极坐标复习教育课件

极坐标复习极坐标复习1

1、极坐标系极坐标系，点的极坐标：狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义

2、极坐标和直角坐标的互化互化的条件，互化公式；

3、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的概念，求曲线的极坐标方程的方法和步骤，基本曲线的极坐标方程，利用极坐标方程解题；

4、极坐标系中的两点之间的距离公式；

复习要点1、极坐标系复习要点2极坐标复习教育课件3极坐标复习教育课件4极坐标复习教育课件5极坐标复习教育课件6极坐标复习教育课件7[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)8所以，所求极坐标方程为y＝3sin2x.所以，所求极坐标方程为y＝3sin2x.9

1、极坐标系

极坐标系：在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

Ox

点的极坐标：对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，叫做点M的极径；用θ表示从ox旋转到OM的角度，叫做点M的极角，有序数对M(ρ,θ)就叫做点M的极坐标.1、极坐标系Ox点的极坐标：对于平面内任意一点M，10狭义极坐标系：极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π）.在狭义极坐标系中，平面上的一点(除极点外)的极坐标系是唯一的.

广义极坐标系：极径ρ∈R，极角θ∈R.在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标系有无数个.当ρ<0时，点M(ρ,θ)的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使没∠xOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M使|OM|=|ρ|，M就是极坐标为(ρ,θ)的点。OMθx|ρ|狭义极坐标系：极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π）.广义极坐标112、极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。xyOyMNx互化公式：极坐标化为直角坐标直角坐标化为极坐标2、极坐标和直角坐标的互化xyOyMNx互化公式：极12例.设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l,

极点的对称点的极坐标（限定>0.-∏<≦∏)结论：(1)点（，）关于极轴的对称点是（，-）.(2)关于直线的对称点是（，∏-）.(3)关于极点O的对称点是（，∏+）。对称性例.设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直13极坐标复习教育课件14[自主解答]

(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.[自主解答](1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y215极坐标复习教育课件16极坐标复习教育课件17极坐标复习教育课件18[冲关锦囊][冲关锦囊]19一极坐标与直角坐标的互化一极坐标与直角坐标的互化20极坐标复习教育课件21极坐标复习教育课件225．(2011·广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．5．(2011·广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：23极坐标复习教育课件24小结1：处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：（1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；（2）根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换.极坐标复习教育课件253.求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。3.求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；2、设点26=0(0)=0(R)oxox00基本曲线的极坐标方程

直线的的极坐标方程

正弦定理oxM(ρ,θ)M(ρ,θ)M(ρ,θ)a————=————sin(-)asin(-)sin(-)=————asin=0(0)27

••••xxxx••••P(，)P(，)P(，)P(，)ooooaaaacos=asin=asin=-acos=-a直线的极坐标方程

••••xxxx••••P(，)P(，)P(，28•oxroxP(r，•=r圆的极坐标方程

r2=2+02-20cos(-0)余弦定理c(0，0)P(，)•o29

ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)••••c(a，)c(a，-/2)••••P(，)P(，)P(，)P(，)=2acos=2acos(-)=-2acos=2acos(-3/2)=-2asin=2asin••••ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)••••c30••••••)c(0，0)raP(，)P(，)余弦定理r2=2+02-20cos(-0)正弦定理————=————sin(-)asin(-)=————asinsin(-)ooxx••••••)c(0，0)raP(，)P(，)3112．设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．12．设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交32解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)．∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示圆心在点，半径为的圆．解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2co33练.已知△OAB是等腰直角三角形（OAB为逆时针顺序)，∠OAB=900，点B在曲线ρsinθ=5,求A点的轨迹的极坐标方程。分析：用代入法，设A(ρ,θ),B(ρ’,θ’),找出这两个极端坐标的关系，再代到B点所在的曲线极坐标方程，即得A点轨迹极坐标方程OxA(ρ,θ)B(ρ’,θ’)ρsinθ=5练.已知△OAB是等腰直角三角形（OAB为逆时针顺序)，∠34极坐标复习教育课件35极坐标复习教育课件36极坐标复习教育课件37极坐标复习教育课件38极坐标复习教育课件391.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.（1）在曲线上任取一点P（ρ,θ）.（2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程.（3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）.2.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义法、直接法、参数法等.小结2：1.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.小结2：40设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示.xyzoP(ρ,θ,Z)Qθ把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).其中ρ≥0,0≤θ＜2π,-∞＜Z＜+∞设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,41柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为柱坐标系又称半极坐标系，它是由空间点P的直角坐标(x42柱坐标与空间直角坐标的互化(2)直角坐标转化为柱坐标柱坐标与空间直角坐标的互化(2)直角坐标转化为柱坐标43思考：点P的柱坐标为(ρ,θ,

z)，(1)当ρ为常数时，点P的轨迹是____(2)当θ为常数时，点P的轨迹是___(3)当z为常数时，点P的轨迹是_____圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)Q思考：圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)44xyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q，设P在oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.(r,φ,θ)xyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP45我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系

(或空间极坐标系).有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中xyzoP(r,φ,θ)Qθrφ空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.我们把建立上述有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标46球坐标系θxyzoQP(r,j,θ)PrP(r,j,θ)球坐标系θxyzoQP(r,j,θ)PrP(r,j,47将球坐标转化为直角坐标：xθyoQP(r,j,θ)rz将球坐标转化为直角坐标：xθyoQP(r,j,θ)rz48思考：点P的球坐标为(r,j,θ)，(1)当r为常数时，点P的轨迹是____(2)当

j为常数时，点P的轨迹是____(3)当θ为常数时，点P的轨迹是___球面圆锥面或平面或射线半平面θxyzoQP(r,j,θ)r思考：球面圆锥面或平面或射线半平面θxyzoQP(r,j49C

