推理与证明含答案

推理与证明考情解读1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现2直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.主干知识梳理 瞄准高考1.合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.②归纳推理的思维过程如下：实验、观察|-「概括、推广1-1猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.②类比推理的思维过程如下：观察、比较I-「联想、类推—［猜测新的结论.演绎推理“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确..直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

L^QJ_IQ尸Q21_IQ产Q31一•一Q^QJ(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：回一日一日f…f|得到一个明显成立的条件|.间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示.肯定条件p否定结论矶一|导致逻辑矛盾一“既p，又㈱q”为假一|“若p，则q”为真.数学归纳法数学归纳法证明的步骤：⑴证明当n取第一个值n0(n0£N*)时命题成立.(2)假设n=k(k£N*,<k三n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n三n0,且n£N*时，命题都成立.热点分类突破 解析高考热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()第一个图案 第二个图案 第三个图案第一个图案 第二个图案 第三个图案A.26 B.31C.32 D.36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()B.62,63AB.62,63C.75,76 D.84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5X(6-1)=31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想.变式训练1(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么靠02次互换座位后，小兔坐在第号座位上.1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第一次1猫2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3猫4兔第三次B.2AB.2C.3D.C.3(2)已知f(n)=1+2+1+…+1(n£N*)，经计算得f(4)>2,f(8)>2,f(16)>3,k32)>7，则有nn tLn+2、答案(1)B(2)f(2n)>—(n三2,nGN*)乙解析(1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202=50X4+2,因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B.(2)由题意得f(22)>2,f(23)>2,八24)>|,7人25)>2，所以当n三2时，有f(2n)>n+2故填f(2n)>—2-(n三2,nGN*).热点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2,S1则字=1.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为匕，外接球体积为V2,则吩=.V2e工—e-工 e工+e一工.(2)已知双曲正弦函数shr=一一和双曲余弦函数chr=—；—与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双•・・・•曲余弦函数的一个类似的正确结论.••思维启迪(1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想,然后验证.答案(1)27(2)ch(r—y)=chrchy—shrshy解析(1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以孑=27.2(2)chrchy-shrshy=ex+e-xey+e-yer-e-re(2)chrchy-shrshy=2 2 2 2；(ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y)1 ex-y+e-(x-y)=](2ex-y+2e-(x-y))= 2 =ch(x-y)，故知ch(x+y)=chxchy+shxshy,或sh(x-y)=shxchy-chxshy,

或sh(x+y)=shxchy+chxshy.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型.一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.变式训练2 (1)若数歹|J｛与｝是等差数列，bn=%+°.：…十气，则数列｛bn｝也为等差数列.类比.这一性质可知，若正项数列｛cn｝是等比数列，且｛dj也是等比数列，则dn的表达式应为(TOC\o"1-5"\h\zC+m-I \-cA.d= 2 A.n nB.C.dC.d=nD.dn=勺%c2.…•cnx2 、,2(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题:AB是椭圆X2+y2=1(°>b>0)a乙b乙b2的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB=-尢.那么对于双曲线则有x2y2如下命题：AB是双曲线--T；=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的a2b2中点，则kOM^kAB= 答案(1)D(2)b解析(1)由｛an｝为等差数列，设公差为d,aa1+a2+•一+an

n=a1又正项数列｛cn｝为等比数列，设公比为q,TOC\o"1-5"\h\z n2n .n■ n—n n—1则d=-Cc•c.….c=ncnq2 =cq2，故选D.n12n11 1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),%1+%。1 2<则有2,<则有y1+y21 2

将A,B代入双曲线%2-y2=1中得aba-b2=La-b2=L两式相减，得若萨=号萨，即％-：2)(x1+%2)=(y1-y2)(y1+y即％-即(y1-y2)(yJy2)=b(x1-%2)(%1+%2)a2,b2即kOM-kAB=*.热点三直接证明和间接证明例3已知数列例3已知数列U｛an｝满足：a1=13。+*)=2(1+a)1—an 1—an+1anan+1<0(n三1)；数列U{bn}满足:b=a2,一a2(n三1).nn+1n(1)求数歹U｛an｝,｛bn｝的通项公式；(2)证明：数列｛bn｝中的任意三项不可能成等差数列.n1-a

