数列的极限与连续

关于数列的极限与连续第一页，共七十二页，2022年，8月28日§2.1数列的极限(LimitsofSequences)二收敛数列的性质一数列极限的定义三小结与思考判断题CH2极限、连续第二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/42数列概念例如第三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/43注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/44定义2.数列单调性定义单调增加单调减少单调数列同样,定义3：数列有界性定义第五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/45几何意义:由于|xn|MMxnMxn[M,M].故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间[M,M]内.看图0MxxnM][第六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/46数列极限的概念第七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/47图形演示第八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/48图形演示第九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/49图形演示第十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/410图形演示第十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/411图形演示第十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/412图形演示第十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/413图形演示第十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/414图形演示第十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/415图形演示第十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/416图形演示第十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/417图形演示第十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/418图形演示第十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/419图形演示第二十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/420问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/421第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/422如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义3

如果对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数，使得对于时的一切不等式都成立,那末就称常数为数列的极限，或者称数列收敛于,记为第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/423注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正整数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4241.我们用符号“”表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.2.我们用符号“”表示“存在”.符号“”称为存在量词.符号：第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/425几何解释:第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/426当

x

=n,则相应的点都落在绿色区域内nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限演示对一切n>N自然数

NA的邻域第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/427当

x

=n,则nf(n)0AN123N+1N+2

数列的极限演示.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数

NA的邻域第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/428当

x

=n,则nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限演示.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数

NA的邻域第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/429当

x

=n,则nf(n)0AN123N+1N+2.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数

NA的邻域数列的极限演示第三十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/430当

x

=n,则nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，数列的极限定义也称数列极限的

—N定义.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数

NA的邻域数列的极限演示第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/431例1.

若xn=c(常数),则证:>0.由于|xn–c|=|c–c|=0取N=1,当n>N时,有|xn–c|=0<故即常数的极限就是常数本身.数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/432例2证所以,第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/433例3证注:

用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/434例4、第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/435所以取要,只要使第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/436二、收敛数列的性质1.收敛数列的唯一性定理1收敛的数列只有一个极限.证由定义,第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/437例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/438定理2收敛的数列必定有界.证由定义,2.收敛数列的有界性注1

有界性是数列收敛的必要条件.注2

无界数列必定发散.数列注3

有界数列不一定收敛.数列第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4393.收敛数列的保号性第四十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/440第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/441数列的子数列(略)子数列(子列):在数列中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列.记作即其中例如自然数列第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4424.收敛数列与其子列的关系(略)

axknn=¥®lim这就证明了NnnKkNnKKk=>>=.,时，有则当取

证axnk<-\.||

eaxNnn<->;||时恒有当eNaxxxknnnn$>"=¥®,,0,lim

}{}{使得由定义，的任一子数列.是数列设数列eQ第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/443例如数列

因为它有两个子列分别收敛于1和-1两个不同的数值.第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/444定理5.

设数列xn和yn

的极限都存在.且则(1)(2)(3)设C为常数，有(4)当b0时，有三、数列极限的运算法则第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/445第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/446定理4.

若证：由于注意到不等式

||A||B|||AB|从而||xn||a|||xna|<故反之不对.注意：若，则结论成立。见教材P32习题7第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/447例6解先变形再求极限.第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/448例7.

求解：注意到从而所以，原式=第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4491、夹逼（挤）准则（定理4）数列极限的存在准则第五十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4501.夹逼（挤）准则

(准则1)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/451注意:(2)两者的极限相等.特别,若在夹逼定理中,yn

和zn

中有一个为常数列,并满足定理条件.定理仍然成立.即若axn

zn,

这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/452例8解由夹逼定理得第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/453例9

证明证:利用夹逼准则.且由第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/454例10.

求解：用夹逼定理求解，记适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式考虑将xn由于所以第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/4552单调有界准则单调增加单调减少准则Ⅱ单调有界数列必有极限单调增加且有上界数列必有极限单调减少且有下界数列必有极限即：第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/456例11证(舍去)第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/457证明2:

首先注意到,当a>b>0时,有移项,有即第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/458第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/459第六十页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/460由于单调有界,从而必有极限.为一无理数第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/461注：第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/462例13.

设x0=1,证明xn

的极限存在，并求之.证：通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1)注意到0<xn2,即xn有界.且x1

x0第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/463同理，=即xn

单调递增.第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/464因xn>0,故a0.第六十五页，共七十二页，2022年，8月28日2023/1/465思考题