B

CB503．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是______________．4．设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________．(－2,2,2)

(，1,7)

3．已知点M的球坐标为，515．在球坐标系中，方程r＝1表示________________，方程

＝表示空间的________________________．6．在柱坐标系中，长方体ABCD－A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10)，C1，则此长方体外接球的体积为________．5．球心在原点、半径为1的球面顶点在原点、轴截面顶角为的圆锥面6.5．在球坐标系中，方程r＝1表示______________52极坐标复习极坐标复习53

1、极坐标系极坐标系，点的极坐标：狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义

2、极坐标和直角坐标的互化互化的条件，互化公式；

3、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的概念，求曲线的极坐标方程的方法和步骤，基本曲线的极坐标方程，利用极坐标方程解题；

4、极坐标系中的两点之间的距离公式；

复习要点1、极坐标系复习要点54极坐标复习教育课件55极坐标复习教育课件56极坐标复习教育课件57极坐标复习教育课件58极坐标复习教育课件59[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)60所以，所求极坐标方程为y＝3sin2x.所以，所求极坐标方程为y＝3sin2x.61

1、极坐标系

极坐标系：在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

Ox

点的极坐标：对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，叫做点M的极径；用θ表示从ox旋转到OM的角度，叫做点M的极角，有序数对M(ρ,θ)就叫做点M的极坐标.1、极坐标系Ox点的极坐标：对于平面内任意一点M，62狭义极坐标系：极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π）.在狭义极坐标系中，平面上的一点(除极点外)的极坐标系是唯一的.

广义极坐标系：极径ρ∈R，极角θ∈R.在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标系有无数个.当ρ<0时，点M(ρ,θ)的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使没∠xOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M使|OM|=|ρ|，M就是极坐标为(ρ,θ)的点。OMθx|ρ|狭义极坐标系：极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π）.广义极坐标632、极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。xyOyMNx互化公式：极坐标化为直角坐标直角坐标化为极坐标2、极坐标和直角坐标的互化xyOyMNx互化公式：极64例.设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l,

极点的对称点的极坐标（限定>0.-∏<≦∏)结论：(1)点（，）关于极轴的对称点是（，-）.(2)关于直线的对称点是（，∏-）.(3)关于极点O的对称点是（，∏+）。对称性例.设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直65极坐标复习教育课件66[自主解答]

(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.[自主解答](1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y267极坐标复习教育课件68极坐标复习教育课件69极坐标复习教育课件70[冲关锦囊][冲关锦囊]71一极坐标与直角坐标的互化一极坐标与直角坐标的互化72极坐标复习教育课件73极坐标复习教育课件745．(2011·广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．5．(2011·广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：75极坐标复习教育课件76小结1：处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：（1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；（2）根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换.极坐标复习教育课件773.求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。3.求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；2、设点78=0(0)=0(R)oxox00基本曲线的极坐标方程

直线的的极坐标方程

正弦定理oxM(ρ,θ)M(ρ,θ)M(ρ,θ)a————=————sin(-)asin(-)sin(-)=————asin=0(0)79

••••xxxx••••P(，)P(，)P(，)P(，)ooooaaaacos=asin=asin=-acos=-a直线的极坐标方程

••••xxxx••••P(，)P(，)P(，80•oxroxP(r，•=r圆的极坐标方程

r2=2+02-20cos(-0)余弦定理c(0，0)P(，)•o81

ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)••••c(a，)c(a，-/2)••••P(，)P(，)P(，)P(，)=2acos=2acos(-)=-2acos=2acos(-3/2)=-2asin=2asin••••ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)••••c82••••••)c(0，0)raP(，)P(，)余弦定理r2=2+02-20cos(-0)正弦定理————=————sin(-)asin(-)=————asinsin(-)ooxx••••••)c(0，0)raP(，)P(，)8312．设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．12．设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交84解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)．∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示圆心在点，半径为的圆．解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2co85练.已知△OAB是等腰直角三角形（OAB为逆时针顺序)，∠OAB=900，点B在曲线ρsinθ=5,求A点的轨迹的极坐标方程。分析：用代入法，设A(ρ,θ),B(ρ’,θ’),找出这两个极端坐标的关系，再代到B点所在的曲线极坐标方程，即得A点轨迹极坐标方程OxA(ρ,θ)B(ρ’,θ’)ρsinθ=5练.已知△OAB是等腰直角三角形（OAB为逆时针顺序)，∠86极坐标复习教育课件87极坐标复习教育课件88极坐标复习教育课件89极坐标复习教育课件90极坐标复习教育课件911.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.（1）在曲线上任取一点P（ρ,θ）.（2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程.（3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）.2.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义法、直接法、参数法等.小结2：1.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.小结2：92设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示.xyzoP(ρ,θ,Z)Qθ把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).其中ρ≥0,0≤θ＜2π,-∞＜Z＜+∞设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,93柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为柱坐标系又称半极坐标系，它是由空间点P的直角坐标(x94柱坐标与空间直角坐标的互化(2)直角坐标转化为柱坐标柱坐标与空间直角坐标的互化(2)直角坐标转化为柱坐标95思考：点P的柱坐标为(ρ,θ,

z)，(1)当ρ为常数时，点P的轨迹是____(2)当θ为常数时，点P的轨迹是___(3)当z为常数时，点P的轨迹是_____圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)Q思考：圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)96xyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为φ.