n+11-a2 2化为n1-a

n+11-a2 2化为——nL=7,

1-a2 3n3(1+a,(1)解已知--―T1-an3而1-a2=4,32所以数列｛1-a2｝是首项为j,公比为2的等比数列,则1-巧=%(1)n-1，则an=1-4x(fJn-1，由anan+1<0,知数列｛an｝的项正负相间出现,因此”=(-1k+1,1-4x(|)a2=-4x(l)n+%部-1=4x(iJn-1(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p,而b=7X(|)n-1随n的增大而减小，n4 \37那么只能有2bn=bm+bp,可得2x4xg)n」=%部-1+4X(|)p-1，则2xgn-m=1+停)-m.(*)当n-m三2时，2X1｝-mW2x1j2=9,(*)式不可能成立，则只能有n-m=1,此时等式为3=1+(3)p-m,即3=(1)-m,那么p-m=log23，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等.3所以假设不成立，那么数列｛0｝中的任意三项不可能成等差数列.思维升华(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可.(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用.变式训练3等差数歹|J｛与｝的前n项和为Sn，4=1+啦，S3=9+3啦.(1)求数列｛an｝的通项a”与前n项和Sn；S(2)设bn=S(n£N*),求证：数列｛bn｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.[a.=\,12+1,(1)解由已知得J1 所以d=2,〔3a1+3d=9+3\'2,故an=2n-1+市,Sn=n(n+啦)，n£N*.(2)证明由(1)得b==S=n+\：5ntn假设数列｛bn｝中存在三项bp,bq,br(pWqWr)成等比数列，则b/bb..即(q+X,12)2=(p+,,'2)(r+\''2).二(q2-pr)+(2q-p-r)■'■,''2=0.q2-pr=0,「p,q,rGN*,£12q-p-r=0,p+r(2)2=pr,(p-r)2=0,，p=r与pWr矛盾•所以数列｛bn｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.热点四数学归纳法例4已知数列U｛a｝是各项均不为0的等差数列，S为其前n项和，且满足S…芸a2,nGN*,n n 2n—12n‘2n-1,n为奇数，数列｛b｝满足b=11品T为数列｛b｝的前n项和.nn仁an—jn为偶数， n n(1)求an,bn； n...(2)试比较T与2n2+2的大小.2n 3思维启迪(1)利用｛与｝的前n项确定通项公式(公差、首项)，｛匕｝的通项公式可分段给出；n(2)先求T,归纳猜想T与2n2+£的关系，再用数学归纳法证明.n n 3解⑴设｛a｝首项为a，公差为d，在S=7a2中，n 1 2n-12n令n=1,2得<令n=1,2得<(aJd)2=2(3a「3d),解得a1=2,d=4,所以an=4n-2.2n-1,n为奇数，所以b=1所以bn[2n-3,n为偶数.(2)T=1+2X2-3+22+2X4-3+24+…+22n-2+2X2n-32n=1+22+24+…+22n-2+4(1+2+…+n)-3n1-4n n(n+1) 4n1=~-++4-— 3n=X-w+2n2-n.1-4 2 33n1所以T2n-(2n2+3)=3(4n-4nT).当n=1时，3(4n-4n-1)=-；<0,当n=2时，-(4n-4n-1)=3>0,当n=3时，-(4n-4n-1)=段>0,…n猜想当n三2时，T>2n2+£,2n 3即n三2时，4n>4n+1.下面用数学归纳法证明：①当n=2时，42=16,4X2+1=9,16>9,成立;②假设当n=k(k三2)时成立，即4k>4k+1.则当n=k+1时，4k+1=4-4k>4.(4k+1)=16k+4>4k+5=4(k+1)+1,所以n=k+1时成立.由①②得，当n三2时，4n>4n+1成立.n综上，当n=1时，T<2n2+£,2n 3n当n三2时，T>2n2+z.2n 3思维升华在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明nkk+1时的已

知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法.变式训练4已知f(n)=1+23+卜43H H-13,g(n)=2—去，n£N*.(1)当n=1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解(1)当n=1时，f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1),9-8

