控制系统的频率法分析

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考察一个系统的好坏，通常通过阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。通过分析不同频率正弦波输入时系统的响应，来考察系统性能，这种方法称为频域分析法。

5-1频率特性第二页，共一百二十八页，2022年，8月28日2（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于部分非线性系统的分析。（4）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因此系统分析和控制器设计可以用图解法进行。特点第三页，共一百二十八页，2022年，8月28日3一、频率特性的基本概念RUIU0C例如：第四页，共一百二十八页，2022年，8月28日4可见输出幅值是输入的，输出相位比输入滞后。第五页，共一百二十八页，2022年，8月28日5

对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。若：则：第六页，共一百二十八页，2022年，8月28日6拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：第七页，共一百二十八页，2022年，8月28日7令：第八页，共一百二十八页，2022年，8月28日8式中：Rm

、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。和都是频率的函数。第九页，共一百二十八页，2022年，8月28日9相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；定义：第十页，共一百二十八页，2022年，8月28日10幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 称为频率特性。

注：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。第十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日11

到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数系统第十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日12[例]：设传递函数为：解：频率特性为第十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日13

在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，常用的频率特性曲线有以下三种：

幅相频率特性曲线（又称极坐标图、奈魁斯特曲线）对数频率特性曲线（又称波德图）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）5.1.2频率特性的几何表示法

频率特性表达式：极坐标形式幅频特性，相频特性复数形式实频特性，虚频特性第十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日141、幅相频率特性曲线（极坐标图、奈魁斯特曲线）

以横轴为实轴、纵轴为虚轴构成复平面，在复平面上用一条曲线表示由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。第十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日152、对数频率特性曲线（又称波德图）组成：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标按分度，单位为弧度/秒（rad/s)对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：单位为分贝(dB)对数相频特性曲线的纵坐标：按线性分度，单位为度（°）第十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日16n个环节串联

（5-13）而对数幅频特性L(ω)为第十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日17

（5-14）对数相频特性为

（5-15）第十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日18使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。第十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日193、对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）

尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位为分贝。横、纵坐标都是线性分度。第二十页，共一百二十八页，2022年，8月28日205.2.1典型环节5-2典型环节分解和频率特性曲线绘制对任一传递函数，可分解为以下形式：最小相位环节非最小相位环节第二十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日21开环系统典型环节分解最小相位系统比例环节

惯性环节

一阶微分环节振荡环节二阶微分环节积分环节1/s；微分环节s；惯性环节一阶微分环节振荡环节(二阶微分环节非最小相位系统比例环节第二十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日22幅频特性：；相频特性：⒈比例环节：;对数幅频特性：相频特性：比例环节的bode图5.2.2典型环节的频率特性一、典型环节的对数频率特性曲线第二十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日23⒉积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的Bode图可见斜率为－20dB/dec当有两个积分环节时可见斜率为－40dB/dec第二十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日24惯性环节的Bode图⒊惯性环节的频率特性：①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程下降20分贝）。

当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。第二十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日25低频高频渐近线的交点为：，得： ，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。第二十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日26惯性环节的Bode图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。第二十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日27惯性环节的Bode图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当时，误差为：当时，误差为：最大误差发生在处，为wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04第二十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日28

