程组直接法课件21LU分解次序LU分解次序以三角矩阵为例给出的记忆公式以三角矩阵为例给出的记忆公式231.先解三角形方程组Ly=b,即2，再解三角形方程组Ux=y,即1.先解三角形方程组Ly=b,即2，再解三角形方程组Ux=y第4章解线性方程组直接法课件例5例5第4章解线性方程组直接法课件27Doolittle分解法—把矩阵A分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，即Doolittle分解法—把矩阵A分解成单位下三角矩阵28方程组方程组29其计算公式为其回代过程公式为其计算公式为其回代过程公式为例6用Doolittle分解求解例5的方程组解对增广矩阵作统一处理，得即例6用Doolittle分解求解例5的方程组即31使用回代公式求得使用回代公式求得平方根法——设A为n阶对称正定矩阵，则A可分解为其中平方根法——设A为n阶对称正定矩阵，则A其中用直接分解法，可得到用直接分解法，可得到34第4章解线性方程组直接法课件35例7解例7解36第4章解线性方程组直接法课件改进的平方根法——为了避免开方运算若A>0,则有唯一的分解式其中改进的平方根法——为了避免开方运算其中有矩阵乘法规则可得有矩阵乘法规则可得39求得矩阵L、D的元素后，线性方程组就转化为这是两个三角形方程组，可以用逐步递推法求得其解，具体计算公式为求得矩阵L、D的元素后，线性方程组就转化为这是两个三角形方程解实三对角线方程组的追赶法其中空白部分均为零元素，并且|b1|>|c1|>0解实三对角线方程组的追赶法其中空白部分均为零元素，并且|b1方程组的矩阵形式为利用矩阵的直接三角分解法来推导其计算公式，将A分解为两个三角阵的乘积其中其中方程组的矩阵形式为利用矩阵的直接三角分解法来推导其计算公式，按照矩阵的乘法规则有：由此可推出计算公式按照矩阵的乘法规则有：由此可推出计算公式这样，求解方程组就转化为求解两个三角形方程组求解公式为这样，求解方程组就转化为求解两个三角形方程组求解公式为44例8解例8解第4章解线性方程组直接法课件46§5

误差分析由于系数矩阵A或者右端常数项b的微小变化引起解的很大变化的方程组，称为病态方程组，系数矩阵称为病态矩阵。反之，称为良态。§5误差分析由于系数矩阵A或者右端常数项b的微小变化引矩阵A准确，右端常数项b有误差，相应解的改变量为，原方程变为：如果b准确，而A有误差，相应解的误差为，则有矩阵A准确，右端常数项b有误差，相应解的改变量因此，能用来刻画矩阵“病态”特性，称作非奇异矩阵A的条件数，记作cond(A)，即：因此，能用来刻画矩阵“§6本章小结高斯消去法主元高斯消去法三角分解法（LU）误差分析§6本章小结高斯消去法第4章解线性代数方程组的直接方法

§0

引言§1向量和矩阵的范数§2Gauss消去法§3

高斯主元素消去法§4高斯消去法的变形－三角分解法

§5误差分析§6本章小结第4章解线性代数方程组的直接方法

§0引言§1向§0引言§0引言

解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）解线性方程组的两类方法：§1向量和矩阵的范数4.1向量范数定义：n维向量，对应非负实数

满足：

（1）非负性，当且仅当x＝0时，

（2）齐次性

（3）三角不等式§1向量和矩阵的范数4.1向量范数定义：n维向量常用的向量范数，（1）向量的1-范数（2）向量的2-范数（3）向量的

-范数常用的向量范数，（1）向量的1-范数（2）向量的2-范数（34.2矩阵范数与向量范数类似，定义n阶方阵A的范数。定义：设A为n阶方阵，对应的非负实数满足：4.2矩阵范数与向量范数类似，定义n阶方阵A的范数。常用的矩阵范数：（1）方阵A的行范数（无穷范数）（2）方阵A的列范数（1-范数）常用的矩阵范数：（1）方阵A的行范数（无穷范数）（2）方阵A（3）方阵A的谱范数（2-范数）（4）算子范数（3）方阵A的谱范数（2-范数）（4）算子范数§2Gauss消去法转化为等价（同解）的三角形方程组§2Gauss消去法转化为等价（同解）的三角形方程组2.1Gauss消去法计算过程2.1Gauss消去法计算过程从而得到其等价方程组从而得到其等价方程组第4章解线性方程组直接法课件从而得到其等价方程组从而得到其等价方程组如此计算下去，进行n-1步消元过程后得到的等价方程组如此计算下去，进行n-1步消元过程后得到的等价方程组系数矩阵与常数项为：系数矩阵与常数项为：2.2消去过程算法2.2消去过程算法2.3回代过程算法2.3回代过程算法第4章解线性方程组直接法课件消去第一列的n-1

个系数要计算n×(n-1)个乘法。2.4Gauss消去法乘法计算量消去第一列的n-1个系数要计算n×(n-1)个乘法。4.3三角分解法4.3三角分解法70第4章解线性方程组直接法课件71LU分解次序LU分解次序以三角矩阵为例给出的记忆公式以三角矩阵为例给出的记忆公式731.先解三角形方程组Ly=b,即2，再解三角形方程组Ux=y,即1.先解三角形方程组Ly=b,即2，再解三角形方程组Ux=y第4章解线性方程组直接法课件例5例5第4章解线性方程组直接法课件77Doolittle分解法—把矩阵A分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，即Doolittle分解法—把矩阵A分解成单位下三角矩阵78方程组方程组79其计算公式为其回代过程公式为其计算公式为其回代过程公式为例6用Doolittle分解求解例5的方程组解对增广矩阵作统一处理，得即例6用Doolittle分解求解例5的方程组即81使用回代公式求得使用回代公式求得平方根法——设A为n阶对称正定矩阵，则A可分解为其中平方根法——设A为n阶对称正定矩阵，则A其中用直接分解法，可得到用直接分解法，可得到84第4章解线性方程组直接法课件85例7解例7解86第4章解线性方程组直接法课件改进的平方根法——为了避免开方运算若A>0,则有唯一的分解式其中改进的平方根法——为了避免开方运算其中有矩阵乘法规则可得有矩阵乘法规则可得89求得矩阵L、D的元素后，线性方程组就转化为这是两个三角形方程组，可以用逐步递推法求得其解，具体计算公式为求得矩阵L、D的元素后，线性方程组就转化为这是两个三角形方程解实三对角线方程组的追赶法其中空白部分均为零元素，并且|b1|>|c1|>0解实三对角线方程组的追赶法其中空白部分均为零元素，并且|b1方程组的矩阵形式为利用矩阵的直接三角分解法来推导其计算公式，将A分解为两个三角阵的乘积其中其中方程组的矩阵形式为利用矩阵的直接三角分解法来推导其计算公式，按照矩阵的乘法规则有：由此可推出计算公式按照矩阵的乘法规则有：由此可推出计算公式这样，求解方程组就转化为求解两个三角形方程组求解公式为这样，求解方程组就转化为求解两个三角形方程组求解公式为94例8解例8解第4章解线性方程组直接法课件96§5

误差分析由于系数矩阵A或者右端常数项b的微小变化引起解的很大变化的方程组，称为病态方程组，系数矩阵称为病态矩阵。反之，称为良态。§5误差分析由于系数矩阵A或者右端常数项b的微小变化引矩阵A准确，右端常数项b有