=9-8

=)(2f叱2=n

当9⑵;?所以八2)<g(2),.. 251 312当n=3时，八3)=息，g(3)=市，所以f(3)<g(3).(2)由(1)，猜想f(n)Wg(n)，下面用数学归纳法给出证明①当n=1,2,3时，不等式显然成立②假设当n=k(k三3)时不等式成立，13上+k3<2-2k2，那么，当n=k+1时，TOC\o"1-5"\h\z1 3 1 1于(k+1)=f(k)+^k+F厂赤+(k+)3，因为2(k+1)2_(赤—(k+1)3)k+3 1= TT-2(k+1)32k23k-1„= <02(k+1)3k231所以fk+1)<2-2(k+1)2=g(k+D，即当n=k+1时，不等式成立.由①②可知，对一切n£^，都有f(n)Wg(n)成立.I本讲规律总结I 1.合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式.2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明.⑴在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n=k+1时要用上n=k时的假设，其次要明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略.(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.真题与押题备战高考真题感悟(2014.福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系：①a=1；②bW1；③c=2；④dW4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .答案6解析由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a=1,则②③④都错误，即b=1,cW2,d=4.其中a=1与b=1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即bW1,则①③④都错误，即aW1,cW2,d=4,则当b=2时，有a=3,c=1;当b=3时，有a=2,c=1,此时有2种有序数组.⑶若③正确，即c=2,则①②④都错误，即aW1,b=1,d=4,则a=3,即此种情况有1种有序数组.(4)若④正确，即dW4,则①②③都错误，即aW1,b=1,cW2,则当d=2时，有a=3,c=4或a=4,C=3,有2种有序数组；当d=3时，有c=4,a=2,仅1种有序数组.综上可得，共有2+1+2+1=6(种)有序数组.(2014・陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .答案F+V—E=2解析观察F,V,E的变化得F+V-E=2.押题精练1.圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分.则n个点连成的弦最多可把圆面分成 部分.（）A.2n-1 B.2nC.2n+1 D.2n+2答案A解析由已知条件得：圆周上的点数连成的弦数把圆面分成的部分数22X11=22=21=22-133X23=24=22=23-144X36=28=23=24-155X410=216=24=25-1………由此可以归纳出，当点数为n时，连成的弦数为誓D；弦把圆面分成的部分数为2n一1,故选A.2.在计算“1X2+2X3+…+n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k+1)=31k(k+1)(k+2)—(k—1)k(k+1)],由此得1X2=3(1X2X3—0X1X2),2X3=|(2X3X4—1X2X3),…n(n+1)=§[n(n+1)(n+2)—(n—1)n(n+1)].相加，得1X2+2X3+…+n(n+1)=§n(n+1)(n+2).类比上述方法，计算“1X2X3+2X3X4+——+n(n+1)(n+2)”的结果为.答案4n(n+1)(n+2)(n+3)解析类比k(k+1)=3[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],可得至Uk(k+1)(k+2)=4[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],先逐项裂项，然后累加即得4n(n+1)(n+2)(n+3).专题突破练(推荐时间：50分钟)一、选择题.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点，动点P满足IPA1+1PB1=2a>\ABI,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n—1,求出S『S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式x2,y2C.由圆x2+y2=r2的面积nr2,猜想出椭圆~+b=1的面积S=nabD.以上均不正确答案B解析从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.2.观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10等于()A.28 B.76C.123 D.199答案C解析观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…，第十项为123，即a】。+b］。=123.3.已知x>0,观察不等式x+1三2';'x.1=2,x+4=x+x+-4三3、，x-x-4=3,…，由此可得x x x222x2 22x2a一般结论：x+~^n+1(n£N*),则Ua的值为( )xnA.nn B.n2C.3n D.2n答案A解析根据已知，续写一个不等式：x+更=x+x+x+33三4/::x'x-x.33=4,由此可得a=nn故选Axx3333x3^4 333x34，由此可得an.故选A..已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列U{an}是等差数列，a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负答案A解析由已知得f(0)=0,a1+a5=2a3>0,所以a1>-a5.由于f(x)单调递增且为奇函数，所以fa1)+f(a5)>f(-a5)+f(a5)=0,又f(a3)>0,所以f(a1)+fa3)+fa5)>0.故选A..在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若女=A(9A+〃而，则丸+〃=1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A,B,C,D中任意三点均不共线，并且这四点在同TOC\o"1-5"\h\z一平面内，若Do=xO)A+y()B+zOOC，则x+y+z等于( )A.0 B.-1C.1 D.±1答案B解析在平面内，由三角形法则，得ab=OOb-Oa，bC=o)C-O.因为A,B,C三点共线，所以存在实数t，使ab=tBC，即O0-Oa=t(OC-Ob)，所以oOC=-1(OA+(；+1)O0.因为oOC=aOA+pOOB，所以丸=-1，〃=1+1，l I所以丸+p=1.类似地，在空间内可得OD=xo°A+pO°+nOC，丸+p+n=1.因为DO=-OD，所以x+y+z=-1.故选B.6.已知f(n)=32n也一8n—9,存在正整数m，使n£N*时，能使m整除f(n)，则m的最大值为()A.24 B.32C.48 D.64答案D解析由f(1)=64,f(2)=704=11X64,f(3)=6528=102X64，所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上得证；

②假设当n=k(kGN*)时,f(k)=32k+2-8k-9=9k+1-8k-9能被64整除，则当n=k+1时，f(k+1)=9(k+1)+1-8(k+1)-9=9X99k+1-8k-17=fk)+64(k+1).由归纳假设，f(k)是64的倍数，又64(k+1)是64的倍数，所以f(k+1)能被64整除，所以当n=k+1时，猜想也成立.因为f(1)不能被大于64的数整除，所以所求m的最大值等于64.故选D.二、填空题.如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有根；第n个图形中，火柴棒有 根.答案13,3n+1解析易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n个图形中的火柴棒为4+3(n-1)=3n+1..平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为.答案n答案n2+n+22解析1条直线将平面分成1+1个区域；2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+2+3+…+n)=1+n(n+1)2个区域..(2014•课标全国I)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此判断乙去过的城市为 .答案A解析由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A,C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A,由此可知，乙去过的城市为A.

C3 ]7.对大于1的自然数m的三次幕可用奇数进行以下方式的“分裂”：2*5,3d9 ,〔111f13154317，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59,贝Um=.19答案8解析由已知可观察出m3可分裂为m个连续奇数，最小的一个为(m-1)m+1.当m=8时，最小的数为57,第二个便是59厮以m=8.三、解答题14.已知a,b,m为非零实数，且a2+b2+2—m=0,-2+77+1—2m=0.a2b214 9⑴求证：a十五三，；(2)求证:(2)求证:7-2>\

m4 9 、、、证明(1)(分析法)要证;12+后成立，a2b2a2+b24一只需证(a+凉(a2+b2)三9,即证1+4+b+4a