②相频特性：

作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的波德图wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4第二十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日29⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：振荡环节的频率特性幅频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐近线的交点称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。第三十页，共一百二十八页，2022年，8月28日30相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-90°)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。振荡环节的波德图第三十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日31对求导并令等于零，可解得的极值对应的频率：该频率称为谐振峰值频率。可见，当时，。当时，无谐振峰值。当时，有谐振峰值:谐振频率，谐振峰值当，，因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。第三十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日32振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。第三十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日33⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性第三十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日34纯微分环节的波德图①纯微分：第三十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日35②一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图第三十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日36一阶微分环节的波德图一阶微分环节惯性环节第三十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日37幅频和相频特性为：③二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的变化范围从0~180度。二阶微分环节的频率特性第三十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日38二阶微分环节的波德图二阶微分振荡环节第三十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日39⒍延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：延迟环节的奈氏图第四十页，共一百二十八页，2022年，8月28日40最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。第四十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日41由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至∞时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如j1(w))。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如j4(w))。最小相位系统和非最小相位系统第四十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日42最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统—系统传递函数的极点、零点都位于左半Ｓ平面．非最小相位系统—在右半Ｓ平面存在极点、零点．最小相位系统的特点：１．不含有滞后环节，或不稳定的环节２．对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角最小．３．幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对应关系．第四十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日43实频特性：；虚频特性：；ReImK⒈比例环节：;幅频特性：；相频特性：比例环节的极坐标图为实轴上的K点。二、典型环节的幅相频率特性曲线第四十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日44积分环节的奈氏图频率特性：ReIm⒉积分环节的频率特性：积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。第四十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日45惯性环节的奈氏图⒊惯性环节的频率特性：第四十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日46惯性环节的奈氏图极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。第四十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日47实频、虚频、幅频和相频特性分别为：振荡环节的频率特性⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：第四十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日48当时，，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。振荡环节的奈氏图实际曲线还与阻尼系数有关第四十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日49振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。第五十页，共一百二十八页，2022年，8月28日50⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性第五十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日51①纯微分环节：纯微分环节的奈氏图ReIm微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。第五十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日52一阶微分环节的奈氏图②一阶微分：ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。第五十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日53二阶微分环节的频率特性③二阶微分环节：幅频和相频特性为：第五十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日541极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。延迟环节的奈氏图⒍延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：第五十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日55一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）

开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。

使用MATLAB工具绘制。

将开环系统的频率特性写成或 的形式，根据不同的算出或可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。[绘制方法]：开环系统频率特性的绘制第五十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日56[例5-1]设开环系统的频率特性为：试列出实频和虚频特性的表达式。当绘制奈氏图。解：当时，

找出几个特殊点（比如，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。第五十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日570-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。第五十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日58下图是用Matlab工具绘制的奈氏图。第五十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日59[例5-2]设开环系统的频率特性为：试绘制极坐标特性曲线。[解]：[分析]1、当时，显然，当时，的渐近线是一条通过实轴点，且平行于虚轴的直线。2、与实轴的交点。令：，解得：，这时：3、当时，，渐近线方向向下。第六十页，共一百二十八页，2022年，8月28日60第六十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日61[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：频率特性可表示为：其相角为：当时，当时，

显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。第六十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日62下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。第六十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日63（二）、开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）开环系统频率特性为：第六十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日64幅频特性：相频特性：且有：

由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。第六十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日65[例]：开环系统传递函数为：，试画出该系统的波德图。[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。第六十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日66

实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。

确定和各转折频率，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；

确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为，过点（1，20logk）。实际上是k和积分的曲线。具体步骤如下：第六十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日67

高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。

相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到（一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;

画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到（一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;第六十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日68[例5-3]系统开环特性为：试画出波德图。[解]：1、该系统是0型系统，所以则，2、低频渐进线：斜率为，过点（1，20）3、波德图如下：第六十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日69红线为渐进线，兰线为实际曲线。第七十页，共一百二十八页，2022年，8月28日70[例5-4]已知，试画波德图。[解]：1、2、低频渐进线斜率为，过（1，-60）点。4、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为：第七十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日71红线为渐进线，兰线为实际曲线。第七十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日72[例5-5]具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。[解]：

可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。第七十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日73[例]有两个系统，频率特性分别为：转折频率都是：幅频特性相同，均为：相频特性不同，分别为：三、非最小相位系统的频率特性第七十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日74最小相位系统非最小相位系统

该两个系统的波德图如下所示：第七十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日75奈氏图为：最小相位系统非最小相位系统第七十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日76

奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。5-3奈魁斯特稳定判据第七十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日77

奈魁斯特(Nyquist)稳定判据，是由H.Nyquist于1932年提出的。是利用奈氏图，来判断闭环系统的稳定性。

Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。

第七十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日78一、幅角定理：

设负反馈系统的开环传递函数为：，其中： 为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：构造辅助方程：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；(5-23)第七十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日79

式（5-23）中，s为复变量，以s复平面上的s=δ+jω来表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=u+jv表示。点映射关系，如图5-26所示。s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图5-27所示。

图5-26点映射关系图5-27

s平面与F(s)平面的映射关系第八十页，共一百二十八页，2022年，8月28日801)假设在s平面上任选一点A,使点S从A点开始沿封闭曲线顺时针方向移动且回到A点.3)所选择的只包围的某一个零点如,且在的路径上不通过任何一个零极点.则从B点出发且回到B点,矢量的端点绕复平面的坐标原点移动形成封闭曲线.的复平面上可以确定相对应的像,如下图中的B点.第八十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日81[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=P-Z。（注：F(s)任何奇异点即F(s)的零点和极点）若N为负，表示顺时针运动，包围原点；若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；若N为正，表示逆时针运动，包围原点。第八十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日82二、奈魁斯特稳定判据：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由R判断闭环右极点数。第八十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日83这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢ第八十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日84F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出 。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：第八十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日85②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数R与对(-1,j0)点的包围的次数一样。①

F(s)曲线是Gk(s)向右移1；③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。第八十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日86F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ第八十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日87[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为R，（R<0顺时针，R>0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。（2）若，则闭环系统稳定，否则不稳定。由于曲线当与关于实轴成镜像对称,所以一般只画的曲线,则(2)式可修正为:2N=Pk-Zk,N>0逆时针环绕临界点(-1,j0);N<0,顺时针环绕临界点(-1,j0).N为当时的曲线包围(-1,j0)点的圈数.曲线的走向是从到第八十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日88[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数R=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。第八十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日89[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。第九十页，共一百二十八页，2022年，8月28日90[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，R=1，而，则闭环系统是稳定的。第九十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日91当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，R=0，，所以，闭环系统不稳定。

上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。第九十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日92三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：第九十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日93Ⅰ部分：正虚轴，，Ⅱ部分为半径为无穷大的右半圆；Ⅲ部分负虚轴，，Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏图，关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设的分母阶数比分子阶数高；3、第Ⅳ部分：(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：ⅠⅡⅢⅣ第九十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日94(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆。第九十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日95[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。第九十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日96[例5-10]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。第九十七页，共一百二十八页，2022年，8月28日97[特殊情况]：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图：以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。第九十八页，共一百二十八页，2022年，8月28日98通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图逆时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：第九十九页，共一百二十八页，2022年，8月28日99这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当从 时，频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为。

频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越第一百页，共一百二十八页，2022年，8月28日100四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。第一百零一页，共一百二十八页，2022年，8月28日101对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正

增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。第一百零二页，共一百二十八页，2022年，8月28日102小结

柯西幅角定理。满足该定理的条件。辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。第一百零三页，共一百二十八页，2022年，8月28日103练习5-14(1),(4),(7)5-16第一百零四页，共一百二十八页，2022年，8月28日104第六节稳定裕度第一百零五页，共一百二十八页，2022年，8月28日105稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：第一百零六页，共一百二十八页，2022年，8月28日106控制系统的相对稳定性

从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高。开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性。通过奈氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量，其定量表示为相角裕量和幅值裕度。第一百零七页，共一百二十八页，2022年，8月28日107

当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即截止频率穿越频率第一百零八页，共一百二十八页，2022年，8月28日108显然，当时，即和时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍（奈氏图）或增加分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍（或分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。第一百零九页，共一百二十八页，2022年，8月28日109[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.第一百一十页，共一百二十八页，2022年，8月28日110相位裕度和幅值裕度的计算：

相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：第一百一十一页，共一百二十八页，2022年，8月28日111

幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：第一百一十二页，共一百二十八页，2022年，8月28日112当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。第一百一十三页，共一百二十八页，2022年，8月28日113[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-[解]：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至；2、在之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。第一百一十四页，共一百二十八页，2022年，8月28日114上图蓝线为原始波德图。，显然闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？第一百一十五页，共一百二十八页，2022年，8月28日115

，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出，所以设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论时较明显）。解得：第一百一十六页，共一百二十八页，2022年，8月28日116[稳定裕度概念使用时的局限性]：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为-180度的点可能